03/05/2010

Demonstração dos Ângulos Notáveis

Os ângulos 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por aparecerem freqüentemente em cálculos. Vamos determinar o seno, cosseno e tangente de cada um deles. Para isso, vamos considerar o triângulo eqüilátero ABC da figura 1:

Figura1

[Figura 1]

Podemos destacar algumas relações:

Cada lado do triângulo mede l;

AD é a bissetriz de BÂC;

AD é a mediana de BC, dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l/2 em D;

A altura h pode ser escrita em função dos lados l, da seguinte forma:

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Determinação do seno, cosseno e tangente de 30° e 60°

O seno de um ângulo é definido como a razão do cateto oposto a este ângulo pela hipotenusa do triângulo:

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O cosseno de um ângulo é definido pela razão entre o cateto adjacente a este ângulo pela hipotenusa do triângulo:

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A tangente de um ângulo é definida pela razão entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este ângulo:

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Determinação do seno, cosseno e tangente de 45°

Para calcularmos o seno, cosseno e tangente de 45°, vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2:

Figura2

[Figura 2]

A diagonal d forma com os lados l um ângulo de 45° e podemos escrever a diagonal d em função dos lados l:

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Vamos, agora, construir uma tabela com os ângulos notáveis:

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Veja mais:

sen(a) = sen(PI/2 -a)
Adição e Subtração de Arcos
Relação Trigonométrica Fundamental
Funções Trigonométricas do Arco Duplo
Funções Trigonométricas do Semi-Arco

24 comentários:

  1. Olá Kleber! Postamos a história do Rachmaninoff como você sugeriu...
    Grande abraço parceiro!
    E parabéns! O Baricentro da Mente está cada vez melhor!

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  2. ola vou reclamar porque aqui não tem as informacões que eu preciso quais são os angulos notaveis para que foram criados onde surgiram quando surgiram e quais são os angulos notaveis.
    obrigada e thal

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  3. Olá Iasmim. Os ângulos notáveis estão demonstrados neste artigo, que são 30°, 45° e 60°. Na verdade ninguém os criou. Simplesmente estão presentes na Natureza. Dependendo de sua inclinação espiritual, pode-se dizer que Deus os criou. Pelo fato de serem encontrados abundantemete em nossas vidas, foram chamados de ângulos notáveis. Creio ser um pouco difícil de saber quem foi o primeiro ser humano que os identificou. Mas os egípcios já os estudavam cerca de 3000a.C. e Euclides de Alexandria com sua sagacidade fez uma das maiores obras de Geometria, Os Elementos, que perdurou como verdade por séculos e, apartir dele, a Geometria tomou outro rumo.
    Procure em livros especializado ou em sites estrangeiros. Encontrando os primórdios dos estudos de ângulos, me indique a fonte.
    Até +

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    1. Essa de deus foi péssima...imagina ele criando um esquadro...mordendo a língua e pensando, vou precisar de 60 graus aqui.coçou a cabeça, olhou mais um pouco e inventou o pernilongo! HAHAHA!!!

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  4. Gostei do post, necessitava do teorema (demonstração) para estudo. Obrigado

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  5. Obrigado pela visita e por seu comentário. Volte sempre. Abraços.

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  6. Essas demontração ajudo pakas :D

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  7. Fico feliz que tenha ajudado. Obrigado pela visita e comentário!

    Um abraço!

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  8. ow muito obrigado pelo blog valeu mesmo!

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  9. Agradeço sua visita e comentário. Volte sempre! Abraços!

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    1. Bom! você tem alguma coisa para mostrar sobre Limite como f(x)=???????

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  10. MUITO LEGAL ,COM SORTE APRENDI
    A TABELA COM ÂNGULOS NOTÁVEIS.


    MUITO OBRIGADO !!!

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  11. Olá Kleber gostei muito do seu blog,conveço que consegui entender,melhor sobre os angulos com sua esplicação e tenho certeza que na prova que farei amanhã me sentirei mas seguro,um grande abraço.

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  12. Olá Francisco. Quem bom que este artigo lhe ajudou. Desejo boa prova para você!

    Um abraço!

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  13. aquitem tudo o que preciso para o meu texte.... obrigada kleber

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  14. Estou feliz,apesar de ser PhD em cálculo aplicado, alem de físico nuclear e engenheiro Têxtil, sinto-me contemplado pelos interesses demonstrados por aqueles que postam neste site.É isso moçada, vamos mostrar ao mundo que nós brasileiros ja nos encontramos na vanguarda das ciências exatas. abraços.

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  15. Olá Amigo, obrigado por seu comentário e respeito pelo meu trabalho, que o faço com muita dedicação. Ainda estamos longe de uma referência em educação, mas temos que divulgar as Ciências àqueles que se interessam.

    Um abraço.

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  16. Ola Kleber tudo bom?entao,tenho tido uma grande dificuldade em resolver operacoes logaritimas graficos da funcao f(x).abraco,de Mocambique

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  17. Olá amigo, encontrou algum material de apoio para ajudar nos estudos?

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  18. Olá, Kleber!

    Que coincidência, estava procurando na web pela demonstração do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis e olha só o que encontrei em primeiro lugar nos resultados das pesquisa (risos) seu blog. Acabei lendo e adorando sua publicação, eu já conhecia essas demonstrações só que não lembrava, só que agora está tudo fresco em minha memória. Agora posso dar uma super aula de introdução a Trigonometria para meus alunos. Obrigado por descomplicar a matemática com suas ótimas explicações Kleber, parece até meu professor do ensino médio (atualmente ele é engenheiro mecânico) quando estava me ensinando sobre relações trigonométricas. Parabéns pelo ótimo conteúdo e obrigado pela ajuda. Até a próxima grande amigo e parceiro da matemática...

    Att. Romirys Cavalcante

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    Respostas
    1. Oi Romirys. Que bom que gostou! Essa é uma boa explicação, porque é bem simples e fica fácil de entender. Não sabia que esta postagem aparecia nos primeiro resultados. Que bom.

      Obrigado pelo comentário. Um abraço!

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  19. Só existe essa forma de calcular os ângulos notáveis?

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    Respostas
    1. Deve haver outras. Só optei por esta.

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