20/08/2011

Arte Cinética – A Dança das Esferas

Neste vídeo produzido pela Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations, mostra 15 pêndulos independentes, de comprimentos diferentes que produz um efeito visual impressionante: ondas viajantes, ondas estacionárias e movimentos aleatórios. Podemos chamá-la de arte cinética.

O período de um ciclo completo é de 60 segundos. O comprimento do pêndulo maior foi ajustado de modo a executar 51 oscilações por minuto. Conforme o comprimento dos pêndulos vão diminuindo, são adicionados 1 oscilação, de modo que o de comprimento menor sofre 65 oscilações por minuto. Quando todos os 15 pêndulos são iniciados simultaneamente, rapidamente perdem a sincronia devido aos seus diferentes períodos de oscilação. No entanto, após 60 segundos todos os pêndulos voltam a sincronizar, iniciando novamente a dança das esferas.



Veja mais:

O Pêndulo de Foucault
O Movimento de Precessão da Terra
Movimento Harmônico Simples no blog Fatos Matemáticos

10 comentários:

  1. Muito interessante. Uma outra observação que eles fazem na página da Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations, é para que notemos o que acontece após 30 segundos de oscilações, em que uma metade dos pêndulos estará na posição de amplitude máxima, e a outra metade em posição de amplitude mínima, em outras palavras, uma "turminha' de um lado e a outra exatamente do lado oposto.
    Fiquei pensando. Isto deve dar certo também, se fizermos para qualquer quantidade de pêndulos, basta que adicionemos uma oscilação a mais para cada pêndulo mais curto? Mas então por que eles começaram o primeiro com período de 51 oscilações por minuto, e não 50, por exemplo? Teria algum motivo especial? será que daria diferença, se começásssemos com outro valor?

    Imagino que a maior difculdade foi definir exatamente o comprimento dos fios. Uma fórmula que daria estas medidas é:

    T = 2.pi(L/g)^1/2 . (Desculpa, não sei como escrever aqui o símbolo de pi, e nem a raiz quadrada de L dividido por g, precisava aprender este tal de LATEX).

    onde:

    T = período do pêndulo
    L = comprimento do pêndulo.
    g = aceleração da gravidade.

    No caso, o período do primeiro pêndulo, seria de 60/51 s, a do seguinte, 60/52 s, e assim por diante.

    Também precisaríamos usar o valor correto da aceleração da gravidade no local, além de um valor de pi com boa aproximação. Qualquer diferencinha entre uma destas variáveis, talvez não provocasse o efeito visual desejado. Daí a arte deste experimento: O dimensionamento correto dos comprimentos. Coisa de muita paciência mesmo, e acho mesmo que isto pode ter sido feito na tentativa, tipo, aumenta o comprimento e cronometra o período, até dar certo. Aí nem precisaria da fórmula que citei.

    Muito legal mesmo ver este video.

    Que achado!

    Abraço

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  2. Olá Jairo,

    Acho que este post passou de ser uma simples curiosidade para um estudo um pouco mais elaborado, graças às suas observações. Tomando sua idéia de determinar os comprimentos dos pêndulos, procurei o valor da aceleração da gravidade aqui em São Paulo, encontrando o valor de $g=9,7858486$ e para $\pi = 3,14159265$ . Utilizando a fórmula que passou para o comprimento do pêndulo, chegamos a :

    $L=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}$

    Assim, para os períodos $T_N$, encontramos os comprimentos $L_N$:

    T1=51/60=1,176470588
    T2=52/60=1,153846154
    T3=53/60=1,132075472
    T4=54/60=1,111111111
    T5=55/60=1,090909091
    T6=56/60=1,071428571
    T7=57/60=1,052631579
    T8=58/60=1,034482759
    T9=59/60=1,016949453
    T10=60/60=1
    T11=61/60=0,983606557
    T12=62/60=0,967741935
    T13=63/60=0,952380952
    T14=64/60=0,9375
    T15=65/60=0,923076923

    Aplicando na fórmula dada acima, encontramos os respectivos comprimentos dos pêndulos, em metros:

    L1=0,343084
    L2=0,330016
    L3=0,317680
    L4=0,306023
    L5=0,294996
    L6=0,284554
    L7=0,274658
    L8=0,265268
    L9=0,256352
    L10=0,247878
    L11=0,239818
    L12=0,232144
    L13=0,224833
    L14=0,217862
    L15=0,211210

    Resta saber se conseguimos reproduzir com tamanha precisão os comprimentos dos pêndulos.

    Um abraço!

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  3. É isso mesmo, Kleber.
    Que saudades da minha calculadora programável TEXAS TI-51-III, lá pelos idos dos anos 80, quando ainda estava na UNICAMP, cursando engenharia ... Com ela daria pra montar rapidinho uma tabela com os valores de L. Hoje em dia não sei como faria usando o computador pessoal. Vou procurar saber como programar formulinhas e colocar valores para as variáveis. É que nunca mais precisei disso depois que resolvi dar aulas.
    Neste caso que estamos estudando, a única variável seria o período T, já que g/(4.pi^2) é constante.

    Não conferi todos, mas o primeiro valor de L "bateu" com meus cálculos. Vindo de você, certamente que os outros valores também estão corretos.

    Percebe como deve ter sido difícil para eles, né?

    Abraço

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  4. Olá, Kleber!

    A Dança das Esferas! Sim senhor, 1ª dança, por sinal, espetacular... é esse intercâmbio de comentários bumerangues, entre você e o Jairo. Que maravilha! E a 2ª dança.. é essas da postagem. Muito interessante, principalmente, depois da complementação da mesma, através da troca de comentários bumerangues entre vocês!

    Eu fiquei divagando por aqui, sobre uma possível aplicação prática disso, de forma natural por exemplo: o nosso sistema solar! Oh xente! Vários astros de formas esféricas e dançando no espaço! Hunrummmmmmmmmmmm! Comecei a procurar algo que relacionasse essa "dança" com a dança planetária!
    Você e o Jairo, será que já ouviram falar na... Lei de Titius-Bode?
    Pois é!Nessa horas, o que a gente faz? Google na veia! Encontrei na Rede, informações de que: essa é uma lei empírica que pretende dar explicação sobre o posicionamento de cada planeta, isto é: o afastamento deles, em relação ao Sol. Essa lei, teria sido enunciada por Bode (Johann Elert) em 1778, mas anteriormente fora proposta porWolf(Johann Christian) em 17741 e por Titus (Jhoann Daniel Tietz) em 1772.

    Aqui na experiência, temos as esferas presas por fios e estes são, por sua vez, fixados no suporte.
    Tá, e aonde localizar esses componentes em pleno espaço sideral? Que tal? o Sol e a gravitação universal? O que mais? A história das super cordas? Oscilações harmônicas planetárias?

    O que vocês acham disso?
    Opções:
    a) Só sei que... nada sei!
    b) Vá perguntar à mulher do Bode!
    c) É um caso, a ser estudado!
    d) Responderei amanhã!
    e) Valdir, vá endoidecer outro... seu doido!

    KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK!!!!!!!!!!

    Um abraço "Prá ôcês dois"!!!!!

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  5. Olá Jairo,
    Montei uma tabela no excel, creio que os valores estão certos. Não deve ser nada fácil montar os pêndulos com tamanha precisão, mas fiquei até com vontade de fazer um modelo. Se arrumar um tempinho vou inicar a montagem.

    Valdir,
    A comparação é interessante, mas ao invés de ter um movimento angular limitado, no caso dos planetas o movimento seria contínuo em torno do sol gerando um helicóide. Teríamos que pensar melhor no princípio de funcionamento.
    Já ouvi falar da Lei de Bode, mas se não me aengano, falha para os planetas mais distantes, como Netuno e Plutão. O Jairo com certeza deve saber.
    Talvez aquele artigo sobre as velocidades da Terra ajude a pensar em algo:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/02/as-velocidades-da-terra.html

    E respondendo a sua pergunta: Diria que é a resposta a), mas como sou curioso, diria que é a alternativa c).

    Abraços!

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  6. Olá Kleber, este é um efeito visual magnifico! Melhor do que isso só se fossem esferas que brilham no escuro e fios invisíveis.

    Abraço

    Pero R.

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  7. Valdir:
    Eu vou ser sincero. Nunca tinha ouvido falar na lei de Titius-Bode. Dei uma "Googlada", e cheguei à Wikipedia. Então entendi porque ela não se tornou tão famosa. É que na verdade foi uma tentativa de chegar a uma sequência numérica, por sinal, meio "forçada", que pudesse representar as distâncias dos planetas ao Sol. Como o Kleber disse, acabou não funcionando para Netuno e Plutão.
    Quanto à troca de comentários "bumerangue" eu acho que a função dos comentários deve ser a de aprofundar o tema de uma postagem, mas eu acho que não é muito fácil vermos isto nos blogs, sem falar quando a gente faz uma comentário, e o dono do blog nem responde pra gente. Eu entendo que deve ser por falta de tempo, sei lá, e não ligo mesmo se a pessoa não responde. É normal. Mas quando noto que o dono do blog nos dá atenção, como é o caso do Kleber, que também gosta de aprofundar os assuntos, e arruma sempre um tempinho e paciência, nós acabamos aprendendo coisas juntos, e isso é muito legal.

    Só demorei para manda o bumerangue de volta porque esta semana foi mesmo corrida. Aulas todos os dias, das 7 às 12;20, aulas particulares à tarde, e nesta semana fiz provas para todas as minhas 15 classes(40 alunos cada), já corrigi todas as provas e publiquei as notas no blog para os alunos. Só sossseguei agora, Sábado, pra internetar e procurar coisas interessantes. Assim me atualizo também

    Abraços.

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  8. Olá, Amigos!

    @ Kleber e @ Jairo. Obrigado à vocês, pela atenção e a presteza dos esclarecimentos sobre as minhas divagações!

    Quer dizer que, o Bode teve que engolir o capim do burro, pra aprender a deixar de manipular fraudulentamente os dados disponíveis para aprovar a sua teoria, não é? Bem feito, pra ele!

    Jairo, não precisa se desculpar pela demora em dar respostas às perguntas nos comentários. Aliás, você é um "Guilherme Tell" do nosso cotidiano, pois dar conta de 600 provas para serem avaliadas, não é pra qualquer um!

    Tudo de bom para vocês e as vossas famĺias e até breve!

    Um abraço!!!!!

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  9. voou tentar fazerr pro meu trabalho

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  10. Alguem saberia me informar qual a distância de uma esfera na outra ? Obg

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