20/05/2011

Igualdade entre um Círculo Tangente a uma Esfera Inscrita e a Coroa Circular do Círculo Máximo da Esfera Circunscrita

Calma! O título é extenso, mas a demonstração é bem simples e rápida: Sejam duas esferas concêntricas, cujos raios soa R e r. Vamos mostrar que a área circular formada por um plano tangente à esfera inscrita é igual à área da coroa circular formada no círculo máximo da esfera circunscrita. Veja a figura abaixo:

As áreas dos círculos máximos das esferas são dadas por:

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Onde AC é a área do círculo máximo da esfera circunscrita e AI é a área do círculo máximo da esfera inscrita. Logo, a área A1 da coroa circular é dada por:

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Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo OBC, encontramos o valor para o raio t do círculo tangente em função dos raios R e r:

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A área A2 do círculo tangente é dada por:

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Comparando as relações (1) e (3), vemos que as áreas A1 e A2 são iguais. Isto é fácil de verificar:

1) Se a esfera inscrita tem seu raio r = R, o círculo tangente terá área nula assim como a área da coroa circular;

2) Se a esfera inscrita tem seu raio r = 0, o círculo tangente será o próprio círculo máximo da esfera circunscrita.

Vejamos: Se duas esferas concêntricas de raios iguais a R = 3 e r = 2, qual será o valor do raio t do círculo tangente e qual será o valor para as áreas A1 e A2?

A área A1 será:

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Para o raio t, fazemos:

clip_image010[1]

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Logo, a área A2, será:

clip_image014[1]

clip_image028

Logo, A1 = A2.

 


Veja mais:

A Área da Coroa Circular
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - A Proposição I-47

6 comentários:

  1. Esta relação é fascinante, gostei de saber disso.

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  2. Olá Diego,

    Realemnte é muito interessante. Encontrei um problema num livro de ensino médio e então fiquei olhando aquilo e pensei se eu colocasse um plano tangente na esfera inscrita, conseguiria alguma relação. Foi bem interessante o resultado. Lembra até um pouco o princípio de Cavalieri.

    Um abraço!

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  3. Muito interessante, concordo com vocês. Tava mesmo pesquisando sobre isso.

    Bjinhos,

    Marceli
    http://dicadelivro.com.br/

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  4. Olá Marceli,
    Que bom lhe foi útil.
    Um abraço.

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  5. Seria uma variação do princípio de Cavalieri? Será que alguma relação volumétrica pode ser extraída deste problema?... Realmente muito interessante...

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  6. É verdade amigo, realmente pode ter a ver. Já sabemos que o Princípio de Cavalieri não serve apenas para medir volumes. Veja:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html
    Mas de qualquer forma, vou pensar em alguma relação envolvendo volumes a partir deste aqui.
    Obrigado pela observação.

    Abraços e volte sempre.

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