23/09/2010

A Contradição Infinitesimal

Retornando às origens do cálculo infinitesimal, da relação $y=x^2$ entre variáveis, deseja-se calcular o acréscimo $dy$ da variável $y$ quando $x$ sofre uma alteração infinitamente pequena $dx$. Calcula-se então:

$$y+dy=(x+dx)^2$$

Ou seja:

$$dy=2xdx+dx^2$$

Conclui-se, assim, que $dy=2xdx$, pois se pode desprezar $dx^2$ como o quadrado de um infinitamente pequeno. Para o cálculo infinitesimal, assim, o diferencial de $x^2$ é $2xdx$.

Isso parece ser uma “equação imperfeita”. Contudo, como o conceito de quantidade infinitamente pequena não está claramente definido, não se sabe ao certo até que ponto existe realmente um erro.

“Infinitamente pequeno” para os matemáticos que elaboram esse cálculo, significa “menor do que qualquer quantidade finta dada”. Na verdade, todos concordam que a própria noção de quantidade real inclui a chamada “propriedade arquimediana”: enquanto uma quantidade positiva não for nula, pode-se sempre encontrar outra quantidade $1/n$ (em que $n$ é um número natural não-nulo) menor do que ela. Uma quantidade não pode, assim, ser “menor do que toda quantidade finita dada”. Dito de outra maneira, um número real positivo (diferente de zero) não pode ser infinitamente pequeno no sentido estrito: é fácil produzir outro número ainda menor.

No entanto, os pioneiros desenvolveram um cálculo que utiliza certas quantidades desse tipo, ao mesmo tempo em que despreza outras. Apesar dos problemas de fundamentação, esse cálculo aparece por toda parte na matemática, e permite elaborar e resolver equações diferenciais usadas na descrição de diferentes fenômenos. Deve haver, portanto, alguma racionalidade por trás do uso dos infinitamente pequenos e das “equações imperfeitas”.

A concepção de infinito surgida com a teoria dos conjuntos elimina essas contradições ao traduzir para sua linguagem o discurso dos pioneiros. Assim, a equação citada anteriormente:

$$dy=2dx+dx^2$$

torna-se:

$$dy=f(x+dx)-f(x)=2xdx+dx^2$$

em que $f$ é um símbolo para a função que associa a $x$ o seu quadrado $x^2$. Considera-se essa uma equação exata, em que $dx$ é uma quantidade ordinária, finita. Dividindo seus membros por $dx$, obtemos:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=2x+dx$$

Constatamos agora que “quando $dx$ tende a zero, a taxa de crescimento $dy/dx$ tende a $2x$”. Não é mais $2xdx$ que corresponde a $dy$, é $dy/dx$ que tende a $2x$.

Dizer que a taxa de crescimento tende ao número $h$ significa que sua diferença em relação a $h$, em valor absoluto, pode tornar-se tão pequena quanto se deseje, desde que se escolha um $dx$ suficientemente pequeno. Essa definição em termos de controle costuma satisfazer aos matemáticos. Do ponto de vista da fundamentação, contudo, surge uma dificuldade. Essa propriedade de convergência envolve a resolução de uma infinidade de pequenos problemas, colocados para cada grau de pequenez que se deseje obter. Mais especificamente, ela é a propriedade de um objeto (certa função) que se supõe bem definido, mas que envolve uma aplicação do conjunto dos número reais (que é infinito) sobre si próprio.

Assim, a interpretação moderna do discurso dos pioneiros consegue salvá-lo das equações imperfeitas ao eliminar a referência a uma quantidade duvidosa. Em vez de uma quantidade infinitamente pequena, porém, surge uma quantidade “simplesmente” infinita.

Referências:

[1] Revista Scientifc American Edição Especial Nº 15 – As Diferentes Faces do Infinito


Veja mais:
A História do Símbolo do Infinito
As Curvas Contínuas sem Derivadas
O Cálculo de Isaac Newton no Blog Fatos Matemáticos
O Cálculo de Leibniz no Blog Fatos Matemáticos

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$$a^2+b^2=c^2$$
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