29/06/2009

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

Para esta demonstração, utilizamos o conceito de integral definida. Vamos supor a circunferência abaixo com centro na origem:

Circunferência 2

Se rotacionarmos a circunferência em torno do eixo x, obteremos uma esfera de centro na origem e raio r.

Esfera 2

Temos que a equação da circunferência é:

clip_image002

Como a esfera tem centro na origem, temos que a = 0 e b = 0, logo:

clip_image002[4]

clip_image004

Para encontrarmos o volume desta esfera, vamos supor fatias de larguras infinitesimais dx e raio y.

cilindro infinitesimal dx 2

O volume do cilindro é dado por:

clip_image002[10]

clip_image002[14]

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a dx e seu raio da base é igual a y, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

clip_image002[8]

Podemos dizer que a esfera é formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx, onde seu raio y é variável para cada cilindro.

A soma desses cilindros de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

clip_image002[16]

clip_image004[4]

Como:

clip_image002[18]

Temos:

clip_image002[20]

clip_image004[6]

clip_image006

Aplicando a integral:

clip_image002[22]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

Que é a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma esfera.

Se derivarmos seu volume em relação ao raio r, obtemos sua área:

clip_image002[24]

clip_image004[10]


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro

28/06/2009

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone a Partir do Volume de Pirâmide

Se imaginarmos uma pirâmide de infinitos lados, isso nos leva a um caso particular de pirâmide: o Cone.

A demonstração para a Fórmula do Volume de Tronco de Cone será feita de duas formas: algebricamente e por semelhança de triângulos.

 

1) Demonstração algébrica da Fórmula do Volume de Tronco de Cone

Partindo da fórmula demonstrada de Tronco de Pirâmide, temos:

clip_image002

Como no tronco de cone as áreas das bases AB e Ab são:

clip_image002[4]

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Podemos reescrever a fórmula do Volume de Tronco como:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

clip_image004[4]

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Que é a Fórmula para o cálculo do Volume do tronco de Cone.

 

2) Demonstração por semelhança de triângulos da Fórmula do Volume de Tronco de Cone

Dado o Cone abaixo, seccionado paralelamente a uma altura H de sua base.

Cone

Destacamos o triângulo retângulo:

Semelhança triângulos[9]

Por semelhança de triângulos, temos:

clip_image004[6]

Daí temos:

clip_image006[4]

clip_image008

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Temos que:

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Substituindo (I) em (II), obtemos:

clip_image024

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Que é a Fórmula para o cálculo do Volume do tronco de Cone.´


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Cone por Semelhança de Triângulo
Demonstração da Fórmula de Tronco de Pirâmide
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

Análise do Filme Uma Mente Brilhante

Uma Breve Biografia da Vida e John Nash

John Nash, matemático, professor e Prêmio Nobel de Economia cuja vida é retratada no filme “Uma Mente Brilhante” (A Beautiful Mind) nasceu em 13 de junho de 1928 em Bluefield, West Virginia, nos Estados Unidos. Seu pai, também chamado John, era um engenheiro elétrico; sua mãe, Virginia, era uma professora. Dois anos e meio após o seu nascimento, em 16 de novembro de 1930, nasceu sua irmã Martha.

John cresceu num lar onde recebeu carinho e atenção, mas mesmo assim, era um menino solitário e introvertido que mostrava maior interesse por livros do que pelas pessoas. Sua mãe incentivou a sua curiosidade intelectual e foi sua professora particular, ajudando lhe a obter uma excelente formação acadêmica.

John Nash cresceu na pequena cidade de Bluefield. Na escola, seus professores não o reconheciam como um prodígio, e sim como um menino extremamente anti-social. Já aos doze anos, realizava experimentos científicos em casa. Era claro que aprendia mais em casa do que na escola, e que estava insatisfeito com o ensino no colégio.

A primeira vez que demonstrou interesse por matemática foi aos quatorze anos, quando leu a obra “Men of Mathematics”, de T. Bell, e ainda no colegial, fez um curso de Matemática na Universidade de Bluefield.

Em junho de 1945, John Nash ingressou na prestigiosa Universidade de Carnegie Mellon, onde lhe foi oferecido uma bolsa de estudos. Iniciou sua carreira universitária estudando química, mas logo se frustrou com a falta de pensamento criativo exigido no estudo da matéria. Passou então a estudar matemática, tendo sido convencido por seus professores que este campo acadêmico lhe renderia uma carreira promissora. John também fez um curso de “Economia Internacional”, onde se deparou com teorias acadêmicas que o levaram a formular idéias originais que mais tarde tiveram um grande impacto no estudo de economia e que futuramente lhe renderam um Prêmio Nobel.

Quando John Nash se formou em Carnegie, ele havia progredido tanto academicamente que se formou com um mestrado. Decidiu então continuar seus estudos e obter um doutorado em matemática. Seu professor da universidade lhe escreveu uma carta de recomendação composta de apenas uma linha: “Este homem é um gênio”.

John foi aceito no programa de doutorado de matemática de duas das mais famosas universidades dos Estados Unidos: Harvard e Princeton. Como a proposta de Princeton foi a mais generosa, ele seguiu para lá, onde demonstrou interesse por vários campos de matemática pura: topologia, geometria algébrica, teoria de jogos e lógica. Mas mesmo em Princeton, John Nash evitou comparecer às palestras e aulas. Decidiu aprender sozinho, sem a ajuda de professores ou mesmo de livros, para poder desenvolver teorias e conceitos originais. Em muitos aspectos, sua reclusão pessoal e acadêmica foi bem-sucedida e ele se tornou um dos mais originais matemáticos da história.

Em 1950, aos 21 anos, John Nash, escreveu uma tese de doutorado que lhe rendeu, 45 anos mais tarde, o Prêmio Nobel de Economia. Seu trabalho, conhecido como o “Equilíbrio de Nash” revolucionou o estudo de estratégia econômica.

Após se formar em Princeton e lecionar lá durante um ano, John Nash tornou-se professor de matemática da famosa universidade de MIT (Massachusetts Institute of Technology). Ensinou em MIT durante os anos 1951-1959, mas seus métodos didáticos eram bastante impopulares com alunos. Durante essa época, John Nash realizou diversos avanços no estudo da matemática, resolvendo um problema clássico, até então não solucionado, de geometria diferencial.

Durante seus anos em MIT, seus problemas psíquicos passaram a se agravar. Contudo, em 1953, teve um filho com Eleanor Stier. O menino foi chamado de John David Stier. No entanto, ao contrário da vontade de Eleanor, John Nash nunca se casou com ela.

Em 1957, o brilhante matemático se casou com Alicia, uma aluna de física formada em MIT, onde se conheceram. No outono de 1958, Alicia engravidou. Porém, um ano mais tarde, John Nash começou a sofrer de esquizofrenia paranóica. Em razão de sua doença mental, teve que desistir de seu posto de professor de MIT e foi hospitalizado, passando meses em hospitais, mesmo contra a sua vontade. Nash se recuperava temporariamente, mas logo voltava a sofrer distúrbios mentais. Contudo, nos breves intervalos de sua recuperação, produziu importantes trabalhos matemáticos.

Ao longo dos próximos anos, foi se recuperando lentamente, conseguindo ignorar seus delírios causados pela esquizofrenia paranóica. Nash voltou a trabalhar, retornando à Princeton como professor de matemática e ganhou uma série de prêmios acadêmicos internacionais. Em 1994, por sua tese de doutorado escrita há décadas atrás, foi agraciado com o mais prestigioso prêmio de matemática do mundo: o Nobel. Ao longo dos anos, sua tese, o “Equilíbrio de Nash”, foi usada para solucionar vários problemas econômicos e políticos. Mesmo assim, John Nash o considerou seu “trabalho mais insignificante”!

John Nash continua ensinando matemática na Universidade de Princeton, no estado norte-americano de New Jersey. O filme “Uma Mente Brilhante” (A Beautiful Mind) dirigido por Ron Howard e estrelado por Russell Crowe, retrata uma versão romantizada de sua vida.
 

Análise do Filme

clip_image003Filme: Uma Mente Brilhante.
Diretor: Ron Howard.
Roteirista: Akiva Goldsman, baseado em livro de Sylvia Nasar.
Duração: 135 min.
Ano: 2001.

O filme Uma Mente Brilhante relata a história de um grande matemático americano, John Forbes Nash Jr. O matemático é um rapaz tímido e introvertido, com dificuldades de socialização, no entanto é extremamente inteligente, que está sempre às voltas com a busca de sua idéia original. Gênio precoce, elaborou uma teoria revolucionária sobre economia e, com isso, conseguiu o reconhecimento e o trabalho que buscava.

Durante o exercício de sua função, suas esquisitices são aceitas normalmente, devido ao meio ao qual pertence, que é tolerante com comportamentos extravagantes.

Nash se vê envolvido em conspirações e códigos que o envolve confidencialmente ao serviço secreto dos Estados Unidos. Este envolvimento trás perturbações, que o faz perder o controle sobre sua mente, evidenciando um mundo de paranóia e esquizofrenia.

Durante essas alucinações, Nash decifra códigos secretos ocultos em jornais e revistas. Sua sala de trabalho é absolutamente sigilosa encobrindo um mundo de cálculos.

A partir daí, não se sabe mais o que é real ou o que faz parte da mente de Nash, pondo todos nós a reavaliar a história do filme já transcorrida e decidir o que é real ou irreal.

Paralelamente, existe o romance de Nash com sua aluna Alicia que vê algo além das esquisitices do matemático, casando-se com ele. No transcorrer da história Alicia e Nash lutam para conseguir manter a lucidez em sua mente, e, assim, conseguir em 1994 o Prêmio Nobel de Economia, que, aliás, deveria ser um erro, pois John Nash era matemático.

O filme traz idéias e valores contraditórios que vão sendo mostrados no decorrer da história. No início, fica evidente o preconceito contra o jovem desconhecido ganhador da bolsa da universidade, o individualismo e a competição entre os estudantes. A genialidade e a criatividade de Nash são abordadas em seguida, com referências aos trabalhos desenvolvidos. No final, o que prevalece são a solidariedade, a amizade, o reconhecimento, a tenacidade, o carinho e a vitória acachapante do amor contra todas as adversidades.

Algumas Frases Interessantes

Durante o filme podemos observar algumas frases citadas, que trazem significados pertinentes:

“Reconhecimento ou realização? Há alguma diferença?”

“Chega de olhar para o espaço. Vou olhar para a parede como querem.”

“O gênio vê a resposta antes da pergunta.”

“O homem é tão atroz quanto criativo.”

“Acredito que decidir as coisas dá sorte.”

“Acredito em designar valor às coisas.”

“Não se tem certeza de nada. Essa é a única certeza que tenho.”

“As atividades estão aí disponíveis. É só acrescentar significado.”

“Preciso acreditar que algo extraordinário é possível.”

“É somente nas misteriosas equações do amor que qualquer lógica ou razão pode ser encontrada.”

 

Conclusão 

O filme aborda a vida de um importante matemático na história do século XX de uma maneira interessante e prazerosa de se ver. Com isso há a grande possibilidade do público não-matemático se interessar um pouco mais sobre Matemática.

O filme em si não traz a Matemática como Ciência, mas sim como parte da vida de um homem que, apesar de ser um gênio, têm suas frustrações, esquisitices, amores, doenças, amizades, assim como qualquer pessoa.


Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Pirâmide

Analisando a pirâmide abaixo, podemos relacionar algumas semelhanças:

clip_image001

Analisamos separadamente o triângulo retângulo:clip_image002

Por semelhança de triângulos, temos:

clip_image003

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Se elevarmos ao quadrado, termos:

clip_image006

Como L2 e l2 são as áreas das bases das pirâmides maior e menor, respectivamente, reescrevemos como:

clip_image007

Denomina-se tronco de pirâmide de bases paralelas a parte da pirâmide limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer desta pirâmide.

O volume V do tronco de pirâmide é obtido pela diferença dos volumes das pirâmides:

clip_image008

Já foi demonstrado como obter o Volume V de uma pirâmide, então temos que:

clip_image009

clip_image002

clip_image011

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Utilizando da propriedade da secção transversal, podemos determinar o valor da altura H em função de AB, Ab e h :

clip_image007[1]

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Substituindo ( II ) em ( I ), temos:

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Que é a fórmula para o cálculo do volume de tronco de pirâmide.


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone por Semelhança de Triângulo
Demonstração da Fórmula do Volume de Troca de Cone
Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide

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