28/06/2009

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone a Partir do Volume de Pirâmide

Se imaginarmos uma pirâmide de infinitos lados, isso nos leva a um caso particular de pirâmide: o Cone.

A demonstração para a Fórmula do Volume de Tronco de Cone será feita de duas formas: algebricamente e por semelhança de triângulos.

 

1) Demonstração algébrica da Fórmula do Volume de Tronco de Cone

Partindo da fórmula demonstrada de Tronco de Pirâmide, temos:

clip_image002

Como no tronco de cone as áreas das bases AB e Ab são:

clip_image002[4]

clip_image004

Podemos reescrever a fórmula do Volume de Tronco como:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

clip_image004[4]

clip_image006

Que é a Fórmula para o cálculo do Volume do tronco de Cone.

 

2) Demonstração por semelhança de triângulos da Fórmula do Volume de Tronco de Cone

Dado o Cone abaixo, seccionado paralelamente a uma altura H de sua base.

Cone

Destacamos o triângulo retângulo:

Semelhança triângulos[9]

Por semelhança de triângulos, temos:

clip_image004[6]

Daí temos:

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Temos que:

clip_image016

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Substituindo (I) em (II), obtemos:

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

Que é a Fórmula para o cálculo do Volume do tronco de Cone.´


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Cone por Semelhança de Triângulo
Demonstração da Fórmula de Tronco de Pirâmide
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

27 comentários:

  1. poderia dar exemplos de calculos do tronco de cone de numeros exatos

    ResponderExcluir
  2. Olá,
    Me preocupei mais em demosntrar a fórmula usada, pois não é tão comum encontrá-la por aí. Agora, exemplicando seu questionamento, imagine um tronco de pirâmide cuja altura mede 3,cujos raios das bases maior e menor medem 2 e 1, respectivamente. Calculando o volume do tronco, obteremos 7PIuv, onde uv é qualquer unidade volume.

    ResponderExcluir
  3. Quem não sabe fazer essa demonstração? Minha sobrinha de 7 anos fez com as mãos amarradas e um lápis na boca! Resolve uma integral ae!

    ResponderExcluir
  4. Bem, sua sobrinha pode fazer tal demonstração. Mas pelo jeito você não sabe. Tanto é verdade que andou procurando pela net até encontrar em meu blog.
    Neste link tem a demosnstração do volume de cone por integral:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-da-formula-do-volume-de.html

    Mas como você visitou, creio, 3 páginas deste humilde blog, acho que a encontrou.

    Mas veja só: a demosntração do link acima é do volume de pirâmide. Para adaptá-la ao volume de tronco, ao invés de considerar X0 como a origem, considere um X qualquer.

    Até +

    ResponderExcluir
  5. massa esse blog...
    parabéns

    ResponderExcluir
  6. Ô Amigo, obrigado pelo comentário, é de grande valor para mim.

    Abraços!!

    ResponderExcluir
  7. Gostei da demonstração, são pooucos livros que a fazem, inclusive o Dante nõ faz em seu livro, ele prefere usar o princípio de cavalieri, quanto ao comentário de Juvenal ele deve ser mais um quase matemático da história que não sabe ver o sucesso de seus companheiros de profiissão!

    ResponderExcluir
  8. Olá Lyon. Não vi ainda esse livro do Dante, mas já vi em muitos outros livros que a demonstração é meio obscura. Procurei fazer esta demonstração algebricamente e por semelhança de triângulos para melhor esclarecimento. Obrigado pelos elogios e por dispor de um tempo para escrever estas palavras.

    Neste link tem um post sobre o Princípio de Cavalieri:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html

    Um abraço!

    Até +

    ResponderExcluir
  9. joão carlos27/05/2010 20:15

    Kleber, parabéns,muito bom o seu trabalho.

    ResponderExcluir
  10. boa tarde, preciso ajuda para achar volume de tronco formado por dois cones elipsoides....alguem tem solução?
    obrigado.
    Joao Teo

    ResponderExcluir
  11. Olá amigo. Bem ,creio que você está fazendo alguma confução: cones e elipsóides são figuras diferentes; o cone é gerado a partir da rotação de um triângulo e o elipsóide é gerado a partir da rotação de uma elipse.
    Por favor exponha seu problema de maneira que puder que tentarei ajudar.
    Abraço.

    ResponderExcluir
  12. Blz cara! Perdi a aula de Calculo que falou sobre esta demonstração! Ajudou muito! Siga em frente!

    ResponderExcluir
  13. Olá, Kleber Kilhian!
    Como vai? É um belo trabalho o seu Blog sobre Matemática...Eu que gosto de livros antigos nessa àrea dos anos de 1923 em diante, os quais poderia dizer, raros, e que são difíceis de encontrar ,hoje em dia, que não seja em uma biblioteca encontrei aqui de uma forma bastante elucidativa...Parabéns! Abraços, Ignacio.

    ResponderExcluir
  14. Olá Ignácio,
    Agradeço seu comentário. Também gosto bastante de história da matemática e de como esta ciência veio se desenvolvendo durante séculos.
    Procura fazer o melhor que posso, e cada dia aprendo um poci mais.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  15. incrivel, parabens

    ResponderExcluir
  16. Ótima demonstração!!!

    ResponderExcluir
  17. adorei teu blog,aproveitando a oportunidade gostaria que me demonstrasse como calcular a raiz cubica manualmente,isto é sem maquina de calcular

    joel henrique

    ResponderExcluir
  18. Prof. Joel, veja nos comentários do arigo do link abaixo, tem um procedimento para encontrar raiz cúbica:
    http://matemagicasenumeros.blogspot.com.br/2011/02/extrair-raiz-quadrada-sem-usar.html

    Um outra forma é utilizar o algoritmo de Newton:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-newton-para-aproximo-de-raz.html

    o exemplo está de uma raiz quadrada, mas é só adaptar para raiz cúbica.

    Se encontrar algum outro método, coloco aqui.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  19. Prezado Kleber
    Mestre por favor me ajude. Acho que vou enlouquecer, me explique porque o volume de um cilindro calculado atraves da formula (pi x r^2 x h) é diferente do resultado obtido através do cálculo da revolução de uma pá em torno do eixo. exemplo:
    imagine um cilindro de raio igual a 4 e altura igual a 10,com base circular, seu volume é igual a 160 pi uv3, não é isso?
    se eu calculo a área da pá ( 4 x 10 = 40) e faço ela girar em torno da circunferência, não seria 40 x 8 pi= 320 pi, onde está o meu erro?

    ResponderExcluir
  20. Sempre que eu partir um cone ao meio ficando um novo cone e um tronco de cone, o novo cone será equivalente a um oitavo do volume total do cone original????

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Sim. Seja $h$ a altura de um cone de raio $R$. Seu volume será de $\displaystyle \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

      Ao seccionarmos o cone na metade de sua altura, será gerado um novo cone de altura $h/2$ e raio $r$. O volume desse novo cone será de $\displaystyle \frac{1}{6} \pi r^2 h$.

      Escrevendo $R$ em função de $r$, obtemos: $R=2r$.

      Agora, descobriremos a proporção entre os volumes. Seja $V$ o volume do cone original de raio $R$; e seja $v$ o volume do cone de raio $r$:
      $$\frac{V}{v}=\frac{\frac{4\pi r^2 h}{3}}{\frac{\pi r^2 h}{6}}=8$$
      $$V=8v$$

      Um abraço.

      Excluir
  21. Parabéns pelo blog!
    É possível demonstrar a partir do volume do cilindro?
    Grato.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. É possível se levar em conta que o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro circunscrito.

      Excluir
  22. Parabens! Mas suponhamos que eu tenha um balde em formato de tronco de cone e eu queira saber qual a altura deve ser preenchida com liquido para que eu tenha por exemplo a metade do volume do balde cheio... Eu não tive ainda muito tempo para pensar nisso, mas quero encontrar uma formula para calcular o volume em função da altura, mas nesse caso, o "R" se torna variável. Vou tentar desenferrujar a cabeça hoje rsrs.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Utilizando a fórmula para o volume do tronco de cone, temos que isolar o $h$, que será a altura do nível de água. O volume $V$ será fixo. Tentei isolar o $h$, mas a equação complicou e não consegui. É um problema interessante e vou continuar a tentar achar uma solução.

      Abraços.

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...