14/02/2010

As Equações de Cauchy-Riemann

Seja f = u + iv  uma função derivável num ponto z = x + iy. Então o quociente:

clip_image002

Tem limite f ‘(z) com Δz –> à 0.

Podemos fazer Δz tender a zero por valores reais Δz = k e, separadamente, por valores imaginários Δz = it.

 

Cauchy 1

Obtemos, então:

clip_image002[4]

e

clip_image002[6]

De acordo com o Teorema:

Se clip_image002[8] 

então existe uma vizinhança V ‘δ (z0) na qual f (z) é limitada.

A existência desses limites implica a existência, separadamente, dos limites das partes reais das imaginárias das expressões sob limites:

clip_image002[10]

e

clip_image002[12]

Em conseqüência, as funções u e v possuem derivadas parciais no ponto (x,y), e valem nesse ponto as relações:

clip_image002[14]

e

clip_image002[16]

Se igualarmos as partes reais e as imaginárias, obteremos as chamadas Equações de Cauchy-Riemann:

clip_image002[18]

Uma aplicação seria em coordenadas polares assumindo a seguinte forma:

clip_image002[20]

Justificando o formato acima, baseamos no seguinte fato:

Em cada ponto P = (x,y) de coordenadas polares (r,θ), introduzimos um sistema cartesiano Pxy, de eixos Px e Py:

Cauchy 2

Para a demonstração analítica das equações de Cauchy em coordenadas polares, utilizamos as fórmulas de transformação:

clip_image002[22]

que definem implicitamente r e θ como funções de x e y. Se derivarmos em relação a x, obteremos:

clip_image002[24]

clip_image002[26]

Segue que:

clip_image002[28]

Referências:

[1] Notas de aula .


Veja mais:

Demonstração da 1ª Fórmula de De moivre
Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Equação de Clapeyron

5 comentários:

  1. Parabéns pelo post, estas equações são fundamentais em Variáveis Complexas. Hoje eu pesquisei no seu blog e os posts estão muito bons.
    Abraços!

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  2. Obrigado pelos elogios, Parceiro! Forte abraço!

    ResponderExcluir
  3. Seja a função z E(pertencente) C, a função e^z obedece as equações de Cauchy-Riemann?

    ResponderExcluir
  4. Olá amigo,
    $e^z$ também obedece as equações:
    Seja
    $f(z)=e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y))$
    Assim:
    $$u(x,y)=e^x\cos(y)$$
    e
    $$v(x,y)=e^x\sin(y)$$
    Para satisfazer as condições de Cauchy-Riemann, devemos ter:
    $$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$$
    e
    $$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$$
    Sendo:
    $$\dfrac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos(y)=\dfrac{\partial v}{\partial x}$$
    e
    $$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin(y)=-\dfrac{\partial v}{\partial y}$$
    Segue o resultado.

    Abraços.

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  5. Eu vi essa dedução geométrica das condições de Cauchy-Riemann no livro do Geraldo Ávila. Ele diz que a cada ponto se associa um novo sistema de coordenadas cartesianas PXY, e pelo que notei a abcissa é sempre paralela a R, sendo assim como é possível que haja um incremento delta teta para gerar a ordenada? Se em cada ponto houver um sistema, então o Y desse novo sistema será sempre ZERO. Não é?

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