02/09/2010

As Curvas Contínuas sem Derivadas

Curva Van Koch (GIF)

Afim de distinguir continuidade e diferenciabilidade, o matemático alemão Karl Weierstrass construiu, em 1872, uma função definida pela seguinte série convergente:

clip_image002

Trata-se de uam função que é contínua em todos os pontos, mas não derivável em nenhum!

Essa função é muito difícil de visualizar. Peano construiu uma curva definida por um processo infinito de iterações, contínua, não derivável em nenhum ponto e que, no “infinito”, preenche todo o plano de dimensão 2:

clip_image004

Na página da Wolfram Alpha, podemos simular as iterações e visualizar graficamente a curva. Percebemos que a partir da 4 iteração, já temos o plano praticamente preenchido:

image image

1 iteração                                            2 iterações

 

image image

3 iterações                                          4 iterações

Para simular outras iterações, entre com o número de iteração desejado no aplicativo abaixo e em seguida em Submit:

 

E para obter mais informações, acesse o link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=peano&t=emd01

 

Von Koch elaborou outra curva de dimensão não inteira (4/3) em forma de floco de neve:

clip_image006

Para simular outras iterações, entre com o número de iteração desejado no aplicativo abaixo e em seguida em Submit:

 

Fonte: Scientifoc American
Edição Especial nº 15
As diferentes faces do infinito

5 comentários:

  1. Muito bom este post. Ontem mesmo estava comentando com os alunos de Cálculo sobre o fato que toda função derivável é contínua e falei que existem funções que não possuem derivadas em nenhum ponto. Hoje você publica de forma espetacular sobre este assunto. Parabéns pelo post. Abraços!

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  2. Olá Paulo, agradeço seu comentário e elogios. Essa revista da Sciam que citei a fonte é simplesmente fantástica! Tem outros artigos sobre o infinito muito interessantes que vou aproveitar para publicar aqui.

    Um abraço!

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  3. Boa Tarde Kleber,
    Gostaria muito que você(ou alguém que já demonstrou)mostrasse a demonstração de tal pergunta:Mostre a função f: R->R dada por sen(x²) não é uniformemente continua usando a definição de continuidade uniforme.
    Desde já obrigado!
    José Marcelino

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  4. Olá José Marcelino,

    Acho que esta pergunta juntamente com a resposta encontra-se no livro de Análise Vol. 1 do Elon Lages Lima, que não tenho aqui.

    Este blog procura divulgar apenas conceitos mais básicos da Matemática, tais como, Cálculo e Geometria Analítica. Questões de Análise fogem ao escopo do blog.

    Consultei um amigo, mas também não soube responder de imediato.

    Mesmo assim, obrigado pela pergunta.

    Um abraço!

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  5. Boa tarde
    Encontrei a resposta mas algumas passagens das contas não estão bem detalhadas,não entendi direito o porque ele chegou os resultados das contas.E a resposta é essa:
    Tomamos
    xn =√(n +1/2)* pi e
    yn =√pi*n_, então yn − xn =√(n +1/2)*pi - √pi*n = (pi/2)/(√((n)+1/2)*pi) +√((n)*pi) → 0
    onde acima racionalizamos a fração. Porém
    f(yn) − f(xn) = sen((n +1/2)*pi)− sen(n*pi) = sen((n + ½)*pi)
    e tal sequência não tende a zero.
    Kleber agradeço muito pela atenção mas uma vez.
    José Marcelino

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$$a^2+b^2=c^2$$
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