22/09/2010

Volume de um Segmento Esférico

Segmento esférico é a região limitada por dois planos paralelos que seccionam uma esfera, gerando um sólido com duas bases circulares de raios R1 e R2.

image [Figura 1]

Esses planos ao interceptarem o eixo da esfera, geram os pontos x1 e x2 e a altura h do segmento esférico é dada pela distância entre as bases:

clip_image002

Para esta demonstração utilizaremos o cálculo integral e provaremos que o volume do segmento esférico é dado por:

clip_image004

Notem que, se x1 = – R e x2 = R, então h = 2R e o segmento esférico é a própria esfera:

clip_image006

Vejam também que, se x2 = 0, então o segmento esférico é uma calota esférica:

clip_image002

Vamos à demonstração:

Partindo do princípio para o cálculo do volume da esfera, temos a função f (x) originada da equação da circunferência:

clip_image010

Vejam o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.

Suponha, então, que o segmento esférico de altura h é formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:

image 

[Figura 2]

Sabemos que o volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura:

clip_image012

clip_image014

E neste caso:

clip_image016

A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma o segmento esférico nos limites x1 e x2. Então, seu volume será dado por:

clip_image018

Substituímos (5) na relação acima e obtemos:

clip_image020

Integrando em relação a x, obtemos:

clip_image022

Aplicando os limites:

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

No entanto:

clip_image032

e

clip_image034

Substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:

clip_image036

Observando a figura 1, podemos destacar a figura abaixo:

image

[Figura 3]

Pelo Teorema Pitagórico, temos que:

clip_image038

e

clip_image040

E, também, pelo produto notável, temos:

clip_image042

Mas vejam que, da equação (9), obtemos:

clip_image044

Substituindo em (14):

clip_image046

clip_image048

Agora, podemos substituir as relações (12) e (13) em (15):

clip_image050

clip_image052

Retomando a relação do Volume dada em (11), fazemos a substituição das relações (12), (13) e (16), obtendo:

clip_image054

clip_image056

clip_image058

clip_image060

clip_image062

clip_image064

clip_image066

Vejam que (17) é a mesma fórmula dada em (2) que queríamos demonstrar.

Quero deixar meu agradecimento ao Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos pela idéia e parte do desenvolvimento deste post. Aproveitem e visitem seu blog!


Veja mais:

Volume de uma Calota Esférica
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Princípio de Cavalieri
A Área de um Seguimento Esférico (Arquimedes) no blog Fatos Matemáticos
Uma Média Geométrica entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone no blog Fatos Matemáticos

10 comentários:

  1. Parabéns Kebler pela excelente exposição do post, ficou muito bom e bem detalhado. Este post é um exemplo das aplicações do teorema de pitágoras, produtos notáveis e do cálculo integral. Obrigado por citar os posts do meu blog.

    Um grande abraço!

    ResponderExcluir
  2. É verdade Paulo, explora muita a álgebra e o conceito de integral definida. Vou, agora, iniciar um rascunho sobre o anel esférico.

    Obrigado pelos elogios.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. Olá Kleber Kilhian, parabéns pelo trabalho, está bem detalhado. Verifique a equação (4), eu posso estar enganado, mas tem um expoente 2 no h faltando. Obrigado.

    ResponderExcluir
  4. Olá amigo. Não está enganado. Faltou mesmo colocar o exponte dois em h. Já corrigi a fórmula.

    Obrigado por avisar!

    Abraços e volte sempre.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Kleber Kilhian, primeiramente parabéns pelo excelente trabalho, se for possível, é claro, me esclareça uma dúvida a respeito da equação (3), na referida situação R1 e R2 não seria igual a zero e com isso seus respectivos quadrados também? Pois percebi, posso estar enganado, que ao substituir a relação (2) em (3) o quadrado de R1 foi substituído por menos R ao quadrado e o quadrado de R2 por R ao quadrado, não seria ambos iguais a zero? Desde já agraço. Um forte abraço.

      Excluir
    2. Olá Kleber Kilhian, primeiramente parabéns pelo excelente trabalho, se for possível, é claro, me esclareça uma dúvida a respeito da equação (3), na referida situação R1 e R2 não seria igual a zero e com isso seus respectivos quadrados também? Pois percebi, posso estar enganado, que ao substituir a relação (2) em (3) o quadrado de R1 foi substituído por menos R ao quadrado e o quadrado de R2 por R ao quadrado, não seria ambos iguais a zero? Desde já agraço. Um forte abraço.

      Excluir
    3. Olá Kleber, me responde mais uma dúvida na equação (4), a condição para que o segmento esférico seja uma calota esférica não seria x2=R ao invés de x2=0. Desde já agradeço.

      Excluir
    4. Gilmar, primeiramente vamos considerar a esfera centrada na origem de um sistema cartesiano e os triângulos definidos pelos raios $R_1, R$ e $x_1$ e $R_2, R$ e $x_2$. Aplicando o teorema de pitágoras em cada um deles, obtemos:

      $R^2 = R_1^2 + x_1^2 \Rightarrow R_1^2 = r^2 - x_1^2$
      e
      $R^2 = R_2^2 + x_2^2 \Rightarrow R_2^2 - x_2^2$

      A altura $h$ será dada por:
      $h = x_2 - x_2$

      Se $x_1=-R$ e $x_2=R$ então:
      $h = R - (-R) \Rightarrow h=2R$

      Substituindo $R_1$, $R_2$ e $h$ na relação $(2)$, obtemos:

      $$V=\frac{1}{6} \pi \cdot 2R [3(R^2-x_1^2 + R^2-x_2^2)+(2R)^2]$$
      $$V= \frac{1}{3} \pi R [3(R^2-R^2 + R^2- R^2)+4R^2]$$
      $$V = \frac{1}{3}\pi R [3(0) + 4R^2]$$
      $$V= \frac{4}{3} \pi R^3$$

      No caso da relação $(4)$, você está certo, $x_2$ tem que ser igual a $R$ para ser uma calota esférica. Farei as devidas correções em breve.

      Um abraço.

      Excluir
  5. Bela demostração!!!Parabéns pelo trabalho!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. O calculo deste volume, sem o uso de integral é possível?

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...