6 de ago de 2010

Equação de Clapeyron

Clapeyron Em homenagem ao engenheiro e físico francês Benoit Paul Émile Clapeyron (1799 – 1864), um dos fundadores da termodinâmica, a equação dos gases ideais recebeu o nome de Equação de Clapeyron.

Antes de estudá-la, vamos primeiramente conhecer rapidamente o conceito de mol, que é a abreviatura de Molekill, molécula em alemão:

Quantidade de matéria que contém um número invariável de partículas (átomos, moléculas, elétrons ou íons). Veja mias sobre mol aqui.

Assim, 1 mol de moléculas de qualquer gás é igual a 6,023 x 1023 moléculas desse gás, ocupando o volume de 22,4l.

Este número, 6,023 x 1023 é denominado por Constante de Avogadro e é uma das mais importantes constantes da Física e da Química. É equivalente à quantidade de moléculas contidas em 1 mol de gás. Essa denominação foi dada em homenagem ao advogado e físico italiano Amedeo Avogadro (1776 – 1856), fundador da moderna teoria atômico-molecular.

Se quisermos determinar a massa gasosa em condições normais de temperatura e pressão (CNTP), ou seja, P = 1atm e T = 273K¸ fazemos:

clip_image002

A constante k0 é denominada constante universal dos gases perfeitos e é representada por R. De (1) temos que:

clip_image004

A constante R foi obtida usando uma amostra de 1 mol de gás nas CNTP. O volume ocupado por 1 mol de qualquer gás nas CNTP é de 22,4 litros (volume molar). Para encontrarmos o valor de R, substituímos os valores das de P, T e V na equação (2):

clip_image006

clip_image008

Para um número n de mols de qualquer gás, podemos escrever:

clip_image010

clip_image012

A equação dada em (4) é a equação geral dos gases perfeitos ou equação de Clapeyron.

Em gramas, a massa de 1 mol de moléculas de qualquer substância é denominada de massas molar e é representada por M:

M = massa em gramas de 6,023 x 1023 moléculas do gás

O número de mols do gás corresponde à massa do gás (m) dividida pela massa molar (M):

clip_image014

 

Os valores de R

No S.I., a unidade padrão de medida de pressão é o Pascal (Pa), que equivale à força de 1N (Newton) aplicada uniformemente sobre uma superfície de 1m2:

clip_image016

Em contrapartida, temos que:

clip_image018

Lembrando que 1N é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de 1kg, lhe imprime uma aceleração de 1m/s2. Para ter uma idéia concreta da ordem de grandeza do Newton, 1N é a ordem de grandeza Força – Peso exercida pela aceleração da gravidade (g ≈ 9,8m/s2) sobre um corpo de massa aproximadamente igual a 100g (uma maçã, por exemplo!).

Substituindo (7) em (6), obtemos:

clip_image020

clip_image022

Existem outras unidades de media de pressão, como atmosfera, bar, Torricelli, milímetros de mercúrio, entre outros. Na tabela abaixo temos algumas dessas grandezas:

Tabela 1

[Tabela 1: conversão de unidades]

Então, se a pressão for dada em mmHg, temos que:

clip_image024

clip_image026

No entanto, temos que:

clip_image028

Substituindo (10) em (9), obtemos:

clip_image030

Mas como:

clip_image032

Substituímos (12) em (11) obtendo:

clip_image034

Então, a constante R assume o seguinte valor:

clip_image036

clip_image038

clip_image040

Mas, ainda, podemos ter a pressão dada em N / m e o volume em m3. Neste caso, a constante R sofre outra transformação assumindo o seguinte valor:

Temos que:

clip_image042

e

clip_image044

Logo:

clip_image036[1]

clip_image046

clip_image048

clip_image050

No entanto, o trabalho realizado por uma força de 1N para mover uma partícula através de uma distância de 1m equivale a 1J, ou seja:

clip_image052

Substituímos (15) em (14) obtendo:

clip_image054

Exemplo 1: Sabendo que a massa molar do hidrogênio é de M = 2,016g, vamos determinar a massa desse gás necessária para encher completamente um recipiente de 5m3, sob uma pressão de 2atm a uma temperatura de 27°C.

Primeiramente temos que descobrir o número n de mols necessário para encher o recipiente nas condições dadas. Pela equação geral dos gases perfeitos temos:

clip_image056

clip_image058

clip_image060

clip_image062

Agora fazemos:

clip_image064

clip_image066

clip_image068

Exemplo 2: Um pneu de carro é calibrado à pressão de 30psi (libras-força por polegada quadrada) usando nitrogênio na temperatura ambiente (27°C). Para simplificação de cálculos, vamos adotar que:

1 polegada = 2,5cm

1 libra = 5,0N

R = 8,0J/mol . K

Calculemos, então:

a) O valor desta pressão em N / m2;

b) Uma estimativa do volume do pneu e o número de mols de nitrogênio contido no pneu;

c) A variação percentual da pressão no pneu quando, em um dia quente, a temperatura do pneu pode chegar a 57°C.

 

Resolução:

a) Considerando 1 libra – força 5N, temos:

clip_image070

clip_image072

clip_image074

clip_image076

clip_image078

b) Um pneu comum tem aproximadamente raio interno (ri = 20cm), raio externo (re = 30cm) e largura (h = 20cm). Então:

clip_image080

clip_image082

clip_image084

clip_image086

Pela equação de Clapeyron, temos:

clip_image056[1]

clip_image088

clip_image090

c) Supondo que o pneu não sofra alterações de seu volume com o aquecimento, o nitrogênio sofre transformação isovolumétrica:

clip_image092

clip_image094

clip_image096

clip_image098

Vemos então que a pressão sobre uma variação de mais 10%.


Veja mais:

Comportamento Térmico dos Gases Perfeitos
O Teorema de Stevin
Pressão Máxima e Vaporização

5 comentários:

  1. Olá parceiro, como vai? O que você utiliza para fazer as formulas nas suas matérias?

    ResponderExcluir
  2. Realmente resolvemos muitos problemas práticos com essa equação. Já li outros de Físico-Química que você escreveu e todos são bem didáticos. Parabéns!

    ResponderExcluir
  3. Obrigado Paulo. Procuro sempre ser o mais didático possível, para que o entendimento seja melhor. Nem sempre consigo deixar os artigos como gostaria, explicando cada passagem e tudo o mais, mas tento fazer o melhor que posso.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  4. Adorei seu blog, um ótimo trabalho, sou estudante a caminho do 3º ano do E.M. e me ajudou bastante com matematica principalmente e outras matérias também. Obrigada.

    ResponderExcluir
  5. Essas são todas as fórmulas da Equação de Clapeyron?

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...