19 de jul de 2009

Demonstração da Derivada da Função Exponencial

Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada.



Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$.

Demonstração:

Primeiramente, vamos provar o limite:
\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln(a), \quad \forall a>0
\end{equation}
Fazemos uma mudança de variável:
\begin{equation}
a^x-1=t
\end{equation}
sendo $a \neq1$.

Se $x$ tende a zero, então $t$ também tende a zero, pois:
\begin{equation}
a^0-1=t \Longrightarrow 1-1=t \Longrightarrow t=0
\end{equation}
Fazemos então:
\begin{equation}
a^x=1+t
\end{equation}
Assim, podemos escrever:
\begin{equation}
\ln(a^x)=\ln(1+t) \Longrightarrow x\ln(a) = \ln(1+t) \Longrightarrow x=\frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
\end{equation}
Tomando o limite inicial dado em (1), aplicamos a mudança da variável $x$ para $t$:
\begin{equation*}
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t \cdot \ln(a)}{\ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\ln(1+t)^{1/t}}
\end{equation*}
Pelo limite fundamental exponencial, o limite tende a $e$:
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Então, aplicando o limite, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\ln(a)}{\ln(e)} = \frac{\ln(a)}{1} = \ln(a)
\end{equation}
Demonstrando assim, o limite inicial dado em $(1)$. Agora, utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Para uma função exponencial do tipo:
\begin{equation}
f(x) = a^x , \quad \forall x \in \mathbb{R},\ a>0\ \text{e}\ a \neq 1
\end{equation}
Fazemos as devidas substituições:
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
\end{equation}
Aplicando o limite dado em $(1)$, podemos reescrever $(10)$ como:
\begin{equation}
f'(x) = a^x \cdot \ln(a)

\end{equation}
Podemos dizer que se $f(x) = a^x$, então sua derivada será $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Mas, se fizermos $a = e$, obtemos:
\begin{equation}
f'(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x
\end{equation}

Veja mais:

Demonstração da Derivada da Função Produto
Demonstração da Derivada da Função Quociente
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica

17 comentários:

  1. foda, tomara qe a minha linda prof n queira qe eu demonstre isso

    ResponderExcluir
  2. Olá, geralmente as demonstrações são feitas para os alunos entenderem a origem. Isso facilita o entendimento. Um abraço.

    ResponderExcluir
  3. parabéns pela belíssima demonstração, gostei muito

    ResponderExcluir
  4. Olá amigo, esta demonstração vi durante o curso na faculdade, assim como outras sobre derivadas de funções trigonométricas. Achei importante publicá-las. Obrigado pela visita e comentário.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  5. Olá!

    Tópico bem bacana e didático. Temos apenas um deslize: na expressão (I), foi esquecido de colocar o $ \displaystyle a^x $ em evidência (o segundo $ \displaystyle a^x $).

    Isso poderia causar alguma confusão.

    Parabéns pelo post.

    prof. Alexandre

    ResponderExcluir
  6. Olá Prof. Alexandre,

    Obrigado por me avisar do erro, já o corrigi. Por mais cuidado que tenho, às vezes ainda passa algum erro de digitação.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  7. valeu cara muito booooooooooooom

    ResponderExcluir
  8. Olá, professor. Gosto muito do teu blog, mas acredito que contenha um pequeno erro na segunda equação abaixo da frase "Assim podemos escrever:".

    Abraço e obrigado!

    ResponderExcluir
  9. Olá Ítalo. Realmente dei uma cochilada na hora de escrever a fórmula. Já está corrigida. Obrigado pela visita epor relatar o erro.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  10. Muito obrigado pelo post, estava procurando há tempos por essa demonstração! Continue com este excelente trabalho.

    ResponderExcluir
  11. Obrigado pelo incentivo. Volte sempre!

    ResponderExcluir
  12. Como desenvolver e^x através de uma série de polinômios do tipo Som( x^n quando n varia de 0 a mais infinito? Kleber !! por favor se voce tem alguma ideia sobre isso me ajude por favor!! Eu sei que da Som X^n / n! mas por que??

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Hamilton, dê uma olhada neste link, talvez te ajude:
      http://math.stackexchange.com/questions/433442/why-is-sum-n-0-infty-fracxnn-ex

      Excluir
    2. Isso se deve ao fato da derivada de $ e^x $ ser ele mesmo e também do fato que $ e^0 = 1$ para entender melhor estude a série de MacLaurin te recomendo esse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=0dqWoZs3erM&list=PLF2E932B3349C96A4&index=12
      Esse professor é bom para explicar como se faz os cálculos mas não faz demonstrações, para uma demonstração de porque a série de Taylor/MacLaurin funciona te recomendo esse post do blog A Matemática Pura: http://amatematicapura.blogspot.com.br/2011/01/polinomios-de-taylor.html

      Excluir
  13. Muito obrigada pela demonstração!

    ResponderExcluir
  14. Precisava dessa demonstração, os livros que tinha eram imcompletos. Muito obrigado!

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...