29/11/2008

Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer, da seguinte maneira:

Dado um número n, para encontrar a raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial a0 e calculamos b0. Em seguida, utilizamos o algoritmo:

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Onde, para cada iteração (ak , bk), para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz n mais aproximada.

O erro da aproximação é dado por E = |(bk)2 - n|. Se o valor absoluto da diferença entre (bk)2 e n for menor do que a precisão ε, então tome como raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo algoritmo babilônico com precisão de ε = 1 . 10– 4. Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, vamos tomar como aproximação inicial a0 = 1,5.

Calculamos:

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Testamos o erro da aproximação inicial b0. Como E = |22 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 1

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Como E = |1,7142857142 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como E = |1,7319587622 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 3

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clip_image042[1]

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Como E = |1,73205080512 - 3| < 10– 4, paramos as iterações e tomamos b3 como uma raiz aproximada √3, com precisão até a décima casa decimal! Vale lembrar que, se continuarmos as iterações k, termos uma aproximação cada vez melhor da raiz.


Veja mais:

Aproximação da Raiz Quadrada de um Número n
Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Método de Herão para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

4 comentários:

  1. Obrigada! seu artigo é fácil de entender, e foi muito útil, pois precisava dessa pesquisa para a escola. muito obria mesmo!

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  2. Olá Arllequina, eu que agradeço sua visita! Infelizmente não tenho muito tempo para publicar periodicamente artigos no Blog, mas se precisar de algo específico, mande-me um e-mail para tentar ajudá-la. Um abraço!

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  3. (LÉO)_tem um modo mais fácil mas não tão exato entretanto passa perto, exemplo:

    Raíz de 17.

    É a raiz de 16 + 1, então sabe-se que a raiz de 16 é = 4.

    O 1 resntante divide pela raíz anterior
    = raiz de 1 divid. : por raiz de 1

    Pois raíz de 1 é 1, e raíz de 16 = 4.

    então fica 1:por4 = 0,25 dividindo por 2 pala regra = 0,123...

    então soma-se 4+0,123 = 4,123...

    desculpa qualqer coisa, eu não levo jeito pra explicar.

    quem tiver um desáfio matemático manda pra min que agradeço.
    leoforntino@hotmail.com

    ResponderExcluir
  4. preciso de outro exemplo

    ResponderExcluir

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