28 de nov de 2010

Cayley e a Teoria das Matrizes

A disputa entre Newton e Leibniz (ou, mais exatamente, entre seus adeptos), em torno da primazia da criação do Cálculo, foi negativa para a matemática inglesa, embora Newton tivesse levado vantagem na polêmica. Considerando uma questão de honra nacional ser fiel ao sei mais eminente cientista, nos $100$ anos seguintes ao início desse episódio os matemáticos britânicos fixaram-se nos métodos geométricos puros, preferidos de Newton, em detrimento dos métodos analíticos, muito mais produtivos. Como os matemáticos da Europa Continental exploraram grandemente estes últimos métodos nesse período, a matemática britânica acabou ficando bem para trás.



Mas acabou havendo uma reação e a matemática britânica conseguiu voltar ao primeiro plano no século $XIX$, especialmente em álgebra, um campo que de um modo geral ficara algo marginalizado nesse meio tempo. E um dos maiores responsáveis por essa reascensão foi Arthur Cayley $(1821 – 1895)$.

Natural de Richmond, Inglaterra, Cayley descendia de uma família que conciliava talento e tradição. Desde muito cedo demonstrou grande aptidão para os estudos. Diante disso, e atendendo a sugestões de alguns de seus professores, os pais resolveram enviá-lo a estudar em Cambridge, em vez de iniciá-lo aos negócios da família. Assim, em $1838$, ingressa no Trinity College, onde iria se graduar com distinção máxima. Logo em seguida inicia-se no ensino, no próprio Trinity, mas desiste três anos depois, pois sua permanência exigira abraçar a carreira religiosa, o que não estava em seus planos.

Nos quinze anos seguintes dedicou-se à advocacia, mas com certeza não integralmente, como o mostram os mais de duzentos artigos que publicou no período, na área de matemática. Foi também nessa época que conheceu James Joseph Sylvester $(1814 – 1897)$, outro dos grandes expoentes da “álgebra britânica” do século $XIX$, com quem estabeleceu sólida amizade, consolidada até por áreas de pesquisas comuns, como a teoria dos invariantes. Em $1863$ aceita convite para ocupar uma nova cadeira de matemática pura criada em Cambridge, à testa da qual ficou até a morte (salvo um semestre de $1882$, em que deu cursos nos Estados Unidos).

Em volume de produção matemática, em todos os tempos, Cayley talvez só seja superado por Euler e Cauchy. E, embora sua obra seja bastante diversificada, foi no campo da álgebra, com grande facilidade que tinha para formulações abstratas, que mais se sobressaiu. Assim, por exemplo, deve-se a ele, num artigo de $1854$, a noção de grupo abstrato. Galois que, que introduzira o termo grupo em $1830$, com o sentido atual, só considerara grupos de permutações. Outra contribuição importante da Cayley, iniciada em $1843$, é a geometria analítica n-dimensional em cuja elaboração utiliza determinantes e coordenadas homogêneas como instrumentos essenciais.

O início da teoria das matrizes remonta a um artigo de Cayley em $1855$. Diga-se de passagem, porém, que o termo matriz já fora usado, com o mesmo sentido, cinco anos antes por Sylvester. Nesse artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a ideia de matriz preceda a de determinante, historicamente ocorreu o contrário: de fato, os determinantes já eram usados há muito na resolução de sistemas lineares. Quanto às matrizes, Cayley introduziu-as para simplificar a notação de uma transformação linear. Assim, em lugar de:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x^\prime & = & ax & + & by  \\
y^\prime & = & cx & + & dy 
\end{matrix}\right.
\quad \text{escrevia}\quad \left ( x^\prime ,y^\prime \right )=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}
\left ( x,y \right )
\end{equation*}
A observação do efeito de duas transformações sucessivas surgiu-lhe a definição de produto de matrizes. Daí chegou à ideia de inversa de uma matriz, o que obviamente pressupõe a de elemento neutro (no caso, a matriz idêntica). Curiosamente foi só num outro artigo, três anos depois, que Cayley introduziu o conceito de adição de matrizes e o de multiplicação de matrizes por escalares, chamando inclusive a atenção para as propriedades algébricas dessas operações.

Ao desenvolver a teoria das matrizes, como outros assuntos, a grande preocupação de Cayley era a forma e a estrutura em álgebra. O século $XIX$ se encarregaria de encontrar inúmeras aplicações para suas matrizes.

Texto de : Hygino H. Domingues

Veja mais:

Matrizes e o Controle de Tráfego
Artuhr Cayley no blog Fatos Matemáticos
Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento
 

Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento

image Na Matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação – que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século III a.C..

Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a ideia de determinante (como polinômio que associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.

A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade ema descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698 – 1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of álgebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704 – 1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois , na sua, Introdução à análise de curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral:

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O francês Étienne Bézout (1730 – 1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735 – 1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares – embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: “Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo”.

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes – meses antes J. F. M. Binet (1786 – 1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de Cauchy era superior.

Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804 – 1851), cognominado às vezes por “o grande algorista”. Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem justa.

Texto de : Hygino H. Domingues

27 de nov de 2010

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Vimos no post anterior sobre a demonstração da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. finita:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}
\end{equation}
Se tivermos uma $P.G.$ infinita na forma:
\begin{equation}
(a_1, a_2, a_3, \cdots ,a_n, \cdots )
\end{equation}
podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta $P.G.$ a partir da fórmula dada em $(1)$:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}
\end{equation}
Notem que $a_1$ e $q$ são constantes, de modo que $\displaystyle \frac{a_1}{q-1}$ também é uma constante. No entanto, $q^n$ é variável, devido a $n$. Assim, temos que:
\begin{equation}
\lim_{n \longrightarrow +\infty} q^n=0
\end{equation}
onde $-1<q<1$.

Se temos uma $P.G.$ de infinitos $n$ termos, podemos aplicar $(4)$ em $(3)$, obtendo:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}=0+\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}
\end{equation}
A condição $– 1 < q < 1$ é necessária para a convergência da sequência, mas se $a_1 = 0$ esta condição se torna desnecessária.

Mas, se $a_1 \neq 0$ e $q < -1$ ou $q >1$, a sequência $(S_1, S_2, S_3,\cdots)$ não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta $P.G.$.

Exemplo $1$:

Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(5,\frac{5}{2},\frac{5}{4}, \cdots \right)$.

Temos que $a_1=5$ e $\displaystyle q=\frac{1}{2}$.

Assim:
\begin{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(4,\frac{8}{3},\frac{16}{9}, \cdots \right)$.

Temos que $a_1=4$ e $q = \displaystyle \frac{2}{3}$.

Assim:
\begin{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{\frac{1}{3}}=12
\end{equation*}
Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da P.G.. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:

Veja Mais:

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fração Geratríz de Dízima Periódica através de P.G.
A Série de Suiseth
Raízes em Progressões no blog Fatos Matemáticos

26 de nov de 2010

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

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onde a e q são números reais dados.

Assim, podemos dizer que PG é uma sequência tal que o quociente entre cada termos e o seu anterior, a partir do segundo, é uma constante denominada q.

Podemos dizer também que uma PG é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante não-nula, denominada razão e simbolizada por q.

Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:

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Seja Sn a soma dos n termos desta PG:

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ou escrevendo-a de outra maneira:

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Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:

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Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a1 só aparece em (3) e a parcela a1qn só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):

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Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:

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Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a1, an e q.

Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a1, n e q:

Sabemos que:

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clip_image022

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Exemplo 1: Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 22, 23, ...)

Temos então que:

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Aplicamos a fórmula dada em (8):

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Exemplo 2: Determine a soma dos termos da PG (1, 1/2, 1/4, ..., 1/64)

Temos que:

clip_image034

clip_image036

Aqui, podemos utilizar a fórmula dada em (6), pois teoricamente não sabemos a quantidade de termos desta PG:

clip_image038


Veja Mais:

Fórmula da soma dos Termos de uma PG Infinita
Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG
Raízes em Progressões no Blog Fatos Matemáticos


21 de nov de 2010

Carnaval da Matemática – Matemática Feliz #Nº5

Logo Carnaval da Matemática

Veja a edição #Nº5 clicando na imagem acima.

Gostaria de compartilhar com todos os leitores que ainda não conhecem o Blog Carnaval da Matemática para que visitem e ajudem a divulgar esta idéia.

Trata-se de um blog voltado à divulgação de artigos da Língua Portuguesa de cunho matemático enviado por outros blogueiros onde serão publicados todos os meses um "Carnaval da Matemática".

Para submeter seu artigo, acesse a página blogcarnival.com e que são automaticamente aglomeradas e transformados numa entrada única deste blog. Todos os dias 15 de cada mês é publicada uma nova edição, sendo os textos aceitos até ao dia 14 de cada mês.

 


Blogs participantes desta edição:

Fatos Matemáticos: Resolvendo a Equação Quadrática Através do Compasso

O Baricentro da Mente: A História do Símbolo do Infinito

Problemas | Teoremas: Funções Trigonométricas Inversas em Termos das Funções Exponencial e Logarítmica


20 de nov de 2010

Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG

Vimos em outra oportunidade como determinar uma fração geratriz de dízima periódica utilizando o método de múltiplos. Neste post, vamos aprender a utilizar o conceito da PG para determinarmos a fração geratriz.

Primeiramente, vamos relembrar que a fórmula para determinar a soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

clip_image002

Vamos tomar alguns exemplos que foram utilizados no post sobre Fração Geratriz através de múltiplos, para efeito de comparação.  

Exemplo 1: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 0,121212...

Podemos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

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Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image006

E a razão desta PG é dada por:

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Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

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Exemplo 2: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image012

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

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E a razão desta PG é:

clip_image008[1]

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

clip_image016

Agora, somamos o resultado encontrado em (5) com a parte inteira:

clip_image018

Exemplo 3: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image020

Notamos que neste exemplo, além da parte inteira, contém uma parte decimal não periódica.

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image022

E a razão desta PG é:

clip_image008[2]

Agora, aplicamos estes valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita:

clip_image002

Somamos o resultado encontrado em (7) com a parte inteira da dízima e com a parte não periódica:

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Veja Mais:

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Raízes em Progressões no Blog Fatos Matemáticos

18 de nov de 2010

Reta Tangente a uma Curva

Vamos estudar primeiramente este assunto sobre retas tangentes a uma curva para que num próximo post possamos estudar mais detalhadamente o Conceito de Derivada.

O problema de traçar a reta tangente a uma curva pode ser resolvido facilmente pela Geometria Elementar se esta curva for uma circunferência:

S1) A tangente à circunferência num ponto P é a reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por este ponto;

S2) A tangente à circunferência no ponto P é a reta que só toca a circunferência nesse ponto.

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[Figura 1]

No entanto, para uma curva genérica de uma função f (x), a situação é diferente. A solução S1 só se aplicaria se soubéssemos o “raio” de uma curva no ponto P:

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[Figura 2]

A solução S2 também não é adequada a uma curva genérica, pois uma reta que toca uma curva uma única vez, nem sempre merece o nome de tangente:

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[Figura 3]

No entanto, uma reta tangente pode tocar a curva em mais de um ponto:

image [Figura 4]

Temos, então, que dar uma definição de reta tangente aplicável a uma curva genérica f (x), não apena para uma circunferência.

Vamos supor o gráfico de uma função f (x) onde x e f (x) sejam as coordenadas no ponto P onde vamos traçar a tangente. Para isso, vamos considerar um outro ponto Q do gráfico de f (x), cuja abscissa é dada por x + Δx e sua ordenada dada por f (x + Δx).

image [Figura 5]

O declive da reta secante PQ é dada pelo quociente dado em (1) que é chamado de razão incremental.

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Essa designação de razão incremental se justifica pelo fato de Δx ser um incremento dado à abscissa de P para obtermos a abscissa de Q, e que f (x + Δx) – f (x) é o incremento sofrido pela função em consequência do incremento Δx da variável independente.

Observando ainda a figura 5, vamos supor que o ponto P continue fixo enquanto o ponto Q aproxima-se de P, passando por sucessivas posições Q1, Q2, Q3, ... Logo, a secante PQ assume as posições PQ1, PQ2, PQ3, ... O que se espera é que a razão incremental, que é o declive da secante, se aproxime de um determinado valor m, à medida que o ponto Q se aproxima de P. Desta forma, podemos definir a reta tangente à curva no ponto P sendo aquela que passa por P e cujo declive ou coeficiente angular é igual a m.

O modo de aproximar Q de P é fazer Δx cada vez mais próximo de zero na razão incremental. Isso equivale a dizer que estamos fazendo Δx tender a zero, ou simbolicamente Δx → 0. Também se diz que Δx tende a zero ou que Δx está tendendo a zero.

Se observarmos melhor, vemos que Δx pode assumir valores positivos e negativos. Se imaginarmos Δx assumindo valores exclusivamente positivos, então o ponto Q estará se aproximando de P pela direita, como ilustra a figura 5. Para que Δx assuma valores exclusivamente negativos, o ponto Q estará se aproximando de P pela esquerda, como mostra a figura 6:

image

[Figura 6]

Quando Δx → 0 e a razão incremental se aproxima de um valor finito m, dizemos que m é o limite da razão incremental com Δx tendendo a zero. Então escrevemos:

clip_image004

Observamos aqui que Δx sempre é diferente de zero na razão incremental, pois esta razão não tem sentido para Δx = 0, já que teríamos 0/0.

A fim de melhor fixar o conceito da reta tangente como derivada de uma função, vamos ver alguns exemplos numéricos e, enfim, uma generalização.

Exemplo 1: vamos traçar a reta tangente à parábola y = f (x) = x2 no ponto P de abscissa x = 1. Então, y = f (1) = 12 = 1 e P = (1,1). Temos:

clip_image006

Temos que o declive da secante dado em (1) é:

clip_image008

E se associarmos (3) com (4), obtemos:

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A expressão 2 + Δx aproxima o valor 2 quando Δx → 0, de forma que podemos escrever:

clip_image012

Encontrado o valor de m = 2, podemos escrever a equação da reta tangente à curva no ponto P = (1,1):

clip_image014

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clip_image002[4]

Essa reta com inclinação m = 2, corta o eixo Ox no ponto de abscissa x = 1/2, e o eixo Oy no ponto da ordenada y = – 1.

Graficamente temos:

image

[Figura 7]

Exemplo 2: Vamos repetir o mesmo exemplo anterior num outro ponto da curva, digamos no ponto de abscissa x = 3/2. Então:

clip_image020

Então:

clip_image022

De forma que:

clip_image024

E a razão incremental neste caso é:

clip_image026

Essa expressão 3 + Δx aproxima o valor 3 quando Δx → 0. De posse desse valor m = 3, podemos escrever a equação da reta tangente à curva no ponto considerado P = (3/2 , 9/4):

clip_image028

Ou seja:

clip_image030

Essa reta, com inclinação m = 3, corta o eixo Oy no ponto de coordenada y = – 9/4 = – 2,25, como ilustra o gráfico abaixo:

image

[Figura 8]

Exemplo 3: Vamos considerar agora o problema de traçar a reta tangente num ponto genérico da curva, um ponto de abscissa x = a, onde a é um número qualquer.

clip_image032

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Temos que:

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O limite dessa expressão com Δx → 0 é 2a. Portanto, a reta tangente no ponto P = (a , a2) é dada por:

clip_image038

Ou seja,

clip_image040

A figura abaixo ilustra uma situação em que a < 0:

image

[Figura 9]


Veja mais:

Zeros Reais de Funções Reais
Aplicação de Derivadas para Determinar Máximos e Mínimos
Alguns Fatos da Tangente e x no Blog Fatos Matemáticos
O Cálculo de Isaac Newton - Parte 1 e Parte 2 no Blog Fatos Matemáticos

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