17/09/2010

Volume de uma Calota Esférica

Para esta demonstração, podemos partir do mesmo princípio utilizado para o cálculo do Volume da Esfera, envolvendo o conceito de integral definida. Podemos adotar o mesmo raciocínio para encontrarmos a função f (x) a ser integrada, alterando somente os limites de integração.

Primeiramente, vamos definir: Calota esférica é o sólido gerado a partir de uma esfera ao ser seccionada por um plano:

image [Figura 1]

Desta forma, os limites de integração serão de r – h até r.

Para simplificar este desenvolvimento, vamos partir da função f (x), que foi originada da equação da circunferência de centro na origem:

clip_image002

Veja o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.

Vamos posicionar a figura 1 de outro modo, mais conveniente:

image [Figura 2]

Suponha, agora, a calota esférica de altura h formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:

image

[Figura 3]

Sabemos que o volume do cilindro é dado por:

clip_image004

clip_image006

E, neste caso:

clip_image008

A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma a calota esférica, nos limites r – h e r. Então, o seu volume será dado por:

clip_image010

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Substituímos a equação (1) na integral (3):

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Integrando em relação a x, obtemos:

clip_image018

Aplicamos os limites:

clip_image020

Agora é somente álgebra:

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Chegamos à fórmula para cálculo do volume de uma calota esférica. Esta é uma das formas de encontrá-la. Eu, particularmente, preferi utilizar o Cálculo Integral.


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Princípio de Cavalieri
A Área de um Seguimento Esférico (Arquimedes) no blog Fatos Matemáticos
Uma Média Geométrica entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone no blog Fatos Matemáticos


15 comentários:

  1. Muito bom o post! Sugiro que escreva um sobre o volume do segmento esférico. Obrigado pela citação dos posts do meu blog. Abraços!

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  2. Olá parceiro,
    Poderia me indicar o software que você usa para desenhar suas figuras?

    Abraços,
    Matheus Basílio

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  3. Olá Paulo, Obrigado pelo comentário. Vou preparar o material para o volume do segmento esférico. Obrigado pela sugestão!

    Abraços!

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  4. Olá Matheus!
    Eu uso o Corel X3 para fazer figuras como a deste post. Depois de pronta é só exportá-la no formato jpeg.
    Para as figuras nas "construções geométricas", usei o software chamado "régua e compasso".
    Em paralelo uso o Irfan View como visualizador de imagens. Este possui muitos recursos do tipo recortar uma parte da imagem, redimensionar, ...

    Se precisar de alguma informação mais específica é só avisar.

    Um abraço!

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  5. Olá parceiro,

    Muito obrigado pelas sugestões, já estou fazendo download de todos eles kkkk e mais o illustrator da Adobe. Só espero que aprenda a usar eles rsrsrs.

    Abraços

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  6. Se precisar de ajuda, tento esclarecer dentro de meu conhecimento! Um abraço!

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  7. Olá, Kleber!
    Estou me graduando em Física, visitei seu blog e gostei muito de suas demonstrações. Com certeza esarei atento à suas atualizações.
    Um abraço, meu caro!

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  8. Obrigado Felipe pela visita e comentário. A sessão de Física ainda tem que evloir mais por aqui, mas aos poucos vou adicionando.

    Um abraço!

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  9. Olá Kleber, estou tentando resolver um problema que está relacionado a este post. Calcular o volume de líquido em um tanque cilíndrico horizontal, cujas extremidades são calotas esféricas. Dada uma altura "h" de líquido dentro do tanque, consegui calcular o volume da parte cilíndrica. Porém, estou tendo muita dificuldade em calcular o volume que fica nas calotas. Será que vc pode dar uma luz??? Muito obrigado e parabéns pela página!

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  10. Olá Paulo,
    Bem, a princípio não tenho uma solução para você, vou ter que quebrar a cabeça aqui também. Agora uma pergunta: as calotas esféricas das extremidades são semi-esferas? ou tem medida qualquer?

    Abraços!

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  11. Obrigada pela postagem!
    Vilma

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  12. Eu que agradeço sua visita e comentário. Volte sempre. Um abraço.

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  13. É possível calcular o volume de um cone deitado e parcialmente cheio, por integral simpels? caso positivo,me mostre esta demonstração. Obrigado, boa tarde.

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  14. Olá. Não sei ainda, pois nunca fiz esse tipo de problema. Estou trabalhando algumas ideias. No caso, se o cone está deitado com sua altura paralela ao eixo dos x, então quando estiver parcialmente cheio com algum líquido, a seção cônica gerada por este líquido será uma hipérbole. Conhecendo a altura deste líquido, minha ideia é integrar a função nestes limites. Vamos ver no que dá.

    Abraços.

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  15. Parabéns, super didático e acrescentou nos meus conhecimentos, bom trabalho pela divulgação

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$$a^2+b^2=c^2$$
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