12/08/2010

EDO: Lei dos Gases de Boyle

A equação diferencial para a Lei dos Gases de Boyle é dada por:

$$\dfrac{dV}{dp}=-\dfrac{V}{p}$$

Válida para um Volume $V$ de gás à pressão $p$ numa temperatura constante. Então temos:

$$\dfrac{dV}{dp}=-\dfrac{V}{p}$$

$$\dfrac{dV}{V}=-\dfrac{dp}{p}$$

Integramos ambos os termos:

$$\int \dfrac{dV}{V}=-\int \dfrac{dp}{p}$$

$$\ln(V)=-\ln(p)+C$$

$$\ln(V)+\ln(p)=C$$

$$\ln(V\cdot p)=C$$

$$e^{\ln(V\cdot p)}=e^C$$

No entanto, o exponencial de uma constante é uma constante, que podemos chamá-la de $K$:

$$e^{\ln(V\cdot p)}=K$$

$$p\cdot V=K$$

Que é a solução para a equação diferencial. Como $$p\cdot V = K$$ se temos $3ml$ de uma certo gás a uma pressão de $1atm$ e o comprimirmos até $1ml$, a pressão deverá ser de $3atm$.


Veja mais:

Comportamento Térmico dos Gases Perfeitos
Equação de Clapeyron

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$$a^2+b^2=c^2$$
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