15/01/2011

O Número Prateado na Trigonometria

dAg_3 Vimos no primeiro post sobre o número prateado, uma breve introdução que o traz como algo novo, curioso, com grande potencial a ser explorado, mas sem muito formalismo. Neste post, veremos que esta constante também está relacionada à Trigonometria, nas funções seno, cosseno e tangente.

Vamos provar através da trigonometria e álgebra básica que:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

clip_image002[10]

Da Trigonometria, sabemos que:

clip_image002

Se considerarmos, por exemplo, um valor para θ = π / 8 = 22,5°, temos que:

clip_image004

clip_image006

Multiplicamos o numerador e o denominador por (2 + √2):

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Pela definição do número prateado, temos que:

clip_image016

Substituindo na equação acima, encontramos:

clip_image018

Extraímos a raiz de ambos os membros relação acima:

clip_image020

clip_image022

Da relação trigonométrica fundamental, temos que:

clip_image024

clip_image026

Para θ = π / 8:

clip_image028

Substituímos a relação (2) na relação (3):

clip_image030

clip_image032

clip_image034

clip_image036

Pela definição do número prateado temos que:

clip_image016[1]

Substituindo na relação acima, temos:

clip_image038

clip_image040

clip_image042

clip_image044

clip_image046

clip_image048

clip_image050

clip_image052

Extraindo a raiz:

clip_image054

Podemos ainda determinar a tangente de π / 8:

clip_image056

Substituímos os valores (2) e (4) em (5), obtendo:

clip_image058

clip_image060

clip_image062

clip_image064

clip_image066

O desenvolvimento das demonstrações foram feitas pelo Professor Paulo do blog Fatos Matemáticos, que gentilmente me cedeu o material para publicar aqui neste blog.


Vejam mais:

O Número Prateado
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

2 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Que bom! Vejo que esse Número Prateado em termos de interesse, de desconhecido que era, já está superando a procura das aplicabilidade, do Número de Ouro. Você e o professor Paulo, estão de parabéns pelo ótimo post!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Olá Valdir, pois é... ainda não sabemos direito o seu potencial. O pouco do material que tem está em inglês e espanhol e os estudos são muito superficiais. O Paulo deu uma bela demonstrada aqui. Eu dei umaformatada e introduzi algumas passagens. Tenho mais um material aqui, flata digitar e fazer as figuras, em brevepublico.

    Um abraço!

    ResponderExcluir

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