26 de nov de 2010

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

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onde a e q são números reais dados.

Assim, podemos dizer que PG é uma sequência tal que o quociente entre cada termos e o seu anterior, a partir do segundo, é uma constante denominada q.

Podemos dizer também que uma PG é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante não-nula, denominada razão e simbolizada por q.

Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:

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Seja Sn a soma dos n termos desta PG:

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ou escrevendo-a de outra maneira:

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Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:

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Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a1 só aparece em (3) e a parcela a1qn só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):

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Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:

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Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a1, an e q.

Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a1, n e q:

Sabemos que:

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Exemplo 1: Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 22, 23, ...)

Temos então que:

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Aplicamos a fórmula dada em (8):

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Exemplo 2: Determine a soma dos termos da PG (1, 1/2, 1/4, ..., 1/64)

Temos que:

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Aqui, podemos utilizar a fórmula dada em (6), pois teoricamente não sabemos a quantidade de termos desta PG:

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Veja Mais:

Fórmula da soma dos Termos de uma PG Infinita
Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG
Raízes em Progressões no Blog Fatos Matemáticos


10 comentários:

  1. Muito bom esse blog, gostei!

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  2. Fala Kléber!

    Então parceiro, eu to meio sumido mesmo. To estudando pro vestibular, o que vem tomando muito o meu tempo. Mas devagar eu vou dando um jeito de ir postando algumas coisas no blog.

    Um abraço!

    MF Matemática
    http://www.mfmatematica.blogspot.com

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  3. Obrigado CCM pela visita e comentário. Volte sempre!

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  4. Olá Marcelo, legal que apareceu. Espero que alcance seu objetivo. Continue estudando! Abraços!

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  5. Muito o post, num próximo episódio sugiro que trate da soma das PG´s com razão menor que 1 em módulo e com infinitos termos. Existem vários exemplos geométricos e físicos. Fica aí a dica. Obrigado novamente pelo link. Abraços!

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  6. Para quem ama exatas esse blog é nota 10!
    Brigadão Kleber!

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  7. Muito bom esse Blog me tirou uma dúvida que em nenhum outro site tinha me esclarecido!! Obrigado, e esse blog é uma prova real de que exatas é surpreendente!!

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  8. eu nao consigo entender essa materia vc me ajudou bastante obrigado

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  9. Oi, Kleber, a quanto tempo, rs.

    Uma maneira de achar a fórmula da PG é usar o seguinte teorema: se a_n=F(n+1)-F(n), então Sn=F(n+1)-F(1), pra toda e qualquer sequencia de termo genérico a_n. Então é só multiplicar an=a1*q^(n-1) por (q-1)\(q-1) e a_n fica na forma F(n+1)-F(n).

    É com grande alegria que informo que neste ano iniciei meu bacharelado em matemática na Universidade Federal de Uberlândia, rs.

    Valeu.

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    Respostas
    1. Olá Aloísio! Faz tempo mesmo!

      Fiquei muito feliz em saber que está bacharelando! Tenho certeza que será fantástico! Agora toda sua criatividade será potencializada.

      Agradeço pelo comentário!

      Um forte abraço.

      Excluir

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