07/01/2011

Retificação da Circunferência (Parte 1)

Neste post faremos a retificação da circunferência. O segmento encontrado nos remeterá a um valor aproximado de π.

Dada uma circunferência de raio R, como determinar o valor de seu comprimento? Podemos utilizar a conhecida fórmula: C = R. Vamos retificar a circunferência, ou seja, desenrolar esta circunferência de modo que fique toda esticada, utilizando somente régua e compasso.

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1) Descreva uma circunferência com centro em O e raio R.

2) Trace o diâmetro vertical AB.

3) Trace a tangente t em B.

4) Com a ponta seca do compasso em B e raio R, descreva o arco OC, marcando C na intersecção com a tangente t.

5) Com a ponta seca do compasso em C e raio OC, descreva o arco OD, marcando D na intersecção com a tangente t. Note que OC é a diagonal do quadrado de lado igual a R, medindo R√2.

6) Coma ponta seca do compasso em D e raio R, descreva um arco e marque E sobre a tangente t.

7) Coma ponta seca do compasso em E e raio R, descreva um arco e marque F sobre a tangente t.

8) Trace um seguimento de reta de A passando por F prolongando-o. Veja que o comprimento do segmento AF é igual a πR.

9) Com centro em F e raio AF descreva um arco marcando G no prolongamento do segmento de reta AF. Logo, o segmento AG = 2πR, que é o comprimento da circunferência de raio R.

Observando a figura acima, temos que o segmento AG aproxima o valor de 2πR. Como AF = AG, basta determinarmos o valor do segmento AF para encontrarmos uma aproximação de π. Temos que:

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O problema agora se resume em determinar o comprimento do segmento AF. Aplicando o teorema pitagórico no triângulo ABF, obtemos:

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Como o segmento AF equivale a πR, substituímos em (6), obtendo:

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O valor para π encontrado em (7) nos leva a π = 3,135. Vejam que este valor nos dá uma aproximação para π razoável, em termos geométricos.


Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Construções Geométricas Utilizando Régua e Compasso
Ângulo Entre Circunferências e Circunferências Ortogonais
Reta Tangente a uma Curva

4 comentários:

  1. eu naum entendi o último parágrafo, o 9), pois se AF=πR e FG=R, já que usamos o compasso com centro em F e raio R para marcar a distância, AG não deveria ser igual a R(π+1)?

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  2. É verdade amigo, em 9), o raio da circunferência deve ser AF. Logo o comprimento de AG será de $2 \pi R$
    Obrigado por avisar.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  3. Olá, Kleber.

    Não consegui compreender a proposição "O comprimento do segmento AF é igual a πR."

    Desde já, obrigado.

    Att.

    ResponderExcluir
  4. Olá Eduardo, no passo 8 da construção, o segmento AF aproxima ao valor de πR. Como AF=FG, o segmento AG aproxima o comprimento da circunferência. Na parte da demonstração, a expressão (6) nos fornece o valor de AF aproximadamente igual a 3,135 x R.
    Espero ter esclarecido sua dúvida.
    Um abraço.

    ResponderExcluir

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