17/10/2010

Organograma dos Quadriláteros Notáveis

Vi em um blog um organograma dos quadriláteros notáveis. Achei muito interessante e resolvi fazer um post. No entanto, achei que precisaria expor suas características e propriedades para melhor compreensão. As devidas demonstrações farei em outra oportunidade.

Quadriláteros

Quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. Estes podem ser côncavos ou convexos.

Em um quadrilátero há sempre duas diagonais e a soma dos ângulos internos é sempre igual a 360° (Si = 360°), assim como a soma dos ângulos (Se = 360°).

Interessamo-nos especialmente pelos quadriláteros convexos, pois alguns deles possuem propriedades tão especiais que são chamados de quadriláteros notáveis, que podem ser: Trapézios, Paralelogramos, Retângulos, Losangos e Quadrados.

Trapézio

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos:

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Os lados paralelos são as bases do trapézio e, a partir dos outros lados, podemos defini-lo como:

· Trapézio Isóscele: se estes lados são congruentes;

· Trapézio Escaleno: se estes lados não são congruentes;

· Trapézio Retângulo: se o trapézio tem dois ângulos retos.

image Os elementos de um trapézio são:

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b é a base menor;

B é a base maior;

h é a altura (distância entre as bases).

A área de um trapézio é dada por:

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Paralelogramo

Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.

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clip_image006

Nos paralelogramos podemos verificar as seguintes propriedades:

· Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes:

image · Em todo paralelogramo dois lados opostos quaisquer são congruentes:

image

· Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios:

image

Os elementos de um paralelogramo são:

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b é a base;

h é a altura.

A área do paralelogramo é dada por:

clip_image008

Vejam que, se o paralelogramo tiver as diagonais congruentes, este será um retângulo; Se o paralelogramo tiver suas diagonais perpendiculares, este será um losango; Agora, se o paralelogramo tiver as diagonais congruentes e perpendiculares entre si, este será um quadrado!

Retângulo

Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se suas diagonais forem congruentes:

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Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo:

clip_image012

Os elementos de um retângulo são:

image

a é a medida de dois lados paralelos;

b é a medida dos outros dois lados paralelos.

A área do retângulo é dada por:

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Losango

Um quadrilátero plano convexo é um losango se suas diagonais forem perpendiculares:

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Todo paralelogramo é um losango se suas diagonais forem perpendiculares:

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Os elementos de um losango são:

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d é a diagonal menor;

D é a diagonal maior.

A área do losango é dada por:

clip_image020

Quadrado

Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se suas diagonais forem perpendiculares e congruentes:

image

clip_image022

Veja que o quadrado possui as propriedades do retângulo e do losango juntas.

Os elementos do quadrado são:

image

a é a medida dos lados.

A área do quadrado é dada por:

clip_image024

Veja abaixo o organograma dos quadriláteros:

Organograma dos quadriláteros notáveis

[Clique na imagem para aumentar]

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce
[2] Matemática Volume Único – Facchini
[3] Matemática Volume Único – Benigno Barreto Filho


Veja mias:

Diagrama de Venn dos Quadriláteros Notáveis
Classificação dos Sistemas Lineares
Quadriláteros Notáveis

8 comentários:

  1. Ótimo post, prof Kléber.
    Um abraço!

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  2. Olá Jú, obrigado pelo comentário. AChei interessante expor a estrutura dos quadriláteros, pois acho que fica mais fácil de entender.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. Se um quadrilátero convexo (não necessariamente um paralelogramo) tem suas diagonais perpendiculares ele tem alguma fórmula específica para o cálculo da área a partir do valor das diagonais?

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  4. Olá amigo. Para um quadrilátero qualquer, cujas diagonais são perpendiculares,continua valento a fórmula para o cálculo da área do losango, ou seja: a área é igual ao semi-produto das diagonais:

    $A=\frac{d_1 \times d_2}{2}$

    Um abraço!

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  5. Olá, Kleber

    Venho acompanhando seu blog já algum tempo. Parabéns pelo ótimo trabalho, longa vida ao Baricentro da Mente.

    Só uma correçãozinha: na última célula, à esquerda, do organograma, o quadrilátero que tem ângulos retos e todos os lados iguais não é o "losango", é o quadrado.

    Grande abraço.

    Márcio Alves de Lima

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  6. Olá Márcio, obrigado pela confiança em meu trabalho e pelos votos!

    Que falha minha heim? Ainda bem que viu e me avisou. Por mais que tenha o cuidado de não errar, parece que ainda não estou livre deles... figura arrumada!

    Um forte abraço!

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  7. Parabéns pelo trabalho.

    ass: Dannemman

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  8. DISCORDO!!! Está escrito:"Um quadrilátero plano convexo é um losango se suas diagonais forem perpendiculares".
    ISSO É FALSO!!! Existe um quadrilátero denominado "pipa" que é plano, é convexo, possui diagonais perpendiculares e NÃO É LOSANGO!!!

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