12/10/2011

A Matemática da Câmera Fotográfica

As primeiras câmeras fotográficas têm origem no século XVI, nas chamadas câmeras escuras. Mas apenas em 1745 foi acoplada a elas uma lente, melhorando muito a qualidade das imagens formadas. Passaram-se 100 anos até a produção das primeiras imagens gravadas em papel: as fotografias.

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A figura acima mostra a Câmera Mamute, criada em 1900 pelo fotógrafo George Raymond Lawrence, a pedido da Chicago & Alton Railway, para fotografar aquele que era considerado o trem mais lindo do mundo:

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[Clique na imagem para ampliar]

Ao longo do século XX, a tecnologia das câmeras fotográficas foi sendo aperfeiçoada e popularizada, tornando-se um dispositivo óptico bastante comum. Analógicas ou digitais, pequenas ou grandes, profissionais ou acopladas a celulares, as máquinas fotográficas fazem parte do dia a dia das pessoas para registrar momentos de nossas vidas.

Como dispositivo óptico, basicamente a máquina fotográfica é constituída de um compartimento hermeticamente fechada (uma caixa escura na superfície interna); de uma lente (objetiva), que será atravessada pelos raios de luz provenientes do objeto a ser fotografado; de uma película fotográfica sensível à luz (nas máquinas analógicas), ou de um chip (nas máquinas digitais); e de um diafragma combinado a um obturador, dispositivo mecânico que abre e fecha o orifício que contém a lente, permitindo a exposição à luz por tempo controlado.

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A imagem no filme fotográfico é sempre invertida e reduzida. A relação entre o tamanho ho do objeto e hi da imagem é chamada de ampliação transversal da imagem (A) e pode ser determinada matematicamente analisando-se a figura abaixo, onde estão destacados apenas a lente, o objeto fotografado, a imagem e os raios luminosos (1, 2 e 3), para representar o feixe de luz que atravessa a lente para a formação da imagem.

image Observando os triângulos OPC e QIC, podemos determinar os valores das tangentes de θ1:

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Igualando as duas equações, obtemos:

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Ou seja, a transversal A = hi / ho é igual à razão entre as distâncias do objeto à lente e da lente ao filme fotográfico ou chip.

Uma outra relação interessante é aquela conhecida como equação das lentes. Essa equação é importante para a determinação da nitidez da imagem, pois ela indica o foco.

Na figura anterior, analisando os triângulos ACF e QIF, podemos determinar as tangentes do ângulo θ2:

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Igualando as duas equações, obtemos:

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Substituindo a relação (1) em (2), obtemos:

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Dividindo toda a equação por q, obtemos:

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Que é a equação dos focos conjugados, análogo aos espelhos esféricos, aplicada para determinar a abscissa do objeto ou da imagem, bem como a distância focal das lentes.

Essas equações esclarecem que a nitidez da foto depende da distância do objeto e também da posição do filme que será impressa a imagem em relação à lente. À medida que um objeto se aproxima da máquina fotográfica, diminuindo a distância (p), a distância entre a lente e a imagem (q) aumenta, ou seja, a lente se afasta da película fotográfica ou chip. Para objetos distantes da câmera, a lente estará posicionada próxima do filme, diminuindo a distância (q), enquanto para objetos mais próximos, a lente ficará mais afastada do filme fotográfico ou chip, aumentando a distância (q). Assim, a distância focal é que determina fatores como a profundidade e o ângulo de visão da lente (objetiva).

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Na imagem acima, o autor da foto teve como objetivo destacar o girassol. Vejam que o fundo fica totalmente desfocado, toda a atenção fica voltada para a flor.

Nas máquinas fotográficas sem foco automático, a lente focaliza corretamente apenas os objetos que estiverem exatamente na distância (p), predeterminada pela distância focal da lente. Os demais elementos da fotografia não ficam nítidos. Já nas máquinas fotográficas com foco automático, há dois sistemas de funcionamento: nas câmeras tipo reflex, ao apertar levemente o botão disparador, um pequeno feixe de luz atravessa a lente e atinge um sensor que envia as informações para um microprocessador dentro da máquina, calculando a distância e ajustando o foco automaticamente por meio de um pequeno motor que regula a lente na posição adequada. O segundo sistema é usado em máquinas fotográficas compactas e automáticas: na parte frontal do equipamento, há um dispositivo que emite raios de luz infravermelhos, incidindo sobre o objeto e retornam (refletem) para um sensor localizado logo abaixo do emissor infravermelho. Com base nos reflexos, a máquina calcula a distância do objeto e ajusta o foco.

Referências:

[1] Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz
[2] Física V2 – Termologia, Óptica e Ondulatória – Paraná
[3] http://obviousmag.org/archives/2010/01/camera_mamute.html


Veja mais:

Prismas Ópticos
O Índice NDVI
Como Obter uma Medida Confiável

6 comentários:

  1. É incrível como, através de semelhança de triângulos podemos encontrar a equação dos focos conjugados, realmente a matemática está presente em todos os âmbitos de nossas vidas.
    Adorei esta postagem!

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    Respostas
    1. é na realidade eu nunca ia passar a fazer um trabalho de matematica misturado com fotografia. mas agora eu vejo que juntando tudo da para saber o calculo da foto a geometria e etc......obrigada por mim ouvi ass:Patty

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  2. Excelente post com uma introdução histórica, o uso da matemática para deduzir a equação dos focos conjugados e a excelente foto do girassol.
    Parabéns por mais esta contribuição de forma clara e concisa. Abraços!

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  3. Olá, Kleber!

    Com essa sua postagem, eu fiquei acreditando na história de um primo meu que era caçador e que contou que uma vez , indo caçar no Amazonas com uns colegas, mataram uma cobra tão grande que só a fotografia dela pesou 30 kg! E eu achava que era mentira dele, mas, vendo a foto dessa câmera aqui... é só pode ter sido com ela que fotografaram a cobra que devia ser, presumo, maior do que esse trem! Coitado de meu primo, chamei-o de mentiroso, ficou chateado..., agora é tarde! Não mentia como gente não! KKKKKKKKKKKKKKK!

    O post ficou historicamente e matematicamente fora de série! E pra ver, o pessoal fica disparando as suas máquinas fotográficas por aí adoidado e nem desconfiam que, para a sua construção e funcionamento, é preciso de cálculos de precisão e conhecimento trigonométrico de montão! É bom que saibam!

    Um abraço!!!!!

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  4. Olá Kleber.
    Achei muito legal esta imagem da câmera mamute. Fiquei interessado em conhecer um pouco melhor a história dela e a do fotógrafo Lawrence. Infelizmente percebi que a maioria dos blogs e sites que tratam do assunto apenas replicam textos copiados da Wikipédia (o que nem sei se é legal, porque não dão o crédito devido, e o que é pior, faz com que a gente leia sempre a mesma coisa) mas achei um que mostra a história com um pouco mais de detalhes.(infelizmente em inglês). É este:
    http://robroy.dyndns.info/lawrence/mammoth.html
    Na verdade, o alto custo da câmera, correspondente ao de uma casa da época, fez parte de uma estratégia de marketing, pois a concorrência entre as companhias de trens nos EUA era grande. Acredito, pelo que li, que eles tiveram um bom retorno. A autenticidade da foto mostrando o comprimento total do trem foi posta em questão, pois não havia nada parecido até então. Ela tinha 8 metros de largura. Acredito que hoje em dia, efeito parecido, e bem mais barato, seria obtido através de técnicas de ampliação. Não sei.
    A fórmula que relaciona a distância focal (f), a distância objeto-lente (p), e a distância imagem-lente (q), que também é representada mais comumente por (p’), provavelmente foi obtida primeiramente por Gauss. Pelo menos foi ele quem levou a fama. Tanto é que ela é citada nos livros de Física do Ensino Médio como Equação de Gauss (*). Aqui em alguns cursinhos de Piracicaba, os professores usam uma frase mnemônica para fazer com que os alunos decorem esta fórmula. Eu conheci quando dava aula particular para um aluno, e ele me falou:
    É assim: “Uma fimose (f) é igual a um p.... (p) mais uma pelinha (p’)”
    Entendeu? Sim, esses são os cursinhos e seus métodos. Infelizmente, a maioria dos alunos não saberia demonstrar a fórmula, o que você faz aqui com o costumeiro brilhantismo de sempre.
    Gostei muito de aprender como funciona o ajuste de foco automático, através do infravermelho. Muito legal mesmo este post. Bom, eu sou suspeito pra falar porque adoro a parte de Óptica Geométrica. De ensinar e de aprender.
    Parabéns
    (*) ( O grande matemático e astrônomo Karl Friedrich Gauss, se puder ver este post de onde está, deve estar bravo por você não ter dado o crédito a ele).

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  5. Agradeço os comentários.

    #Diego
    Realemnte a trigonometria é algo feonomenal. Com ela podemos resolver inúmeros problemas e este em questão fica bem claroa sua aplicação. isso é para aqueles que dizem não saber onde usar a matemática!

    #Paulo
    Creio que ficou bem simples, mas interessante. Algumas pesquisas que fiz pela internet, levam sempre ao mesmo conteúdo. Parece que um copia do outro... isso é até massante!

    #Valdir
    Realemnte é uma foto de "peso"! Como nosso amigo Jairo disse logo acima, foi tudo uma questão de marketing, mas bem sucedido! Um outro uso da matemática nas câmeras seria a interpolação, para gerar o tal zoom digital, que sabemos que a qualidade se dá pelo zoom óptico; já o digital, parece que são "criados" pixels para dar a impressão de zoom. Esse é um tema que temos que pesquisar, não sei de detalhes, mas deve ser um algoritmo bem legal.

    #Jairo
    Eu sempre me deparo com o mesmo problema: vou pesquisar alguma coisa e tudo que encontro é cópia. No fim a gente não sabe mais quem copiou de quem, pois ninguém faz referência do autor. Isso é uma coisa chata! Há uns 2 ou 3 meses descobri por acaso um blog de um suposto professor que tinha nada mias nada menos que 33 posts meus lá! Sem ao menos mencionar meu nome ou meu blog. Denunciei o blog dele ao Wordpress que o excluiu no mesmo dia! Foi muito bom saber que se preocupam com os direitos autorais.
    Em, no caso deste tema, a verdade é que praticamente tudo que se vê pela rede fala a mesma coisa. Por acaso tinha encontrado um livro de matemática que trazia este tema como uma simples curiosodade. Pesquisei um pouco mais e incrementei alguma coisa. Por não citar o nome de Gauss, acho que terei que me acertar com ele quando encontrá-lo!
    Um outra aplicação interessante da trigonometria e na anamorfose. Vou ver se faço alguma coisa.

    Abraço a todos amigos!

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