29/11/2008

Método de Herão para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o método de Herão de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com freqüência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Dada a raiz quadrada de um número n, assumindo a0 como uma aproximação inicial, temos:

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Uma melhor aproximação será dada pela próxima iteração:

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Assim prossegue e a cada iteração melhora a aproximação da raiz.

A saber: Se n = a b, então (a + b)/2 é uma aproximação de √n, que melhora com a proximidade de a e b.

Após a escolha da aproximação inicial a0, podemos construir o algoritmo:

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Onde, para cada iteração k, para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz ak mais aproximada de n.

Surge então a questão: Até quando essas iterações seguem-se? Para evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos, inicialmente devemos impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se quisermos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro E < 10– 5 , por exemplo, devemos impor uma precisão ε = 1 . 10– 5 e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão ε imposta inicialmente. O erro é dado por E = |(ak)2 - n|. Se o valor absoluto do quadrado da raiz aproximada ak, subtraída de n for menor que a precisão ε, então tome ak como raiz aproximada.


Exemplo: Aproximar √3 pelo método de Herão com precisão de ε = 1 . 10– 4.

Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, tomamos como aproximação inicial a0 = 1,5.

Testamos o erro da aproximação inicial a0. Como |1,52 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

Fazemos:

k = 1

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Como |1,752 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como |1,7321428572 - 3| > 10-4, continuamos as iterações:

k = 3

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Como |1,7320581001472 - 3| < 10-4, tomamos a3 como raiz aproximada de √3, com precisão até a sétima casa decimal.



Veja mais:

Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Mais um Método para Aproximar Raiz Quadrada de um Número n
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson 

10 comentários:

  1. Pocha excelente este site! Parabéns!!
    Me ajudou bastante no meu trabalho!! Já curti a página de vcs no Facebook!!

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  2. Olá amigo, obrigado pela vista. Fico feliz em saber que este artigo lhe ajudou. Volte sempre!

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  3. Excelente post! É realmente um método muito simples se comparado ao sua capacidade de obter uma aproximação tão confiável (como no caso do exemplo).
    Eu tentei aqui aplicando o método a √5,muito legal.
    Até mais!

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  4. Kleber,
    gostei muito do seu site, parabéns! Tem muita informação pertinente, especialmente para matemáticos e físicos. Sou professora de Matemática e apresentei o método de Herão para meus alunos e claro, citei seu cite. Entretanto, para este assunto, gostaria de saber qual é a fonte que você utilizou. Sei que procuras fazer isso, mas têm alguns arquivos, como este, que não tem fonte.
    Muito obrigada, antecipadamente.

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  5. Olá Juliana, obrigado por seus elogios. Essa faz parte das primeiras postagens do blog e não tinha tanto rigor quanto tenho hoje. Se me lembro bem, fiz a postagem baseado em notas de aula. Mas para não ficar tão vago e ter uma referência confiável, você pode encontrar este método no livro Introdução à História da Matemática de Howard Eves, página 205, editora Unicamp.

    Como foi a reação dos alunos ao saber que um método iterativo como este foi desenvolvido em cerca de 2.000 anos atrás?

    Um abraço!

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  6. Muito obrigada Kleber.
    Eu sou suspeita em falar, estou dando aula de Cálculo Numérico (CN) e apresentar esse método que utiliza a ideia de iterações sucessivas o qual precedeu aos métodos que estudamos em CN, como por exemplo, Método de Newton (1600 anos depois), foi genial!
    Muito obrigada, mais uma vez pela fonte informada e parabéns pelo belo trabalho que estás fazendo.
    Um abraço!

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  7. Olá Juliana,

    Cálculo numérico é muito bom, ficava maluco naquelas aulas, com o polinômio de Lagrange, série de Taylor... mas gostava muito. Parabéns por escolher essas aulas! Tem outros assuntos aqui no blog. Qualquer dia desses vou escrever sobre o operador diferenças divididas.

    Um abraço!

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  8. Qual é a diferença entre o método de Herão e o método Babilônico para aproximação de raízes quadradas?
    olhei os dois e aparentemente é a mesma coisa.
    Marcelo

    ps. Parabéns pelo site

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  9. Olá Marcelo (Vicente), na verdade o método é o mesmo, apresentado de formas diferentes. A prioridade é dos babilônios já este método aparece quase 2.000 anos antes de Heron!

    Um abraço!

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  10. muito bom esta postagem, não me lembrava direito como era o procedimento. Parabéns e sucesso.

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