8 de set de 2010

Construção de um heptágono regular com régua e compasso (Parte 1)

O Heptágono regular foi fonte de muito mistério na Geometria, quanto à sua construção com régua e compasso, apenas.


Gaus provou aos $19$ anos que o heptadecágono regular é construtível com régua e compasso. De seus estudos sobre a contrutibilidade de $p-\text{ágonos}$ regulares, ou seja, polígonos de $p$ lados, sendo $p$ um número primo, descobriu que são construtíveis se, e somente se, $p$ é um número de Fermat:
\begin{equation*}
\Large p = 2^{n^n}+1
\end{equation*}
Suas análises aparecem na obra: Disquisitiones Arithmeticae.

Como $7$ não é um número primo de Fermat, a construção de um heptágono regular é impossível utilizando régua e compasso. A construção que segue é apenas uma boa aproximação, mas dependendo da aplicação, pode ser tomada como satisfatória.

Construção:

$1)$ Trace o segmento $AB$ prolongando-o no sentido de $B$:


$2)$ Com centro em $B$ e raio $BA$, descreva a circunferência e marque como $M$ a intresecção com o prolongamento de $AB$:


$3)$ Suba a perpendicular em $B$:


$4)$ Com centro em $A$ e raio $AM$, descreva o arco e marque como $N$ a intersecção com a perpendicular:


$5)$ Trace a bissetriz interna do arco $MN$ e marque como $P$ a intersecção com a perpendicular:


$6)$ Agora, descreva dois arcos: o primeiro com centro em $A$ e raio $AP$ e o segundo com centro em $B$ e raio $AP$. A intersecção desses arcos marque como $O$, que será o centro da circunferência circunscrita ao heptágono:


$7)$ Com centro em $O$ descreva a circunferência de raio $AO$ e marque como $C$ a intersecção com a primeira circunferência. Vejam que já obtivemos dois lados do heptágono:


$8)$ Com raio $AB$ descreve arcos sobre a circunferência que circunscreve o heptágono, primeiro com centro em $C$ e marque o ponto $D$ na intersecção com a circunferência; depois com centro em $D$ marque como $E$ a intersecção com a circunferência; e assim até formar os $7$ lados, obtendo o heptágono circunscrito a partir do lado:


Veja mais:


Construção de um heptágono regular com régua e compasso (Parte 2)
Construção de um heptadecágono regular com régua e compasso
Construções geométricas utilizando régua e compasso



15 comentários:

  1. O heptágono não é construtível com régua e compasso - logo como vc pode postar na Internet uma material errado que pode danificar o conhecimento de muitos?!

    1) Um dos grandes teoremas de Gauss mostra que não é possível construir um polígono regular com sete lados.

    2) Se fosse construtível, estaria feito nos Elementos de Euclides - Euclides constroi polígonos com 3, 4, 5, 6, 8, 10 e 15 lados, só estes. O heptágono é o menor polígono não construtível.

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  2. Caro Antônio Zumpano,

    Você tem razão quanto à construtibilidade do heptágono regular com régua e compasso e foi uma falha minha não indicar o fato de esta construção ser apenas uma boa aproximação, como foi feito na segunda construção, no link no final da postagem. Já adicionei uma nota explicativa no início desta postagem, para que eu não danifique o conhecimento de mais nenhum leitor. Há outras formas de reportar um erro, como por meu e-mail, por exemplo, ou com questionamentos menos agressivos.

    Abraços.

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  3. Antonio, mto legal e valioso teu esclarecimento!
    Desculpe, mas tambem achei um tom agressivo que é desnecessario.
    Parabens ao Kleber tambem pela diplomacia!

    enfim, vou atras de construir uma peça de oito lados (em papelão) para confeccionar uma luminaria

    Tudebom p vcs! Continuem contribuindo para o conhecimento, por favor.
    abrçs

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  4. Adorei, aproximado ou não consegui fazer o desenho sem dificuldade, e com uma grande sensação de alegria ao final.... como não sou matemática, sou médica, achei muito útil e delicioso o empenho do Kleber, e a ele agradeço!

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  5. Obrigado pelo comentário. Podemos ver que gosta de conhecimento, pois uma médica procurar uma construção geométrica como esta, não é nada convencional. Fico feliz em saber disso. Um abraço!!

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  6. qual a soma dos angulos internos de um heptágono?

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    Respostas
    1. Olá Pamela, o ângulo interno de cada vértice de um heptágono regular mede aproximadamente 128,57°. A soma dos 7 ângulos internos é dado por $7 \times 128,57= 900°$

      A fórmula que calcula o ângulo interno de qualquer polígono é:

      $$\alpha=\frac{180 \cdot (N-2)}{N}$$

      onde $\alpha$ é o ângulo interno e $N$ é o número de lados do polígono.

      Veja no link abaixo um estudo sobre como determinar o ângulo interno de um polígono regular:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/07/como-determinar-o-angulo-interno-de-um.html

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  7. Olá Kleber, onde posso achar a demonstraçao de que um heptagono é impossível de ser feito com regua e compasso? Isso é uma coisa que meu professor de geometria disse e me deixou muito intrigado! Agradeço!

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    1. Olá Henrique. De uma olhada neste link:http://revistas.unicentro.br/index.php/RECEN/article/download/1384/1566 . Depois verei we acho algo mais interessante.

      Abraços!

      Kleber Kilhian

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  8. Observando pelo lado artístico, e comparando a figura de sete lados com a de seis, a primeira é mais elegante, menos óbvia e desafia a inteligência do observador.

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  9. Usando curva pode construir EXACTAMENTE um heptagon?

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    Respostas
    1. Com régua e compasso já foi provado por Gauss sua inconstrutibilidade. Já por outros métodos talvez seja possível.

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    2. Com FREETH NEPHROID pode construir exactsmente um HEPTAGON!

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    3. A Nefroide é um caso particular da Epicicloide, quando $R=2r$. Veja link: https://goo.gl/5V9r3F

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