28/03/2010

Planificação de Poliedros

Encontrei este caderno com planificações de poliedros. São 167 páginas com o seguinte conteúdo:
image
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Conteúdo:
Platonic Solids
Archimedean Solids
Kepler-Poinsot Polyhedra
Other Uniform Polyhedra
Compounds
Dodecahedron
Cube and Tetrahedron
Octahedron
Icosahedron
Cuboctahedron
Icosidodecahedron
Truncated Tetrahedron
Truncated Octahedron
Truncated Cube
Truncated Icosahedron (soccer ball)
Truncated dodecahedron
Rhombicuboctahedron
Truncated Cuboctahedron
Rhombicosidodecahedron
Truncated Icosidodecahedron
Snub Cube
Snub Dodecahedron
Great Stellated Dodecahedron
Small Stellated Dodecahedron
Great Icosahedron
Great Dodecahedron
Tetrahemihexahedron
Octahemioctahedron
Cubohemioctahedron
Small Rhombihexahedron
Small Dodecahemiododecahedron
Small Ditrigonal Icosidodecahedron
Great Dodecahedron
Stella Octangula
Compound of Cube and Octahedron
Compound of Dodecahedron and Icosahedron
Compound of Two Cubes
Compound of Three Cubes
Compound of Five Cubes
Compound of Five Octahedra
Compound of Five Tetrahedra
Compound of Truncated Icosahedron and Pentakisdodecahedron


Veja mais:
Livro Planolândia
Livro Origami Matemático
Livro de Caixas M. C. Escher
Livro Pitágoras e seu Teorema

Regra dos Trapézios Repetida

Integração Numérica

Sabemos do Cálculo Integral que, se f (x) é uma função contínua num intervalo [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F (x) tal que:

clip_image002

Assim:

clip_image002[20]

No entanto, pode não ser tão fácil expressar esta função primitiva por meio de combinações finitas de funções elementares. Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f (x) num interval [a,b] é através de métodos numéricos.

A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que aproxime razoavelmente no intervalo [a,b].

Regra dos Trapézios

Já vimos que com o Polinômio de Lagrange podemos aproximar funções [Veja o post sobre o Polinômio Interpolador de Lagrange aqui]. Podemos a partir deste conceito, desenvolver um raciocínio para encontrarmos um polinômio tal que aproxime-se à integral de f (x).

Dado o gráfico:

image

 [Figura 1]

A área sombreada corresponde à integral definida:

clip_image002[22]image

[Figura 2]

O Polinômio de Lagrange que interpola (a, f (a)),(b, f (b)) é o de grau 1:

clip_image002[24]

Então, podemos dizer que:

clip_image002[26]

clip_image002[28]

clip_image002[30]

clip_image002[32]

clip_image002[34]

clip_image002[36]

clip_image004

clip_image006

A equação (1) equivale à fórmula da área do trapézio definida na figura 1. Então, podemos dizer que:

clip_image002[38]

clip_image004[4]

clip_image006[4]

Assim, podemos definir:

clip_image002[40]

Exemplo 1: Utilizando a regra dos trapézios obtenha um valor aproximado para a função:

clip_image002[42]

clip_image002[44]

clip_image004[6]

clip_image006[6]

clip_image008

Se calcularmos esta integral pelos métodos convencionais encontraremos:

clip_image002[46]

Que é o valor exato para a integral.

Vemos que houve uma diferença entre os valores encontrados. Esse erro pode ser facilmente observado graficamente:

image

[Figura 3]

Ao unirmos os pontos (a, f (a)), (b,f (b)) com uma reta, formamos uma trapézio. A área sombreada na figura foi calculada pelo método do trapézio, gerando um erro que não acontece quando a integral é calculada pelos métodos convencionais.

Para suprir esta necessidade de ter uma ótima aproximação, foi desenvolvida uma variação do método do trapézio, onde a altura do trapézio h (que é o intervalo de integração) é subdividida em partes menores.

 

Regra dos Trapézios Repetida

Como pudemos ver, tanto graficamente quanto pelo erro calculado, se o intervalo de integração é grande, o erro tende a aumentar e a fórmula dos trapézios nos fornece resultados imprecisos, com baixa aproximação. Se subdividirmos o intervalo de integração e aplicarmos a regra dos trapézios em cada subintervalo, conseguiremos uma aproximação melhor. E, quanto menor for este subintervalo, melhor será o resultado. Em contrapartida, quanto maior for a divisão do intervalo de integração, maior serão os cálculos envolvidos.

Temos:

clip_image002[68]

clip_image004[8]

clip_image002[50]

clip_image002[52]

clip_image004[10]

image Figura 4

Exemplo 2: Utilizando a regra dos Trapézios Repetida, vamos aproximar a função:

clip_image002[54]

Neste caso, o intervalo h é dado por 1 – 0 = 1

Vamos subdividi-lo em 6 partes:

clip_image002[56]

Então teremos:

clip_image002[58]

clip_image004[12]

clip_image006[10]

clip_image008[4]

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Calculando a função nos pontos xi , obtemos:

clip_image002[60]

clip_image004[14]

clip_image006[12]

Logo:

clip_image002[64]

clip_image002[66]

Podemos notar que o valor encontrado pela regra dos trapézios repetida é bem mais próximo do real.

Referências:

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais - Márcia Ruggiero
[2] Notas de Aula


Veja mais:

O Cálculo Integral
Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Zeros Reais de Funções Reais – O Método de Newton-Raphson Resolvido no Excel

24/03/2010

Polinômio Interpolador de Lagrange


Sejam $x_0, x_1, \cdots , x_n, (n+1)$ pontos distintos e $y_1=f(x_i)$ sendo $i=0,1,\cdots, n$.

Seja $P_n(x)$ o polinômio de grau $\leq n$ que interpola $f$ em $x_0, x_1, \cdots , x_n$. Podemos representar o polinômio $P_n(x)$ como:
\begin{equation*}
P_n(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + \cdots + y_nL_n(x)
\end{equation*}
onde os polinômios $L_k(x)$ são de grau $n$.

Para cada $i$ queremos que a condição $P_n(x_i)=y_i$ seja satisfeita:
\begin{equation*}
P_n(x) = y_0L_0(x_i) + y_1L_1(x_i) + \cdots + y_nL_n(x_i) = y_i
\end{equation*}
Para que essa condição seja satisfeita é necessário impor que:
\begin{equation*}
L_k(x_i)=\left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & k & = & i\\
0 & \text{se} & k & \neq & i
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Podemos, assim, definir $L_k(x)$ como:
\begin{equation*}
L_k(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots (x_k-x_n)}
\end{equation*}

Polinômio de Lagrange de grau $1$

O polinômio de Lagrange de grau $1$ é dado por:
\begin{equation*}
P_1(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
L_0(x) = \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} \\
\ \\
\ \\
L_1(x) = \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
\end{equation*}
Logo:
\begin{equation*}
y_0 \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} +y_1  \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
\end{equation*}

Polinômio de Lagrange de grau $2$

O polinômio de Lagrange de grau $2$ é dado por:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + y_2L_2(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
L_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)}\\
\ \\
\ \\
L_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\
\ \\
\ \\
L_2(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\\
\end{equation*}
Logo:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1  \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\\
\end{equation*}

Polinômio de Lagrande de grau $3$

O polinômio de Lagrange de grau $3$ é dado por:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)(x_0-x_3)} + y_1  \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + y_3\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
\end{equation*}

Polinômio de Lagrande de grau $n$

O polinômio de Lagrande de grau $n$ é dado por:
\begin{equation*}
P_n(x) = y_0\frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n (x-x_i)}{\displaystyle \prod _{i=1}^n(x_0-x_i)} + y_1 \frac{\displaystyle \prod_{\substack{i=0 \\i\neq 1}}^n (x-x_i)}{\displaystyle \prod _{\substack{i=0 \\i \neq 1}}^n(x_1-x_i)}+\cdots +y_n \frac{\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1}(x-x_i)}{\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1}(x_n-x_i)}
\end{equation*}
Que pode ser sintetizado como:
\begin{equation*}
P_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \ y_j \ \frac{\displaystyle \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq j}}^n (x_1-x_i)}{\displaystyle \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq j}}^n (x_j-x_i)}
\end{equation*}

Exemplo teórico

Encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que interpole $[x_0, f(x_0)], [x_1, f(x_1)]$.

Termos que $n=1$. Então podemos dizer que será uma interpolação linear. Pela forma de Lagrange, podemos utiliar o polinoômio interpolador de grau $1$:
\begin{equation*}
P_1(x) = y_0 L_0(x) + y_1L_1(x)\\
\ \\
P_1(x) = y_0 \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} + y_1 \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} \\
\ \\
P_1(x) = y_0 \frac{(x_1-x)}{(x_1-x_0)} + y_1 \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}\\
\ \\
P_1(x) = \frac{y_0(x_1-x)+y_1(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
\end{equation*}
Que é exatamente a equação da reta que passa pelos pontos $[x_0, f(x_0)], [x_1, f(x_1)]$.

Exemplo numérico

Considere a tabela abaixo. Encontre o polinômio interpolador pela forma de Lagrange e calcule $f(x)$ no ponto $x=1$.

Pela forma de Lagrange, temos que:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + y_2L_2(x)\\
\ \\
P_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1  \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
\end{equation*}
Substituindo os valores da tabela, obtemos:
\begin{equation*}
P_2(x) = 4 \frac{(x-0)(x-2)}{(-1-0)(-1-2)} + 1  \frac{(x+1)(x-2)}{(0+1)(0-2)} -1 \frac{(x+1)(x-0)}{(2+1)(2-0)}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{4(x^2-2x)}{3} +\frac{(x^2-x-2)}{(-2)}-\frac{(x^2+x)}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{4-8x}{3} + \frac{x+2-x^2}{2} - \frac{x^2+x}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{8x^2 - 16x + 3x+6-3x^2-x^2-x}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{4x^2-14x+6}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{2x^2}{3} - \frac{7x}{3} +1
\end{equation*}
Para calcularmos $f(x)$ no ponto $x=1$, fazemos:
\begin{equation*}
P_2(x) = \frac{4x^2-14x+6}{6}\\
\ \\
P_2(1) = \frac{4\cdot 1^2-14\cdot 1+6}{6}\\
\ \\
P_2(1)=\frac{4-14+6}{6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}
\end{equation*}

Referências

[1] Notas de aula

Veja mais:

Interpolação Polinomial - Resolução por Sistemas Lineares
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson
Interpolação Polinomial no Blog Fatos Matemáticos: Partes 1, 2 e 3



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