19/07/2009

Fórmulas de Prostaférese

As Fórmulas de Prostaférese também são conhecidas como Fórmulas de Transformação em Produto.

Existem situações em que podemos obter o valor numérico de uma determinada expressão aplicando cálculos diretos. Outras vezes precisamos transformá-la ou fatorá-la para sua resolução.

Veremos algumas transformações de soma e diferença de funções trigonométricas em produto. Com isso, teremos recursos necessários para adaptar algumas fórmulas trigonométricas ao cálculo de logaritmos e realizar fatorações, que são úteis na resolução de equações trigonométricas.

formulas-de-prostaferes


Consideremos as Identidades Trigonométricas abaixo:

(1) Seno da Soma de Arcos:

$$
\text{sen}(a+b) = \text{sen}(a)\ \cos(b)+\text{sen}(b)\ \cos(a)
$$

(2) Seno da Diferença de Arcos:

$$
\text{sen}(a-b) = \text{sen}(a)\ \cos(b)-\text{sen}(b)\ \cos(a) 
$$

(3) Cosseno da Soma de Arcos:

$$
\cos(a+b) = \cos(a) \cos(b)-\text{sen}(a) \text{sen}(b) 
$$

(4) Cosseno da Diferença de Arcos:

$$
\cos(a-b) = \cos(a) \cos(b)+\text{sen}(a) \text{sen}(b) 
$$

Se combinarmos adequadamente essas identidades trigonométricas, obteremos as chamadas Fórmulas de Werner. Fazemos as somas: $(1)+(2)$, $(1)-(2)$, $(3)+(4)$ e $(3)-(4)$, para obter:


$(1)+(2)$

$$
\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b) =\\
\ \\
= \text{sen}(a) \cos(b) + \text{sen}(b) \cos(a) + \text{sen}(a) \cos(b)-\text{sen}(b) \cos(a)\\
\ \\
= \text{sen}(a+b) + \text{sen}(a-b) = 2 \text{sen}(a) \cos(b)
$$

$(1)-(2)$

$$
\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b) = \\
\ \\
= \text{sen}(a) \cos(b) + \text{sen}(b) \cos(a)-\text{sen}(a) \cos(b)\text{sen}(b) \cos(a)\\
\ \\
= \text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b) = 2 \text{sen}(b) \cos(a)
$$

$(3)+(4)$

$$
\cos(a+b) + \cos(a-b) =\\
\ \\
= \cos(a) \cos(b)-\text{sen}(a) \text{sen}(b) + \cos(a) \cos(b) + \text{sen}(a) \text{sen}(b)\\
\ \\
= \cos(a+b) + \cos(a-b) = 2 \cos(a) \cos(b)
$$

$(3)-(4)$

$$
\cos(a+b)-\cos(a-b) =\\
\ \\
= \cos(a) \cos(b)-\text{sen}(a) \text{sen}(b)-\cos(a) \cos(b) + \text{sen}(a) \text{sen}(b)\\
\ \\
= \cos(a+b)-\cos(a-b) = -2 \text{sen}(a) \text{sen}(b)
$$
 

Se fizermos uma mudança de variável nestas fórmulas de Werner, onde:
  • $(a+b) = p$
  • $(a-b) = q$

obteremos o sistema:
\begin{cases}
a+b=p\\
a-b=q
\end{cases}
Para resolver o sistema, somamos membro a membro:
$$
2a = P + q\\
\ \\
a = \frac{p+q}{2}
$$
Substituindo o valor de $a$ na primeira equação, obtemos:
$$
\frac{p+q}{2} + b = p\\
\ \\
b = p-\frac{p+q}{2}\\
\ \\
b = \frac{2p-p-q}{2}\\
\ \\
b = \frac{p-q}{2}
$$
Se substituirmos os valores de $a$ e $b$ nas Formulas de Werner, temos:

Soma dos senos

$$
\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b) = 2\text{sen}(a)\cos(b)\\
\ \\
\text{sen}(p)+\text{sen}(q) = 2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)
$$

Subtração dos senos

$$
\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b) = 2\cos(a)\text{sen}(b)\\
\ \\
\text{sen}(p)-\text{sen}(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)
$$

Soma dos cossenos

$$
\cos(a+b) + \cos(a-b) = 2\cos(a)\cos(b)\\
\ \\
\cos(p)+\cos(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
$$

Subtração dos cossenos

$$
\cos(a+b)-\cos(a-b) = -2\text{sen}(a)\text{sen}(b)\\
\ \\
\cos(p)-\cos(q) = -2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right) \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)
$$

Estas são as Fórmulas de Transformação em Produto, de soma e diferença de senos e cossenos, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese.

Das Fórmulas de Prostaférese, podemos deduzir as fórmulas em relação às tangentes:

Soma das tangentes

$$
\text{tg}(p)+\text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)}{\cos(p)} + \frac{\text{sen}(q)}{\cos(q)}\\
\ \\
= \frac{\text{sen}(p)\cos(q) + \text{sen}(q)\cos(p)}{\cos(p)\cos(q)}\\
\ \\
= \frac{\text{sen}(p+q)}{\cos(p)\cos(q)}
$$

Subtração das tangentes

$$
\text{tg}(p)-\text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)}{\cos(p)} - \frac{\text{sen}(q)}{\cos(q)}\\
\ \\
= \frac{\text{sen}(p)\cos(q) - \text{sen}(q)\cos(p)}{\cos(p)\cos(q)}\\
\ \\
= \frac{\text{sen}(p-q)}{\cos(p)\cos(q)}
$$

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Atualização:

  • Artigo atualizado em 21/04/2021
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Fórmulas de Prostaférese. Publicado por Kleber Kilhian em 19/07/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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4 comentários:

  1. nooooos, eu relembrei meu cursinho turma especial ITA uahuahuahuaha
    Muito bom o post, estão de parabéns!!

    ResponderExcluir
  2. Olá, senhor Kebler! Gostaria de saber mais detalhado a utilização das manipulações matemáticas no ciclo trigonométrico, tais como: a adição,subtração, dobro e metade do arco e da transformação da soma ou subtração em produto. Tem como o senhor fazer uma breve explicação sobre quando,como e por que devo utilizá-las?

    ResponderExcluir
  3. a terceira fórmula tá errada naquele -1 deveria ser -q

    ResponderExcluir

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