7 de fev de 2010

Um método para calcular o $mmc$ e o $mdc$ entre dois números

Neste post, apresento um método onde podemos calcular o $mmc$ e o $mdc$ entre dois números inteiros sem fazer contas, utilizando papel quadriculado e uma régua.

$MMC$

Considere os dois números inteiros que desejamos determinar seu $mmc$. Num papel quadriculado, desenhe o contorno de um retângulo com dimensões $a$ e $b$. De qualquer um dos vértices deste retângulo, trace diagonais nos quadradinho internos, só finalizando quando encontrar um novo vértice. Conte quantas diagonais foram traçadas. Esse número é o $mmc$ procurado.

Exemplos $1$: Determinar o $mmc$ entre $2$ e $3$

Desenhamos o contorno de um retângulo com dimensões $2$ e $3$ e traçamos diagonais nos quadradinhos internos partindo de um dos vértices do retângulo:


Vejam que foram traçadas seis diagonais, o que equivale a dizer que $6$ é o $mmc$ entre os números $2$ e $3$.

Exemplo $2$: Determinar o $mmc$ entre $3$ e $5$

Utilizando o mesmo procedimento, obtemos:


Vejam que foram traçadas quinze diagonais, o que equivale a dizer que $15$ é o $mmc$ entre os números $3$ e $5$.

Exemplo $3$: Calcular o $mmc$ entre $2$ e $8$

Utilizando o mesmo procedimento, obtemos:


Vejam que foram traçadas oito diagonais. Logo, $8$ é o $mmc$ entre $2$ e $8$.

$MDC$

Considere os dois números inteiros que desejamos determinar seu $mdc$. Num papel quadriculado, desenhe o contorno de um retângulo com dimensões $a$ e $b$. Partindo de qualquer um dos vértices, trace uma diagonal do retângulo. Sempre que esta diagonal passar por um vértice de um dos quadradinhos internos, marque com um ponto. Em seguida, conte em quantas partes a diagonal do retângulo foi dividida. Este será o $mdc$ procurado.

Exemplo $4$: Determinar o $mdc$ entre $2$ e $3$

Desenhamos o contorno de um retângulo com dimensões $2$ e $3$ e traçamos uma diagonal do retângulo.


Vejam que a diagonal traçada encontra somente dois vértices dos quadradinhos internos. Então, esta diagonal foi dividida em apenas $1$ parte. Esse número de divisões da diagonal é equivalente ao $mdc$ entre os números $2$ e $3$.

Exemplo $5$: Determinar o $mdc$ entre os números $2$ e $4$

Utilizando o mesmo procedimento, obtemos:


Vejam que a diagonal traçada encontra três vértices dos quadradinhos internos. Então, esta diagonal foi dividida em $2$ partes. Esse número é equivalente ao $mdc$ entre os números $2$ e $4$.

Exemplo $6$: Determinar o $mdc$ entre os números $4$ e $10$

Utilizando o mesmo procedimento, obtemos:


Vejam que a diagonal traçada passa por $3$ vértices dos quadradinhos internos, sendo dividida em $2$ partes. Logo, $2$ é o $mdc$ entre os números $4$ e $10$.

Podemos trabalhá-lo em sala de aula de modo a explorar o desenvolvimento geométrico pelos alunos.

Veja mais:

O método do desfazer
Um método para a multiplicação entre dois números
Um método diferente de encontrar o $mmc$ e o $mdc$ entre dois números no blog TICs na Matemática



20 comentários:

  1. Beeeeemm interessante!
    VEry good!!

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  2. Meu caro, entra no meu blog e Deixa no Mural de Recados o script do teu BANNER do Blog p/ eu poder add nos parceiros!!
    Abraço!

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  3. Meu caro, o seu método do mmc determina um múltiplo comum entre dois números, este que por sua vez não é o menor deles, portanto, acho que deverias mudar o nome do método.

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  4. Olá amigo.
    Bem, não vi onde há erros no método, por favor me indique aonde, e se não estiver nos exemplos que dei, descreva um onde o método falha.
    Obrigado.

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    1. Mostre, por exemplo, mmc de 6 e 18 nesse método. Obrigado.

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    2. Veja na imagem que está no link abaixo:
      https://lh3.googleusercontent.com/IMeFzpRwrypIXwv1_lX1sqAzT-cAG0F1nwBvOs0oTTs=w339-h563-no

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  5. Olá, Kleber!
    Muito interessante esse método. Eu não o conhecia.
    No meu blog na página: "o que existis menos o que foi encontrado" em... atalho #4, eu postei um método para calcular o mmc de forma mental para vários números, que eu inventei há muito tempo, década de 60.
    [1]!!!!!

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  6. Olá Valdir,
    Realmente um método interessante.É só uma questão de prática para podermos aplicar o método com rapidez. A sacada de encontrar o mdc entre dois números, dividir por um e multiplicar pelo outro, encontrando assim o mmc, é genial!
    Sugiro a você fazer um post somente com esse método, ficará bem legal. Outra coisa é deixar habilitado o campo para comentários nos posts.
    Um abraço!

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  7. Vinicius Demiciano Orsolon21/08/2011 18:18

    Nossa, seu Blog é demais ! Eu adoro matemática, então eu me divirto lendo seu blog ! Parabéns pelo Blog (:

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  8. Olá Vinícius,
    Obrigado pelo comentário. Fico feliz de saber que goste de matemática, realmente é uma ciência fascinante!
    Abraços.

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  9. Muito interessante esse método geométrico, vi um programa para ipad e ipod que faz isso, vale a pena conferir: https://itunes.apple.com/br/app/lcm-gcd-geometric/id581825791?mt=8
    é o melhor.

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    1. Que interessante Victor. Parece que o método é americano mesmo. Obrigado pelo link.

      Abraços!

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  10. Olá Kleber,
    Estou organizando alguns problemas que podem ser resolvidos utilizando representações diferentes da que estamos acostumados, e um dos exemplos é o cálculo de $mmc$ e $mdc$, um pouco diferente deste método que aqui aparece (encontrado num caderno da SBM).

    Resolvi por investigar outros métodos na web e não falha, o seu blog me apresenta dois métodos.

    Li toda a postagem e verifique algumas observações de edição; sendo novamente chato, segue:
    * A frase no final do exemplo 2 cita $mmd$, não seria $mmc$?
    * Não foi indicada uma frase no final do $mmc(2,8)=8$ no exemplo 3; apesar de ser simples o entendimento para o leitor;
    * Nos exemplos 4, 5 e 6 a palavra "número" deveria estar no plural.

    Obrigado mais uma vez por suas postagens!

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    Respostas
    1. Olá Charles.

      Obrigado por me avisar sobre os erros de digitação. Já foram corrigido. Inclui também o link de sua postagem.

      Um abraço!

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  11. Olá Kleber,

    Você tem algum link onde eu possa ver a explicação do porquê do método funcionar? Grata. Isis

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    Respostas
    1. Olá. Dê uma lida neste artigo:
      http://www.ticsnamatematica.com/2016/01/modo-diferente-encontrar-MMC-MDC-dois-numeros.html
      Abs

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  12. já conhecia o método, gostaria de saber por que funciona, você pode me ajudar?

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