10/06/2011

Matrizes e o Controle de Tráfego

Neste post, vamos observar um exemplo de como as matrizes podem servir de modelos para descrever situações de nosso dia a dia.

A figura abaixo representa um cruzamento de duas ruas de mão dupla, cujo fluxo de automóveis nos pontos A, B e C é definido por três conjuntos de semáforos.

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As matrizes M1, M2 e M3 indicam o tempo, em minutos, durante o qual os semáforos se mantêm simultaneamente abertos segundo a sequência dada:

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Inicialmente, durante 1 minuto, ficam verdes os semáforos de A para B, de A para C e de B para A.

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Em seguida, durante meio minuto, ficam verdes os semáforos de B para A, de B para C e de C para B.

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E, finalmente, durante meio minuto, ficam verdes os semáforos de C para A, de C para B e de A para C.

A matriz M é obtida somando-se M1, M2 e M3 termo a termo e mostra o tempo que cada semáforo fica aberto em cada sentido no período de 2 minutos.

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Podemos observar, por exemplo, que o semáforo de B para A fica aberto durante 1 minuto e meio a cada período de 2 minutos.

Se multiplicarmos todos os termos da matriz M por 30, já que o período é de 2 minutos, obteremos o tempo, em minutos, que cada semáforo fica aberto durante 1 hora.

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Neste exemplo hipotético, sabe-se que nestas ruas é possível passar até 20 carros por minuto cada vez que os semáforos abrem. Assim, se multiplicarmos por 20 todos os termos da matriz N, teremos a quantidade máxima de carros que podem passar por este cruzamento no período de 1 hora.

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Se o número de carros em alguma das direções for maior que a quantidade máxima possível, teremos um engarrafamento, que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de abertura dos semáforos, isto é, modificando-se os valores das matrizes M1, M2 e M3.

Referências

[1] Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz


Veja mais:

Matrizes de Rotação no R2
Cayley e a Teoria das Matrizes
O Método de Castilho para Resolução de Sistemas Lineares

7 comentários:

  1. Isso é realmente incrível, as matrizes são ferramentas poderosas nessas situações que envolvem sistemas dinâmicos, o artigo ficou ótimo.

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  2. Olá, Kleber!
    Eu já li há muito tempo, quando tive conhecimento da existência dos quadrados mágicos que, segundo parece, seria uma invenção chinesa, que disseram... suponho que foi ou foram os seus criadores, o fato é, teriam dito: "quando o homem descobrisse o real poder dos quadrados mágicos... os tempos da fortuna e da felicidade cobririam o mundo"! Para mim, um quadrado mágico é uma matriz e a matriz que não é um quadrado mágico (como essa aí, embora seja uma matriz quadrada) nem por isso deixa de ter uma utilidade para resolver e bem, os problemas das nossas atividades e eis aí... a felicidade. E a fortuna...? Eu perguntaria ao Bill Gattes se o Excel lhe proporcionou alguma! Voce concorda?
    Muito boa, essa sua postagem sobre o emprego de matrizes e... meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  3. Olá pessoal.

    Uma matriz milionária para o Sr. Gates!

    Realmente as matrizes são muito dinâmicas e por isso são utilizadas em diversos ramos das ciências. Como deve ser o controle dos semáforos, por exemplo, na cidade de são paulo?

    Vi uma palestra de um matemático que trabalha no metrô, que para incluirem uma nova linha, é feito um trabalho intenso de pesquisa. É discutido a origem e destino, horários de picos e tudo o mais. Isso gerava uma matriz imensa, com n linhas e colunas. Foi uma pena não terem fornecido nenhum material escrito.

    Um abraço amigos!

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  4. muito legal nem sabia que as matrizes seria tão importante ainda no controle de transito (:

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  5. Olá, Kleber!

    Que ótima aplicação heim!

    E ainda tem gente que dirá que é só um exemplo particular. E fala um monte de asneira.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Olá Edigley!

      Realmente é fascinante! Este é um exemplo simples, sem considerar sinal para pedestres e outras conversões.

      O problema desse pessoal que só sabe falar mal é a incapacidade de pensar.

      Agradeço seu comentário.

      Um abraço!

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