30/03/2011

Interpolação Polinomial - Resolução por Sistema Linear

Introdução

Interpolar uma fincão f (x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g (x), escolhida em uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. Dessa forma g (x) é usada em substituição a f (x).

Essa necessidade de usar uma função de aproximação g (x), surge em várias situações:

a) Quando só sabemos os valores numéricos de alguns pontos da função e precisamos calcular o valor da função num ponto intermediário;

b) Quando a função tem uma expressão tal que operações como a diferenciação ou integração são difíceis ou mesmo impossíveis de serem realizadas.

A tabela abaixo relaciona calor específico e temperatura da água:

image

Através desta tabela, só podemos saber os valores referentes aos pontos analisados. Mas podemos utilizar a interpolação polinomial para encontrarmos valores intermediários, como por exemplo, o calor específico da água a 32,5°C.


Conceito de Interpolação

Sejam N + 1 pontos distintos:

clip_image002

Chamamos de nós de interpolação. E os valores de f (x) nesses pontos:

clip_image004

A interpolação polinomial de f (x) consiste em obter uma função g (x), tal que:

clip_image006

Graficamente teremos algo como:

image

[Figura 1]

Vejam que, apesar das funções f (x) e g (x) gerarem curvas diferentes, os nós são iguais.


Interpolação Polinomial

Sejam N +1 pontos:

clip_image008

Queremos aproximar f (x) por um polinômio PN (x), de grau menor ou igual a N, onde:

clip_image010

Representaremos PN (x) por:

clip_image012

Então, obter PN (x) significa obter os coeficientes:

clip_image014

A matriz dos coeficientes do polinômio de grau N é a Matriz de Vandermonde:

clip_image016

Desde que clip_image002[1] sejam pontos distintos, teremos clip_image018, admitindo solução única ao sistema linear

Teorema 1: Existe um único polinômio PN (x), de grau menor ou igual a N, tal que:

clip_image020

Desde que clip_image022


Resolução do Sistema Linear

Exemplo 1: Determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpole os dados da tabela abaixo:

image

Temos então que:

clip_image024

Desta forma, substituímos os valores de x0, x1 e x2 em P2 (x), obtendo:

clip_image026

clip_image028

clip_image030

Montamos o sistema linear de três equações e três incógnitas:

clip_image032

Resolvendo o sistema linear, pelo método de Gauss, pelo método da substituição ou pelo método de Castilho, obtemos:

clip_image034

E finalmente obtemos P2 (x) que interpola f (x) nos pontos tabelados:

clip_image036

Exemplo 2: Determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpole o dados da tabela abaixo:

image

clip_image038

clip_image040

clip_image042

clip_image044

Montamos então, o sistema linear:

clip_image046

Resolvendo o sistema linear, obtemos que:

clip_image048

O polinômio P2 (x) que interpola f (x) nos pontos tabelados é:

clip_image050

Agora, se quisermos interpolar um valor intermediário a dois pontos tabelados, como por exemplo, x = 0,666, fazemos:

clip_image052

clip_image054

clip_image056


Referências

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais – Márcia Ruggiero – 2ª Ed – Ed. Makron Books

[2] Notas de Aula


Veja mais:

Polinômio Interpolador de Lagrange
Regressão Polinomial
Interpolação Polinomial partes 1, 2 e 3 no blog Fatos Matemáticos

6 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Como sempre, você faz o difícil da matemática tornar-se fácil e compreensível pelos indivíduos ávidos ou necessitados, para a compreensão e o domínio dos conteúdos matemáticos considerados "intrincados". Para mim, você está me ajudando, sem o saber é claro, na prova do meu algoritmo! Obrigado e parabéns!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Obrigado Valdir!! Quero ver seu algoritmo!

    ResponderExcluir
  3. Olá Kleber!

    Ótima publicação sobre interpolação polinomial. Ela me ajudou muito para que eu pudesse participar de um fórum da disciplina de Cálculo Numérico que estou cursando.

    Uma observação que tenho a fazer é que o link para o artigo Interpolação Polinomial parte 1 no blog Fatos Matemáticos está com um pequeno erro de redirecionamento. Ele está com uma aspas simples no link e faz com que pareça que o link é incorreto enquanto que apenas é preciso remover aquela aspas. Deixo como dica você ver a possibilidade de concertar este link.

    No mais obrigado pelo ótimo artigo aprendi mais que com o meu professor de Cálculo Numérico

    Att. Romirys Cavalcante

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    Respostas
    1. Olá Romirys.

      Que bom que lhe foi útil. Fico muito satisfeito de saber! Depois vou arrumar o link, deve ter sido na digitação...

      Cálculo numérico não é fácil, talvez pela carregada notação utilizada. Mas claro que ler trinta e sete vezes o texto, mais alguns textos da net ajudam... Precisando é só pedir.

      Grande abraço!

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    2. Olá kleber, boa tarde, vc pode me dizer qual é o objetivo real da interpolação polinomial?

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    3. Fernanda, respondi ao seu e-mail. Abs.

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