29/11/2008

Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:

"Se f (x) = 0 tem apenas uma raiz no intervalo [a, b] e se nem f '(x) nem f "(x) se anulam nesse intervalo, escolhido x0 como aquele dos dois números a e b para o qual f (x) e f" (x) tem mesmo sinal, então:

clip_image002

situa-se mais perto da raiz do que x0.

Seja clip_image002[3] (Conjunto das funções com até a 2ª derivada contínua) no intervalo [a, b], a aproximação da raiz clip_image004[3], f (p) = 0, x é a aproximação de p, tal que clip_image006[5] e clip_image008[3], com clip_image010[3].

A derivada f '(x0) é a reta tangente da função no ponto x0. Se o ponto x0 está localizado nos pontos de inflexão, máximos ou mínimos, a derivada da função tende a zero e é por esse motivo que o Método de Newton não converge se f '(x0) tende a zero.


NOTA: O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente. Por este motivo será estudado mais profundamente numa próxima oportunidade. No momento, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.

Exemplo1: Aproximar √3 pelo Método de Newton, com precisão de ε = 1 x 10– 4. O erro E = |(ak)2 - n|.

Como queremos encontrar uma aproximação para √3, fazemos:

clip_image004

clip_image006

Logo:

clip_image008

clip_image010

A raiz quadrada de 3 está situada entre 1 e 2. Desta forma, tomaremos como uma aproximação inicial x0 = 1,5.

clip_image002[1]

clip_image012

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clip_image020

Como E = |1,752 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

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clip_image030

Como E = |1,7321428572 – 3| > 104, continuamos as iterações:

clip_image032

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clip_image038

clip_image002

Como E = |1,732050812 – 3| menor que 104 paramos as iterações e tomamos x3 como uma raiz aproximada √3.

Vimos como o algoritmo de Newton aproxima raízes, que melhoram a cada iteração. No entanto, o Método de Newton é muito mais eficaz quando se trata de raízes de funções.



Veja mais:

Método de Herão para aproximação de raiz quadrada
Método Babilônico para aproximação de raiz quadrada
Aproximação da raiz quadrada de um número n
Zeros Reais de Funções Reais

13 comentários:

  1. Bacana...me ajudou muito mesmo...grata!!

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  2. Faço matematica a distância e isso dificulta mais ainda o aprendizado, visto que a matemática requer estudo e orientação...na qualidade de aluna a distância me vejo por muitas vezes em desespero, pesquiso, procuro ajuda e até mesmo disciplinas tão simples como Historia da Matemática, a qual estou pagando neste último período (8º periodo) se torna complicada pelo fato de que não tenho um professor todos os dias (só tenho duas aulas prenseciais por semestre). Agradeço ao senhor Kleber por criar algo tão importante como este blog, em uma unica visita me sinto satisfeita em relação ao que estava procurando e espero conseguir mais ainda em outras visitas.
    Grata desde já!
    Att,
    Novinha

    P.S. seria possível o senhor postar conteúdos indicado?

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  3. NOTA: O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente. Por este motivo será estudado mais profundamente numa próxima oportunidade. No momento, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.
    É possível publicarem sobre como calcular a raiz enésima de um número qualquer?
    Se for ficarei muito agradecido.

    Atenciosamente,

    Jaques.

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  4. Jaques, basta seguir o mesmo raciocínio desta postagem. Por exemplo, vamos aproximar a raiz sétima de 3, ou seja: $\sqrt[7]{3}$

    Desta forma, daremos uma aproximação inicial $x_0=1$, pois esta raiz deve estar entre 1 e 2.

    Então, fazemos: $x=\sqrt[7]{3}$, Logo $x^7=3$. Assim, $f(x)=x^7-3$. E a derivada será: $f'(x)=7x^6$.

    Usando a mesma fórmula iterativa dada no começo deste artigo, chegamos a 1,69930813 que é a aproximação da $\sqrt[7]{3}$.

    É necessário ter uma ideia derivada.

    Abraços.

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  5. Muito clara sua explicação!
    Gostei muito!

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  6. Muito clara a explicação!
    Gostei muito!

    ResponderExcluir
  7. Muito boa a explicação.

    Este método é tão bom ao ponto de ser usado em algoritmos computacionais devido a simplicidade de implementação.

    Para a derivada neste caso, utiliza-se do princípio de
    $ f(x)' = \frac{ f(x) + f(x+\Delta x)}{x+\Delta} $

    Onde $f(x)$ pode ser uma função qualquer, facilmente calculado computacionalmente.

    Parabéns, continue assim!

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  8. Uma correção no texto do comentário anterior.
    Para a derivada neste caso, utiliza-se do princípio básico.
    $f(x)' = \frac{(f(x)+\Delta x) - f(x) }{\Delta x)}$
    No momento de edição, como não existe pré-visualização para as equações, pode ocorrer confusões e erros gráficos usando LaTeX.

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    Respostas
    1. Não consegui ainda incorporar visualizador Latex nos comentários. Mas veja um pouco mais abaixo que tem um link onde se pode "testar" as fórmulas antes de publicar. Clique para abrir em uma nova janela.

      Abraços.

      Excluir
  9. $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

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  10. Faz muito tempo que não vejo cálculo, como o autor do post chegou na afirmação "A raiz quadrada de 3 está situada entre 1 e 2.", como ele definiu o 1 e o 2. Por exemplo, em uma $$\sqrt{13}$$, como identificou esses dois extremos do possível valor?

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    Respostas
    1. Marcos, $1^2 =1$ e $2^2=4$. De modo que a raiz quadrada de 3 só pode estar entre 1 e 2. Um procedimento análogo pode ser feito para outros números.

      abs.

      Excluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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