04/06/2011

Matrizes de rotação no R2

As transformações geométricas no plano são muito utilizadas em computação gráfica para a construção de figuras e produção de imagens. As transformações básicas são: translação, rotação e escala.


matrizes-de-rotacao-no-r2


Vamos representar um ponto genérico $P(x, y)$ de uma figura pela matriz coluna:

$$
P = \begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
$$
Um ponto correspondente a $P$ seria $P'(x',y')$, obtido pela transformação, por:
$$
P' = \begin{bmatrix}
x' \\ y'
\end{bmatrix}
$$
Para cada transformação, vamos obter uma relação entre $P$ e $P'$ por meio de uma matriz de transformação chamada de matriz $M$.

 

Translação

A translação é uma transformação que desloca uma figura sem alterar sua forma e suas dimensões. Esse deslocamento pode ser vertical, horizontal ou seguindo outra orientação qualquer.


Seja um triângulo $ABC$ no qual é transformado em outro triângulo $A'B'C'$ por uma translação horizontal:

 

matrizes-de-rotacao-no-r2-translacao


Veja que neste exemplo acima, o triângulo foi transformado horizontalmente, deslocando a abscissa de cada um de seus pontos em quatro unidades para a direita. Desta forma, a ordenada não sofreu nenhuma alteração.

 

Temos que:
$$
\binom{x}{y} = \binom{x}{y} + \binom{4}{0}
$$
Isto é:
$$
P' = P + M
$$
Sendo $M$ a matriz de transformação:
$$
M' = \binom{4}{0}
$$
Se a translação fosse vertical, com deslocamento de quatro unidades para cima, a matriz transformação seria:
$$
M' = \binom{0}{4}
$$

 

Rotação

Vamos considerar unicamente a rotação de um ponto $P(x, y)$ em torno da origem $(0, 0)$, sob um ângulo de medida $\theta$ dado em graus, sendo $\theta > 0$ e ainda tomando o sentido anti-horário.

 

matrizes-de-rotacao-no-r2-rotacao

Analisando a figura acima, vemos que o ponto $P$ se deslocou numa rotação em sentido anti-horário até um ponto correspondente $P'$. Veja que para cada ponto $P_n$ teremos uma abscissa e uma ordenada diferente.

 

Analisando o triângulo $OPQ$, o ponto $P(x, y)$ tem suas coordenadas expressas por:
$$
x = r \cdot \cos(\alpha) \Longrightarrow \cos(\alpha) = \frac{x}{r}\tag{1}
$$
$$
y = r \cdot \text{sen}(\alpha) \Longrightarrow \text{sen}(\alpha) = \frac{y}{r} \tag{2}
$$
E pelo teorema pitagórico, temos que a medida do raio $r$ é dada por:
$$
r = \sqrt{x^2+y^2}
$$
Se rotacionarmos $P$ de um ângulo igual a $\theta$, em graus, ele se transforma num ponto $P'$. Observando o triângulo $OP'Q'$, temos que:
$$
\cos(\alpha + \theta) = \frac{x'}{r} \Longrightarrow x' = r \cdot \cos(\alpha+\theta) \tag{3}
$$
Já sabemos que a adição e subtração de arcos nos leva a:
$$
\cos(\alpha + \theta) = \cos(\alpha)\cos(\theta) - \text{sen}(\alpha)\text{sen}(\theta) \tag{4}
$$
e
$$
\text{sen}(\alpha + \theta) = \text{sen}(\alpha)\cos(\theta) + \text{sen}(\theta)\cos(\alpha) \tag{5}
$$
Substituindo $(4)$ em $(3)$, obtemos:
$$
x' = r \left( \cos(\alpha)\cos(\theta) - \text{sen}(\alpha)\text{sen}(\theta) \right) \tag{6}
$$
Agora, podemos substituir as relações $(1)$ e $(2)$ na relação $(6)$:
$$
x' = r \left( \frac{x}{r} \cdot \cos(\theta) - \frac{y}{r} \cdot \text{sen}(\theta) \right)
$$
O que nos leva a:
$$
x' = x\ \cos(\theta) - y\ \text{sen}(\theta) \tag{7}
$$
De modo análogo, procedemos para $y'$:
$$
\text{sen} (\alpha + \theta) = \frac{y'}{r} \Longrightarrow y' = r \cdot \text{sen}(\alpha + \theta) \tag{8}
$$
Substituindo $(5)$ em $(8)$, obtemos:
$$
y' = r \cdot (\text{sen}(\alpha)\cos(\theta) + \text{sen}(\theta)\cos(\alpha)) \tag{9}
$$
Substituindo, agora, as relações $(1)$ e $(2)$ em $(9)$, obtemos:
$$
y' = r \left( \frac{y}{r}\ \cdot \cos(\theta) + \frac{x}{r} \cdot \text{sen}(\theta) \right)
$$
O que nos leva a:
$$
y' = y\ \cos(\theta) + x\ \text{sen}(\theta) \tag{10}
$$
Podemos escrever de forma matricial:
$$
\begin{bmatrix}
x'\\y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\text{sen}(\theta) \\
\text{sen}(\theta) & \ \ \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}
$$
Ou seja:
$$
P' = M \cdot P
$$
Onde a matriz $M$ de transformação é dada por:
$$
M =
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\text{sen}(\theta) \\
\text{sen}(\theta) & \ \ \cos(\theta)
\end{bmatrix}
$$

 

Exemplo:

Observe na figura abaixo onde o ponto $P(x, y)$ é rotacionado $180^{\circ}$ em torno da origem no sentido anti-horário. Vamos determinar as novas coordenadas de $P$:

 

matrizes-de-rotacao-no-r2-exemplo

Como $\theta = 180^{\circ}$, temos que:

$$
M =
\begin{bmatrix}
\cos(180) & -\text{sen}(180) \\
\text{sen}(180) & \ \ \cos(180)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 & \ \ 0\\
\ \ 0 & -1
\end{bmatrix}
$$
Desta forma:
$$
P' = M \cdot P \\
\ \\
\begin{bmatrix}
x' \\ y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 & \ \ 0\\
\ \ 0 & -1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
\\
\ \\
\begin{cases}
x' & = & -x\\
y' & = & -y
\end{cases}
$$

 

Referências:

  • Matemática: Ciência e Aplicações - Iezzi, Dolce, et al

 

Links para este artigo:

 

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Matrizes de rotação no R2. Publicado por Kleber Kilhian em 04/06/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

25 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Por mim, você trabalhando assim, terá sempre... aumento de salário!
    Amigo... se o Maurits Cornelius Escher tivesse nascido nessa época, certamente escolheria este post para instruir-se matemática-mente para poder produzir aquelas obras gráficas que tanto admiramos!
    Parabéns, grande mestre!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Olá Valdir,
    Exagerando nos comentários, como sempre!
    Acho que ficou simples a abordagem e no R2 é mais fácil de entender. Matrizes de rotação no R3 tem uma aplicaçõe interessante na astronomia: são utilziadas para determirar as fórmulas de correção da precessão da Terra.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  3. Olá, Kleber!

    Parabéns pelo post, as representações matriciais com interpretação gráfica são a base do design atual.

    Utilizando complexos também dá para chegar a esse resultado (multiplique r.cis(theta) por cis(alpha), sendo alpha o ângulo de rotação).

    Abraços!

    ResponderExcluir
  4. Olá, eu sou uma crítica virtual e minha principal função corresponde a análise de websites e páginas educacionais e informativas.Correspondente às minhas funções, eu achei este site com conteúdo aprimorado, muito bom aos alunos e vestibulandos, contudo ele não está em uma linguagem professor-aluno, mas sim em uma interação professor-professor. Aliando o seu conhecimento, a sua dedicação e ao seu desempenho, o seu blog sem dúvida seria o mais exemplar possível, obrigada pela disponibilidade dos comentários e entre em contato assim que visualizar meu comentário, eu disponibilizo aos meus contatos que tenham acesso à dicas e video-aulas que voces podem colocar em seus blogs. Entre em contato através do email: arianeflor33@hotmail.com
    ATENCIOSAMENTE: Ariane Fonseca,crítica e internauta governamental

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, eu sou uma crítica virtual e minha principal função corresponde a análise de websites e páginas educacionais e informativas.Correspondente às minhas funções, eu achei este site com conteúdo aprimorado, muito bom aos alunos e vestibulandos, contudo ele não está em uma linguagem professor-aluno, mas sim em uma interação professor-professor. Aliando o seu conhecimento, a sua dedicação e ao seu desempenho, o seu blog sem dúvida seria o mais exemplar possível, obrigada pela disponibilidade dos comentários e entre em contato assim que visualizar meu comentário, eu disponibilizo aos meus contatos que tenham acesso à dicas e video-aulas que voces podem colocar em seus blogs. Entre em contato através do email: arianeflor33@hotmail.com
      ATENCIOSAMENTE: Ariane Fonseca,crítica e internauta governamental

      Excluir
  5. Oihh Gênio Kleber!!!!! Ficou perfeita a tua explicação na rotação de um Vetor(Ponto) pela matriz M e eu entendi a dedução , Agora aumentei meus conhecimentos sobre a Teoria dos grupos .
    Você tem que ficar na história da matemática como um dos melhores algebristas de todos os tempos!!
    Valeu muito a tua exposição, ela foi clara !!
    Bom final de semana!!

    ResponderExcluir
  6. Oi Hamilton, obrigado pelo comentário. Que bom que te ajudou. Mas acho que exagerou um pouquinho. Procuro divulgar a matemática neste blog e estou longe de ser um grande algebrista.

    Um abraço e volte sempre!

    ResponderExcluir
  7. Kleber!! como faço para calcular um numero algebrico(raiz de uma equação polinomial com grau > 4 ? É possível tomar um polinômio de grau 5 ou 6 sem que de início conheça uma sequer raiz e calcular todas? estes seria, os numeros algébricos?

    ResponderExcluir
  8. Hamiltom, como vai?

    Equação polinomial, ou equação algébrica, é toda equação $p(x)=0$, onde $p(x)$ é um polinômio:
    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_0=0$

    Já números algébricos são as soluções das equações algébricas ou polinomiais.

    Abel provou que não existe uma fórmula fechada que calcule raízes de equações polinomiais de grau > 4. Para estes casos, você pode usar tentativa e erro para determinar uma das raízes, mas pode não dar certo. Nestes casos, usa-se métodos iterativos para aproximação de raízes, como o Método de Newton (que pode ser visto neste blog), Método da Bissecção, Método das secantes,... Se as raízes forem exatas, então o Método trará a raíz exata, mas se for decimal, você determinará a precisão que queira para a solução: $10^-9$, por exemplo. No método de Newton, acho que disponibilizei uma planilha do excel que mostra como fazer.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  9. Obrigado Kleber . neste caso é triste saber que não ha fórmulas resolutivas mas a tua explicação foi ótima e posso trabalhar com intervalos onde a raiz , pelo menos uma está presente!!!!

    ResponderExcluir
  10. Kleber!! só gostaria que você me explicasse ( Uma equação linear é aquela que só tem grau 1 e 0 ( 2X +3 = 0 ) = 2X^1 + 3.X^0 = 0 . e uma equação não linear é quando possui pelo menos um termo de grau diferente de 0 e 1 como: x^2 -3x =2 = 0 ( graus 2 1 e 0 ( outro 2x - 1/x +3 = 4 + grau 1, grau 0 e grau -1 tambem é não- linear)
    é isso mesmo Professor Kleber!! eu defini certo, é esta a diferença entre linear e nao linear?

    ResponderExcluir
  11. Hamilton, está certo! Equação linear é aquela em que a variável possui grau 1. Uma equação linear não pode conter potências nem produtos das variáveis envolvidas.

    Para equações de grau maior ou igual a 2 são ditas equações não lineares, como por exemplo, $ax^2+bx+c=0$ é uma equação quadrática; já $ax^3+bx^2+cx+d=0$ é uma cúbica, e assim por diante.

    Seu segundo exemplo, se entendi direito, seria:
    $2x-1/x+3=4$
    esta não é linear, pois ao fatorarmos, encontrando o mínimo múltiplo comum, obtemos um $x^2$ no primeiro termo. Veja o gráfico como fica:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x-1%2Fx%2B3%3D4

    Rapaz, tem uma coleção de livros que é excelente, me ajudou muito na faculdade: Fundamentos de Matemática Elementar. Tem por aí para download, mas se puder compre a coleção, em sebo vende. Tem na Estante Virtual.

    Espero que tenha te ajudado. Um abraço!

    ResponderExcluir
  12. Obrigado Prof Kleber!!!!! isso me elucidou o problema das lineares e nõ-lineares

    ResponderExcluir
  13. Olá Hamilton, li todas suas mensagens, mas não deletei nenhuma delas. O que aparece para mim foi que você quem deletou, pois mostra que "este comentário foi removido pelo autor".

    Que bom que suas dúvidas foram sanadas sobre equações.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  14. Obrigado prof Kleber!!
    Eu gostaria de entender o que são os fractais e como faz^- los no grá fico, como são definidos , pois ao ver um artigo no Google sobre isto, fiquei me sentindo um incompetente!!
    Por favor me ajude se puder desde ja eu te agradeço abraços

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Hamilton, não sei muito sobre fractais, mas creio que seja melhor criar imagens com softwares. Veja este artigo muito bom sobre fractais:

      http://pt.scribd.com/doc/20939623/Fractais-Conceitos-Basicos-Representacoes-Graficas-e-Aplicacoes-ao-Ensino-nao-Universitario

      Espero que te ajude. Abraços.

      Excluir
  15. Kleber!! Como aplicar o teorema do valor médio para funções? Me de um exemplo se eu não estiver pedindo muito !!kkkkkk (( F(b) - f(a))) / ( b - a) onde temos uma função contínua e diferenciável num intervalo [ a b ] Poderia me ajudar com um exemplo?
    Desde ja eu agradeço a tua atençõ!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Hamilton. Bem, tem várias explicações pela internet, eu ainda não fiz nenhuma publicação sobre o TVM. Veja este link tem uma explicação bem simples com exemplos numéricos:

      http://www.uapi.edu.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/uni05_teorema.html

      Um abraço!

      Excluir
    2. Obrigado Kleber !! valeu muito a tua atenção e a tua ajuda apresentando esse link!!!

      Excluir
    3. Kleber!! Por que dizem que a matemática não é uma ciência exata?? exemplo 2 + 3 = 5 e assim sempre foi e sempre será ! Gostaria de entender melhor sobre esta questão , pois em minha opinião mesmo os números irracionais , complexos e calculo infinitesimal são exatos!
      Se puder me ajudar a entender a não exatidão da matemática se não for pedir demais abraços.......

      Excluir
  16. Olá Kleber,

    brilhante postagem e muito bem explicada. Está de parabéns.

    Não cheguei a procurar ainda, mas você já fez alguma postagem sobre transformação de escala? Fiquei bastante curioso.

    Obrigado pela atenção. Abraços.

    ResponderExcluir
  17. Olá, caro colega matemático adoraria ver aqui em seu site a dedução da forma equivalente para o R^3.

    grato,

    GABRIEL MOREIRA - estudante universitário de licenciatura em matemática

    ResponderExcluir
  18. No lugar de x′=r( \frac{x}{y} \times cos(θ)− \frac{y}{r} \times sen(θ)) deveria ser
    x′=r( \frac{x}{r} \times cos(θ)− \frac{y}{r} \times sen(θ))

    Chacon Alex

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado, Chacon, pela leitura atenta. Já está corrigido. Um abraço.

      Excluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog