15/10/2011

Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

Um importante Teorema da Geometria Plana é o Teorema da Base Média de um Triângulo. Já demonstramos aqui utilizando a Geometria Analítica. Neste post, vamos demonstrar este teorema utilizando as propriedades dos vetores.

Teorema: O Segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

Seja o triângulo definido pelos pontos A, B e C, não colineares. Sejam os pontos M e N os pontos médios relativos aos lados AC e BC, respectivamente.

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Por hipótese, temos que:

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Pela álgebra vetorial temos:

clip_image012

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Assim, podemos substituir as relações (3) e (4) na relação (5):

clip_image016

clip_image018

Substituindo (6) em (7), fica demonstrado que:

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Veja mais:

Teorema da base Média de um Triângulo
Demonstração dos ângulos Notáveis
Pontos Notáveis de um Triângulo
A Mediana de um Triângulo no blog Fatos Matemáticos

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$$a^2+b^2=c^2$$
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