24 de abr de 2011

O Corpus Arquimediano

Apresentamos aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós. A lista segue a ordem da edição crítica de Heiberg.



1) Sobre a Esfera e o Cilindro

Dirigida  a Dosite, matemático de Alexandria, contém dois livros: no primeiro, Arquimedes demonstra que a esfera é $2/3$ do cilindro circunscrito a ela e que a superfície esférica é igual a quatro círculos máximos; no segundo, trata de problemas solucionáveis mediante esses resultados: por exemplo, dividir uma esfera em dois segmentos que têm entre si determinada relação.

2) A Medida do Círculo

Contém apenas três proposições. Na primeira, demonstra-se que o círculo é igual ao triângulo retângulo tendo por catetos o raio e a circunferência retificada. Na terceira, demonstra-se que a relação entre a circunferência e o diâmetro está compreendida entre $3 + 10/71$ e $3 + 1/7$. 

3) Sobre Conoides e Esferoides

Dirigida a Dosite, estuda as figuras que hoje chamamos paraboloides, hiperboloides de rotação (conoides) e elipsoides (esferoides). Demonstra que o paraboloide de rotação é $3/2$ do cone com a mesma base e altura; resultados análogos (mas mais complexos) são obtidos para o hiperboloide e o elipsoide.

4) Sobre as Espirais

Dirigida a Dosite, define a "Espiral de Arquimedes" (a curva descrita por um ponto que se move de modo uniforme sobre uma reta que, por sua vez, se move de modo circular uniforme); essa curva é usada para obter uma retificação da circunferência.

5) Sobre o Equilíbrio dos Planos

Em dois livros, o primeiro deduz a lei da alavanca e determina o centro de gravidade de algumas figuras planas, como paralelogramo, triângulo e trapézio O segundo é inteiramente dedicado à determinação do centro de gravidade do segmento de parábola.

6) O Contador de Areia

Dedicado a Gelon de Siracusa, apresenta um sistema de numeração capaz de contar números muito grandes, como o número de grãos de areia contido em uma esfera do tamanho do Universo.

7) A Quadratura da Parábola

Dirigida a Dosite, demonstra que a parábola é $4/3$ do triângulo com a mesma base e altura. O texto é dividido em duas partes: a quadratura "mecânica" (na qual se recorre a conceitos de estática) e a "geométrica".

8) Sobre os Corpos Flutuantes

Em dois livros , o primeiro enuncia o "Princípio de Arquimedes": um corpo imerso em um fluído recebe um empuxo para o alto igual ao peso do volume do fluído deslocado. Baseado nisso, o final do primeiro livro determina as condições do equilíbrio de um segmento esférico flutuante; o segundo livro é dedicado ao estudo do comportamento de um paraboloide flutuante.

9) Stomachion

Obra curiosa, na qual é descrito uma espécie de tangram: trata-se de subdividir um quadrado ou um retângulo em quatorze partes comensuráveis entre si.

10) O Método Mecânico

Dedicada a Eratóstenes, Arquimedes revela o método heurístico que seguia para obter os resultados já descritos. Vários exemplos mostram como aplicar o método (quadratura da parábola, esfera, segmentos esféricos, conoides e esferoides). A obra visa principalmente o estudo da chamada "unha cilíndrica" e do sólido obtido mediante a intersecção de dois cilindros inscritos em um cubo.

11) Livro dos Lemas

Chegou até nós por meio de uma paráfase árabe. Trata de figuras como o "arbelon" ou o "salinon", obtidas pela intersecção de círculos.

12) O Problema dos Bois

Pequena obra em que Arquimedes desafia os matemáticos da época a resolver um problema aritmético: contar o número de bois - brancos, manchados, negros e castanhos - que o deus Sol conduzia na Trinácria, levando em conta certas relações entre o número de bois de cada cor. O problema leva a uma equação cuja solução implica números monstruosos, com mais de $200$ mil algarismos. Não se sabe como Arquimedes pôde ter encontrado a solução.

Veja mais:

O teorema da corda quebrada de Arquimedes
O Livro dos Lemas de Arquimedes
Sobre a Esfera e o Cilindro



3 comentários:

  1. OLá, Kleber!
    O velho Arquimedes, não era fraco não! Depois dele em termos de criatividade ou espírito inventivo, acredito que... Leonardo da Vinci e o Thomas Alva Edison.
    Fiquei interessado pelo problema dos bois. Aonde encontraria o enunciado dele (vou procurar)? Caso se trate de equação polinomial, será um bom candidato para testar o meu algoritmo.
    Parabéns pela postagem e espero que seja útil e estimulante para os outros, como o foi para mim!
    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Valdir,
    No mundo das invensões acredito que possa ter razão. Até engraçado você citar Edison, pois tinha visto esses dias mesmo que ele havia patenteado cerca de 1200 invenções! Realmente incrível. Matematicamente falando, ainda defendo os maiores matemáticos: Arquimedes, Newton, Euler e Gauss.
    Se encontrar o problema dos bois, te aviso.

    Abraços.

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  3. Uma senhora obra!
    /oo\
    U

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