07/02/2011

Solução Geométrica para o Problema dos Carros

Considere o problema a seguir: Quatro carros viajam pela mesma estrada em velocidades constantes. Os carros A, B e C seguem num mesmo sentido, enquanto o carro D segue em sentido oposto.

Figura1

O carro A viaja atrás do carro B, que viaja atrás do carro C, todos eles há uma distância grande um do outro.

O carro A ultrapassou o carro B às 8 horas; em seguida ultrapassou o carro C às 9 horas e foi o primeiro cruzar com o carro D às 10 horas. O carro D cruzou com o carro B às 12 horas e com o carro C às 14 horas.

A questão é: a que horas o carro B ultrapassou o carro C?

GRÁFICO

Como o problema inicia com a ultrapassagem do carro A pelo carro B Às 8 horas, vamos tomar 8 como sendo a origem do sistema cartesiano.

Como os veículos deslocam-se a velocidades constantes, podemos representá-los através de retas, cujas inclinações indicam o quão mais rápido desloca-se um carro em relação ao outro: quanto mais inclinada for a reta, maior a velocidade do carro!

Fica claro que o carro A está mais rápido do que os outros, logo este percorre uma distância maior em menos tempo; logo a inclinação da reta que representa o carro A é a mais inclinada. A reta B será menos inclinada e ainda menos para o carro C. Essas retas podem estar representadas pela equação:

$$ax+b=y$$

e como os três carros seguem o mesmo sentido, tomamos o coeficiente a como positivo e, portanto, teremos três retas geradas por funções crescentes. Já para o carro D, que viaja em sentido oposto, representamos pela reta D, que é gerada por uma função decrescente.

Às 8 horas, portanto, os carros A e B estão juntos no mesmo ponto O da estrada (origem) enquanto o carro C está em algum ponto V à sua frente; e o carro D está mais à frente num ponto U.

Vejam que o carro A ultrapassou o carro C às 9 horas, indiquemos com um ponto P. A seguir, o carro A seguiu e cruzou com o carro D às 10 horas, indiquemos esse ponto por Q.

Os pontos S e R marcam o momento em que o carro D cruzou com o carro B às 12 horas e com o carro C às 14 horas. O problema se resume em descobrir qual é a hora no ponto T.

Examinando o gráfico note que o tempo gasto pelo carro A para se deslocar do ponto O ao ponto P é o mesmo para se deslocar de P a Q, ou seja 1 hora, então, os seguimentos de retas OP e PQ são iguais.

Ao longo da reta d, os seguimentos de reta QS e SR também são iguais. Portanto, no triângulo ΔOQR, OS é a mediana do ângulo QÔR e RP é a mediana do ângulo QRO. Isso nos leva a um problema simples de geometria: o ponto T se transforma no baricentro do triângulo ΔOQR!

Já vimos a como encontrar o baricentro de um triângulo e que está relacionado como:

$$\overline{OT}=\frac{2}{3}\cdot \overline{OS}$$

Então, a hora no ponto T é igual a dois terços do tempo decorrido do ponto O ao ponto S:

$$h(T)=8+\frac{2}{3}\cdot 4$$

$$h(T)=\frac{32}{3}$$

Isso nos leva a concluir que o carro B passou o carro C às 10h40.

Referências

[1]  Revista Cálculo nº1


Veja mais:

Quebra Cabeça das Abelhas
Quebra-Cabeça: Macaquinhos
Uma Solução Geométrica para o Problema das Idades

11 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Só você mesmo, para tornar o complexo em uma coisa simples! Rsrsrsrs! Quando bati a vista no gráfico V x T e diante de serem os carros animados por movimentos MUV, pensei em muitas dificuldades para a obtenção da resposta. Mas, até que não é difícil. Parabéns, pela aula e pelo post, mestre!
    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Valdir,

    Obrigado pelo comentário. Quando vi este artigo na revista, achei muito interessante. Então, remodelei o texto para uma leitura melhor.

    Um abraço!

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  3. Muito legal o post, mas há um erro: a reta OS nâo é a Bissetriz, mas a Mediana do ângulo QÔR; por isso o Baricentro, que é o ponto de encontro das Medianas.

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  4. Olá Ramos, bem observado. Já estou corrigindo esse deslize.

    Abraços.

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  5. Oi, Kleber!

    Este problema não só saiu na revista que referiu como também na edição especial dela "Desafios Matemáticos 02", que saiu no ano passado.

    A resolução do problema é realmente é engenhosa. Já viu algum com MU e/ou MUV?

    Uma vez pensei na seguinte situação. Seja o gráfico de uma função qualquer. Se a abcissa x do ponto tem velocidade constante v=+1, qual a velocidade do ponto no trajeto da curva em função de x???

    Eu lembro que no MHS, é ao contrário. Neste caso temos um MCU e a abcissa realiza um MHS.

    Um abraço!

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    1. Olá Aloísio,

      É um problema legal mesmo, não é a toa que foi bem explorado. Não vi nenhum com MU ou MUV, também não procurei, mas acredito que seja possível a resolução utilizando gráficos, como este.
      Obrigado por comentar, amigo!

      Um abraço!

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  6. Isso sim é o que eu posso chamar de traduzir o enunciado de um problema matemático. Foi muito engenhoso e sua explicação ajudou bastante na compreensão da resolução desta pergunta que ao primeiro olhar nos parece tão complexa e confusa. Parabéns Kleber você realmente sabe como explicar uma matéria, por mais complexa que ela possa parecer você a faz ficar simples e de fácil entendimento até mesmo para um leigo no assunto...

    Ótima publicação Kleber, um abraço e até a próxima!!!

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    1. Olá Romirys, este problema retirei da revista citada nas referências. Fizeram uma abordagem bem didática que ficou muito boa. Gosto de artigos assim: que possam ser explorados e bem explicados.

      Um abraço!

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  7. A penúltima equação está errada, não?

    Deveria ser [;h(T) = 8 + \frac{2}{3}.4 ;]

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  8. Ótima postagem, das que vale a pena memorizar pra jogar na cara dos professores de física algebristas. ;)

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    1. Olá Victor, obrigado por relatar o erro. Passou despercebido. Já está corrigido.

      É uma abordagem diferente das utilizada nas aulas de Física, sendo uma boa solução, mas não é a mais prática, pois demora para analisar cada caso, mas serve como integração entre as disciplinas. Vale a pena!

      Um abraço!

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