27/08/2009

Pontos Notáveis de um Triângulo

Abordaremos aqui os pontos notáveis de um triângulo: Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. Para uma melhor compreensão do que será estudado, vamos expor algumas definições iniciais:

Cevianas Notáveis

As cevianas aqui estudadas serão: Mediana, Bissetriz Interna e Altura.

O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas.

Definição de Ceviana: é todo seguimento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

Reta suporte de um seguimento, ou simplesmente suporte de um seguimento, é a reta na qual esse seguimento está contido.

Reta suporte

onde r é o suporte de clip_image002.

Conforme a definição, uma das extremidades da ceviana é um vértice. Podemos dizer que a ceviana é relativa a esse vértice, ou relativa ao lado oposto ao mesmo. A outra extremidade da ceviana é denominada pé. Assim, na figura acima, as cevianas clip_image002[4], clip_image002[6] e clip_image002[8] são relativas ao vértice A ou também relativa ao lado clip_image002[10] e os pontos A1, A2 e A3 são os pés dessas cevianas.

Cada vértice de um triângulo podem conter infinitas cevianas, estas podendo ser internas ou externas.

Dentre essas infinitas cevianas, há três que são muito importantes, por isso são chamadas de notáveis. São elas:

a) Mediana

Definição: Mediana é toda ceviana que tem uma das extremidades no ponto médio de um lado.

Mediana A Mediana B Mediana C

Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são denotados por Ma, Mb e Mc, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por ma,mb e mC.

b) Bissetriz Interna

Definição: Bissetriz Interna é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes.

Bissetriz Interna A Bissetriz Interna B Bissetriz Interna C

Por convenção, os pés das bissetrizes internas relativas aos vértices A, B e C são denotadas por Sa, Sb e Sc, respectivamente, e os comprimentos das mesmas por sa, sb e sc.

c) Altura

Definição: Altura é toda ceviana perpendicular a um lado ou ao seu suporte.

Altura A Altura BAltura C

Por convenção, os pés das alturas relativas aos vértices A, B e C são denotados por Ha, Hb e Hc, respectivamente, e os comprimentos dessas alturas por ha, hb e hc.

 

Pontos Notáveis de um Triângulo

Para qualquer triângulo, valem as seguintes propriedades:

P1) As três medianas concorrem num mesmo ponto;

P2) As três bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto;

P3) As retas suportes das três alturas concorrem num mesmo ponto;

P4) As mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto.

Esses pontos de encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominadas pontos notáveis.

a) Baricentro (G)

As três medianas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

Esse ponto é denominado Baricentro do triângulo e é denotado por G.

Demonstração do Baricentro de um Triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Baricentro1

Por hipótese, temos:

clip_image002[3] , clip_image002[5] e clip_image002[7] são medianas.

Por tese, temos:

clip_image002[9]

clip_image004

clip_image006

clip_image008

Demonstração:

Seja X o ponto onde:

clip_image002[11]

Que é o baricentro G que queremos demonstrar. Se considerarmos os pontos médios D e E de clip_image002[13] e clip_image002[15], temos que , no triângulo ABC:

Se:

clip_image002[17] e clip_image002[19]

Então:

clip_image002[21] e clip_image002[23]

E se:

clip_image002[25] e clip_image002[27]

Então:

clip_image002[29] e clip_image002[31]

Daí, segue que:

clip_image002[33] e clip_image002[35]

Logo, M2M3DE é paralelogramo.

Então:

clip_image002[37]

clip_image004[4]

Logo, a Mediana clip_image002[39], intersecta a mediana clip_image002[41] num ponto X tal que:

clip_image002[43]

Tomando-se as Medianas clip_image002[45] e clip_image002[47] e sendo Y o ponto tal que:

clip_image002[49]

De modo análogo, concluímos que:

clip_image002[51]

clip_image004[6]

De ( I ) e ( III ) vem que X = Y.

Se chamarmos esse ponto X = Y de G e considerarmos ( I ), ( II ) e ( IV ), temos:

clip_image002[53]

e

clip_image002[55]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

b) Incentro ( I )

As três bissetrizes internas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto. Esse ponto é chamado de Incentro e é denotado por I e se encontra à igual distância dos lados do triângulo.

O Incentro é o centro da circunferência inscrita num triângulo.

Demonstração do Incentro de um Triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Incentro

Por hipótese temos:

clip_image002[57], clip_image002[59] e clip_image002[61] são bissetrizes internas.

Por tese temos:

clip_image002[63]

e

dsa = dsb = dsc

Demonstração:

Seja I o ponto onde:

clip_image002[65]

Que é o Incentro que queremos demonstrar.

clip_image002[67]

clip_image004[10]

Então:

dSb = dSc

e

clip_image002[69]

Logo:

clip_image002[71]

e

dSa = dSb = dSc

c) Circuncentro ( O )

As mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto. Esse ponto é chamado de circuncentro e é denotado por O.

O Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo.

O Circuncentro pode ser:

Interno: se o triângulo for acutângulo:

Circuncentro interno

Externo: se o triângulo for obtusângulo:

Circuncentro externo

Coincidente: se o triângulo for retângulo:

Circuncentro coincidente

Demonstração do Circuncentro de um Triângulo:

Seja o triângulo:

Circuncentro

Por hipótese, temos:

m1, m2 e m3 são mediatrizes de clip_image002[1], clip_image002[3] e clip_image002[5].

Por tese, temos:

clip_image002[7]

e

clip_image002[9]

Demonstração:

Seja, então, O o ponto onde:

clip_image002[13]

Se:

clip_image002[15]

clip_image004[1]

Então:

clip_image002[17]

e

clip_image002[19]

Logo:

clip_image002[7]

e

clip_image002[9]

d) Ortocentro (H)

As três retas suportes das alturas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto. Esse ponto é chamado de ortocentro e denotado por H.

O ortocentro pode ser:

Interno: se o triângulo for acutângulo:

Ortocentro interno

Externo: se o triângulo for obtusângulo:

Ortocentro externo

Coincidente: se o triângulo for retângulo:

Ortocentro coincidente

Demonstração do ortocentro de um triângulo:

Seja o triângulo:

Ortocentro

Pelos vértices A, B e C, traçamos retas paralelas aos lados opostos obtendo o triângulo MNP. Temos então que:

clip_image002[21]

clip_image004[3]

clip_image006[1]

Analisando o triângulo, temos:

APBC é paralelogramo se :

clip_image002[23]

ABCN é paralelogramo se:

clip_image002[25]

Então:

A é o ponto médio de NP ( I )

Em contrapartida:

clip_image002[27], clip_image002[29] é perpendicular a clip_image002[31] ( II )

De ( I ) e ( II ) temos que a reta clip_image002[33] é a mediatriz de clip_image002[35].

Analogamente, temos:

clip_image002[37] é a mediatriz de clip_image002[39]

clip_image002[41] é a mediatriz de clip_image002[43]

Logo, considerando o triângulo MNP, as mediatrizes intersectam-se num ponto H:

clip_image002[45]

Referências:


[1] Fundamento de Matemática Elementar, Vol. 9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce, Ed. Atual
[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico, Vol. 1 – José Carlos Putnoki, Ed. Scipione


Veja mais:

Teorema da Base Média de um Triângulo
Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido Pelas Propriedades dos Vetores
Teorema do Ângulo Inscrito
A Mediana de um Triângulo no blog Fatos Matemáticos

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