21/06/2009

Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide

Após procurar por um bom tempo uma demonstração convincente da fórmula do volume de uma pirâmide, resolvi botar os neurônios para trabalhar. Demorou um pouco mas consegui descobrir de onde vem aquele 1/3 da área da base pela altura. Para entender a demonstração é necessário conhecer um pouco de cálculo integral.

Parte 1: Demonstração Fórmula Volume Pirâmide de Base Circular

Vamos considerar primeiramente um caso particular de pirâmide: o cone.

Considere a área sombreada sob a curva f (x) = ax:

triangulo ret

Podemos notar que a figura formada é um triângulo retângulo com um dos vértices na origem. Se rotacionarmos este triângulo 360º em torno do eixo x, observamos que a figurar formada é um cone com vértice na origem:

fx ax cone

Para encontrarmos o volume deste cone, vamos supor fatias paralelas ao eixo y com larguras infinitesimais dx e raio y:

cilindro infinitesimal dx 2

O Volume de um Cilindro é dado por:

clip_image002

clip_image004

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a y e sua altura é igual a dx, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

clip_image002[4]

Podemos dizer que o cone é formado por infinitos  cilindros de alturas infinitesimais dx, onde o raio y é variável para cada cilindro. A soma destes cilindros será dada pela integral definida:

clip_image002[6]

clip_image004[4]

Que equivale a dizer:

clip_image002[8]

onde f (x) é a curva f (x) = ax, x0 e x1 são os limites da área sob a curva (o vértice e o centro da base do cone gerado, respectivamente).

Temos então que o volume do cone é dado por:

clip_image002[10]

mas f (x) = ax, portanto:

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Integrando em relação a x, temos:

clip_image002[18]

clip_image002[20]

mas como x0 = 0 (origem), temos:

clip_image002[22]

Em contrapartida temos que:

clip_image002[24]

clip_image004[6]

clip_image006

Substituindo ( II ) em ( I ), obtemos:

clip_image002[26]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

Mas y1 é o raio da base no cone e x1 é sua altura. Então podemos reescrever o volume como:

clip_image002[28]

Se a área da base do cone é:

clip_image002[30]

Temos que:

clip_image002[32]

Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.

 

Exemplo 1: Dado o cone abaixo, calcular seu volume.

cone ex11

Primeiramente, vamos remanejar o cone acima para melhor entendimento:

cone ex22

clip_image002[4]

clip_image004[5]

clip_image006[3]

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

clip_image016

Se utilizarmos a fórmula pronta para cálculo de volume de pirâmide, temos:

clip_image002[6]

clip_image004[7]

clip_image006[5]

Que é o mesmo valor encontrado utilizando o conceito de integral definida.

 

Parte 2: Demonstração Fórmula Volume Pirâmide de Base Qualquer

Consideremos a pirâmide de base quadrada abaixo:

piramide ret 1

Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao eixo y com alturas infinitesimais dx:

quadrado infinitesimal 1

O volume deste prisma de altura infinitesimal é dado por:

clip_image002[8]

clip_image004[9]

Mas l / 2 é igual a y, então:

clip_image002[10]

clip_image004[11]

Podemos dizer que o volume da pirâmide é constituído por infinitos prismas de alturas infinitesimais dx, onde os lados l são variáveis para cada prisma.

A soma destes prismas de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

clip_image002[12]

clip_image004[13]

clip_image006[7]

clip_image008[4]

Integrando em relação a x, temos:

clip_image002[14]

clip_image004[15]

Mas como x0, então:

clip_image002[18]

Temos que f (x) = ax:

clip_image002[20]

Substituindo (II) em (I), temos:

clip_image002[22]

clip_image004[17]

clip_image006[9]

Mas y1 é a metade da aresta lateral da base da pirâmide e x1é sua altura h:

clip_image002[24]

clip_image004[19]

clip_image006[11]

Como a área de base é l2, então:

clip_image002[26]

Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.

Vimos que numa pirâmide de base circular e quadrada, encontramos a mesma fórmula para o volume. Se quisermos aplicar o mesmo conceito para uma pirâmide de base pentagonal, hexagonal ou n-gonal, veremos que todas recaem à mesma fórmula para o volume.


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone Partindo da Fórmula do Volume de Pirâmide
Demonstração da Fórmula do Volume de Cone por Semelhança de Triângulo
Demonstração da Fórmula de Tronco de Pirâmide

23 comentários:

  1. Bruno Avila12/11/2009 23:20

    Muito bom o conteudo deste blog. Parabéns.

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  2. Em um curso de licenciatura em Matemática EAD muitas vezes não entendemos as demonstrações de algumas funções. Encontrei seu blog. Muito bom! Voltarei a rev ê-lo. Acabo de tirar algumas dúvidas, principalmente quanto aos volumes da esfera e da pirâmide.
    Abração

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  3. Fala Clodoaldo. Que bom que pude te ajudar com os posts desse blog. Em que instituição você faz seu curso?

    Até +

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  4. Sempre quis saber da onde vinha o 1/3h. Acabei de descobrir!!Hehehe. Ótimo blog, vi muitas demonstrações excelentes. Recomendo!!

    Bjs.

    Sarah

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  5. Muito bom, bastante didático! Sempre me sinto meio inquieto de sair por aí usando fórmulas que não faço ideia de onde vieram, e aqui as demonstrações estão muito bem explicadas!

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  6. Olá amigo.
    Me sinto da mesma forma em relação à fórmulas e, até onde consigo, vou demonstrando-as.
    Obrigado pela visita!

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  7. Muito bom. Demonstração didática e bem explicada para pessoas que têm curiosidades sobre as fórmulas que estão usando. Eu às vezes consigo provar algumas, mas muitas como essa passam. Bravo!

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  8. Olá Amigo, obrigado pela visita e comentário. Se quiser pode me enviar o material de suas demosntrações que vejo se publico aqui.

    Um abraço!

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  9. RÔMULO CALADO11/10/2010 22:51

    Já é louvável a busca do conhecimento de forma autodidata, ainda mais louvável é compartilhá-lo. Parabenizo-o, portanto, pela sua atitude exemplar. Desde já agradeço pela atenção.

    Abraço!

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  10. Eu que agradeço seu comentário. Aproveito para dizer que em outros posts, assim como este, me preocupei em disponibilizar todo o desenvolviemnto para que o leitor tenha tenha todo o entendimento.

    Um abraço e obrigado pela visita e comentário!

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  11. Boa tarde! Parabéns pelo trabalho, adoro esse blog!
    Eu estava procurando uma demontração do volume de pirâmides e achei a daqui, mas mesmo assim fiquei tentando resolver sem recorrer ao cálculo, mas só à geometria e percebi que é mais fácil do que parece.
    Na proposição 7 do livro XII dos elementos, existe a prova que "qualquer prisma de base triangular pode ser dividido em três pirâmides de bases triangulares de iguais volumes". Bom, se tivermos uma pirâmide de base quadrada, por exemplo, podemos dividí-lo em 4 pirâmides de base triangular, todas com a mesma altura da pirâmide original. Sabendo que cada uma delas tem volume b.h/3, temos que o volume da pirâmide original é 4.b.h/3, como as bases são divisões da base original, então 4.b=B, B é a base da pirâmide original, então V=B.h/3. Esse raciocínio pode ser usado para qualquer pirâmide.
    Não sei se deu pra entender, mas é difícil explicar sem usar imagens.
    Abraço!

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  12. Olá Guga. Entendi sim. O Cálculo resolve muitos problemas geométricos, mas é necessário um conhecimento básico de integração. Eu tenho o livro dos Elementos e vou dar uma lida nesta demonstração. Se der farei um novo post como opção com uma demonstração geométrica.

    Abraços!

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  13. Boa a demonstração. Mas como esse conteúdo é de ensino médio necessita de ser demonstrado através de ferramentas disponíveis até aquele momento para o educando.
    Sugiro demonstrar através de semelhanças de triângulo. Caso queira envio a demonstração.

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    Respostas
    1. Olá amigo. Envie-me para meu email: kleberkilhian@gmail.com que farei a publicação com créditos em seu nome.

      Fico no aguardo.

      Abraços.

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  14. Ahh acheii mto bom msm, tava precisando disso!

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  15. Bom, o meu caso foi o contrário, quis provar a formula de volume da pirâmide para provar o calculo integral, por isso que não usei calculo integral para provar a formula do volume da pirâmide, integrando uma equação do 2º grau você já consegue concluir que o volume de uma pirâmide de base triângular é a base do triângulo dividido por 3, porquepor exemplo ao integrar x ao quadrado, você obtêm x ao cubo / 3.

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  16. kkkkkkkkk, a função(função do raio): f(r)=(r ao quadrado).3,14;
    já esta pronta, integrando ela simplesmente você já chega nesse resultado, o eixo x ele já é linear, você n precisa de uma equação da reta.

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  17. Muito bom,é importante sabermos utilizar o calculo para esse tipo de demonstração.Parabéns!

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$$a^2+b^2=c^2$$
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