05/10/2010

Uma Solução Geométrica para o Problema das Idades

Tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, teremos juntos 56 anos. Qual é a minha idade?

Este problema foi célebre numa época em que havia a preocupação de resolver este e outros tipos de problemas por Aritmética e não por Álgebra. No âmbito escolar, ele causa uma espécie de terror, enquanto fora dele exerce até um fascínio sobre as pessoas, talvez pelo seu enunciado em estilo de charada.

Vamos resolver este problema geometricamente. Sim, é possível! Se representarmos, num sistema de coordenadas cartesianas, a evolução da idade (em anos) de um indivíduo através do tempo (em anos), obteremos sempre uma reta paralela à bissetriz do quadrante. Na realidade, obtermos a própria bissetriz se tomarmos o “ano zero” como ano de seu nascimento, pois no ano 1 ele terá 1 ano, e assim por diante. Isto é um fato que pode convencer mesmo uma pessoa que jamais estudou Geometria Analítica. Já a idade de uma pessoa d anos mais velha terá como gráfico uma reta paralela, pois a diferença entre as idades dos dois permanecerá constante e igual a d em qualquer ano.

[Figura 1]

Voltando ao problema inicial, notamos que há dois indivíduos envolvidos: um que fala (vamos chamá-lo de E) e outro que escuta (vamos chamá-lo de T). Evidentemente E é mais velho que T (“quando eu tinha a idade que tu tens”), digamos que d anos, de modo que graficamente assemelham-se à figura 1.

Notamos também que há três épocas mencionadas no problema, que chamaremos de P (passada), A (atual) e F (futura). A maneira como se relacionam A e P (“quando eu tinha a idade que tu tens”) e A e F (“quando tu tiveres a idade que eu tenho”) mostra que elas se situam graficamente como a figura 2:
[Figura 2]

A inclinação de 45° das retas do gráfico acarreta que todos os segmentos assinalados verticalmente têm comprimento igual a d.

O dado de que a idade de E tem na época A (isto é, OX) é o triplo da idade que T tinha na época P (isto é, OZ), juntamente com o fato de que XY = YZ = d, obriga a que OZ seja também igual a d (estamos evitando escrever a equação 2d + OZ = 3OZ, já que ist o podemos observar na figura ). Mas, então, a reta da idade de E tem obrigatoriamente de passar por Z e o gráfico da figura 2 se transforma em:

[Figura 3]

Agora, então, é claro que na época F, a idade de T é 3d enquanto a de E é 3d + d. Logo, os dois juntos têm 7d que deve ser igual a 56, então d é igual a 8 e “a idade que eu tenho” é 3 x 8 = 24, e esta é a respota!
 
Referências
 
[1] RPM nº 16
[2] Matemática Vol. Único – Facchinni

Veja mais:

Quebra Cabeça das Abelhas
Quebra-Cabeça: Macaquinhos
Uma Solução Geométrica para o Problema dos Carros

9 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Você é o cara! Até ontem, quando deparava-me com problemas desse tipo, eu dava a solução, mas, não ficava satisfeito, pois não sabia como traduzir isso de uma forma prática, geométrica... é claro! Agora consegui retirar a venda dos olhos! Muito obrigado, amigo!
    Abraços!!!!!

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  2. Legal Valdir, quando vi este resolução também achei ótima, pois explicita o problema. Isso é bem interessante, pois sai daquela álgebra "abstrata" e passamos a visualizar o problema.

    Um abraço!!

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  3. Muito boa a resolução. Só gostaria de saber como faz para postar as equações pelo Windows Live Writer. Eu quero saber quais as configurações de FTP que você usou, para as configurações. Se puder me responder o mais cedo o possível, agradeço, pois tenho um blog de matemática, e com o Windows Live Writer fica bem melhor para adicionar imagens de equações e expressões.

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  4. Olá João,
    Primeiro adicione as configurações de seu blog no Live Writer, utilize a opção de inserir blogs, em ferramentas. É rápido.

    Digito todo o texto no Word 2007, inclusive as fórmulas.Copio todo o texto e colo no Live Writer. Então, formato o texto como justificado. Tem uma ferramenta de inserir imagens (do seu computador, ou da internet). Centralizo elas e deixo sem nenhuma borda (tem estas opções).Fique atento para a largura do campo de postagem de seu blog para que as imagens não fiquem maiores e assim sairem fora da área. Eu já faço as imagens com largura de 475px que é o máximo para meu blog.Mas também é possível redimensioná-las. No rodapé tem como incluir as tags.

    Eu já havia tentado copiar as fórmulas do MathType, mas quando aparecem no Live Writer, não ficam boas. Consegui esta qualidade somente com o Word 2007.

    Depois me passe o endereço de seu blog para eu dar uma olhada.

    Se precisar de mais ajuda, me envie um e-mail.

    Um abraço!

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  5. Kleber, muito obrigado pelas dicas!
    Agora meu Windows Live Writer está funcionando de acordo.

    ah, o link do meu blog é http://amatematicapura.blogspot.com/

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  6. Voltando a esse post: como você faz para desenhar essas funções, como a em que você mostra a resolução. Qual o programa que você usa?

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  7. Olá João,
    Nestas imagens usei o Corel X3. Em construções geométricas uso o software "Régua e Compasso". Ainda uso o Irfan View para visualizar e redimensionar imagens. Se você procurar pela net, achará fácil.
    Qualquer qdúvida, entre em contato.
    Um abraço!

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