05/11/2011

Logaritmos: Os Sons e a Audição Humana

Uma pessoa com audição normal é capaz de ouvir uma grande faixa de sons de intensidade bem diferentes.

O som pode ser classificado como fraco ou forte quanto a sua intensidade, que é representado por I.

No S.I., a intensidade I é expressa em W/m2 (watts por metro quadrado).

Existe um valor mínimo de intensidade de som, abaixo da qual é impossível ouvir algo. A essa intensidade damos o nome de limiar de audibilidade, que vale em média, 10–12 W/m2. Com base nos valores de intensidade de som, podemos definir o nível de intensidade (β) medindo em decibels (dB):

clip_image002

Onde:

I é a intensidade correspondente ao nível β;

I0 é uma constante que representa o nível de referência tomado como limiar de audição:

clip_image004

Por exemplo, para calcularmos a intensidade correspondente a um nível de 40 dB, fazemos:

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Do mesmo modo, se tivermos a intensidade sonora é possível encontrarmos os respectivos decibels (níveis de intensidade).

Como forma de ilustrar, os metrôs antigos, estima-se que a intensidade sonora seja de 10–2 W/m2. O nível de intensidade é:

clip_image002[4]

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Um outro exemplo é a intensidade da onda correspondente à fala humana, a um metro de distância, é 4 · 10–6 W/m2. A quantidade de decibels é:

clip_image024

clip_image026

Como clip_image028, temos:

clip_image030

clip_image032

De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), sons de até 55 dB são aceitáveis. Vejam abaixo uma tabela com níveis de intensidade de alguns tipos de som:

image

Referências:

[1] Matemática, Ciência e Aplicações V1 – Gelson Iezzi e Osvaldo Dolce

[2] Matemática Ensino Médio V1 – Katia Smole e Maria Ignez Diniz


Veja mais:

A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs
Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
Os Logaritmos Segundo Napier
Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

16 comentários:

  1. Olá, Kleber!

    Muito boa essa postagem e ela me serviu como uma luva, para dialogar com uma pessoa numa conversa sobre o som.
    Muito legal, essa tabala de níveis de ruídos em decibéis. Só discordo de dois deles, pois, 5 decibéis para passarinho? Meu, você conhece a araponga? Arre égua! E o outro nível de ruído, no outro extremo da audição humana, aliás, está ausente nessa tabela, é... reclamação de mulher! E se for de sogra, kkkkkkkkkkk, aí é que a coisa fica... INSUPORTÁVEL!!!!!

    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Valdir!

    Vamos dizer que são valores em média para pássaros, deve ser de filhotes, vai saber!

    Reclamações de mulher podem não ter intensidades sonoras tão altas...mas como são irritantes!

    Abraços amigo!

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  3. Imagina a Sofia hein?!!!bjs...

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  4. NEm fala Carol. Lembra quando ela chorava para dormir lá no berço? Nosso tímpano até vibrava! Devia chegar nuns 115dB!

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  5. Olá caro kleber ! Me surgiu uma questão aqui e acho que procede. Veja na parte onde está 4=log(10^12)I = 10^4=10^12 porque não: 4=12.log10.I e sabendo que log10=1, ficando portanto I=1/3 = 0,3333... ??

    Sds: Alex.Chacon

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  6. Olá Alex, como vai? Espero que bem!

    Veja só: no caso apresentado acima, o logaritmando é o número $(10^{12}\cdot I)$ e não somente $10^{12}$. Então, nãos se deve aplicar a "regra do expoente", neste caso.

    É fácil verificar que, partindo da premissa que: $4=\log10^{12}\cdot I$ é verdadeira, então é só substituir o valor encontrado nas resoluções das duas formas e comparar o resultado, ambas devem ser igual a 4:

    Para $I=10^{-8}$, temos:
    $4=\log10^{12}\cdot I$
    $4=log(10^12\cdot 10^{-8})$
    $4=log10^4$
    $4=4$

    Para $I=1/3$, temos:
    $4=\log10^{12}\cdot I$
    $4=log(10^{12}\cdot1/3)$
    $4 \neq 26,53\cdots$

    Espero ter esclarecido.

    Um abraço.

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  7. Olá kleber ! Fiquei ansioso para ver a solução de minha dúvida porém,..não sei o que houve mas na interpretaçaõ do lateX tá dando erro também no navegador Chrome. no lugar das fórmulas tá aparecendo: [Math Processing Error]

    Alex. Chacon

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  8. Caríssimo prof. Kleber,

    Pra poder visualizar em lAteX utilizei do editor da wikipédia e ajeitei as equações. Veja se foi isso mesmo que você quis transmitir:

    http://img16.imageshack.us/img16/2664/solucionandoduvida.gif

    Agradeço desde já as explicações.
    Abraço.

    Alex. Chacon

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  9. Oi ALex, é isso mesmo. Ficou alguma dúvida?

    Abri aqui em casa e o Latex está beleza.

    Um abraço.

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  10. Kleber,

    De fato, se os argumentos do logaritmo estivessem dentro dos parênteses, se evitaria confusão.
    Dúvida totalmente esclarecida. Novamente, obrigado.

    Abraço.

    (Este site virou hábito de visita sempre que me conecto à internet. Sou mais um dos que parabeniza você pelo trabalho.)

    Alex. Chacon

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  11. Alex, Realmente um parênteses a mais teria evitado tanto transtorno. Vou inseri-lo depois para que futuros visitantes não passem por esta situação.

    Agradeço por se interessar pelo meu trabalho. Infelizmente não consigo fazer publicações diárias, ou mesmo a cada dois dias, por pura falta de tempo. Mas pelo histórico, tenho conseguido fazer de 6 a 10 postagens mensais, com muito esforço. O resultado disso tudo é esta troca com os leitores: apontando uma passagem, dando ideias, elogios. Tudo isso contribui para eu poder continuar e melhorar a cada dia.

    Os blogs deveriam ser assim: servir para os leitores também participarem do que o autor escreveu. Todos ganhamos.

    Mais uma vez obrigado.

    Um abraço.

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  12. Alex, só como curiosidade: eu testei a visualização das fórmulas acima escritas em Latex no firefox, Internet Explorer e no Chrome e nos três navegadores as fórmulas foram renderizadas perfeitamente. No entanto, já havia percebido anteriormente que em cada um deles, a renderização fica diferente, no sentido de ficarem mais definidas ou não. Percebi também que depende do Windows instalado (ou se é 64 bits ou não... não sei). No meu computador que tem o XP as fórmulas não ficam "tão bonitas"; já no que tem o Seven, já ficam muito bonitas.

    Um abraço.

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    Respostas
    1. Faça outro teste: clique sobre qualquer fórmula com o botão direito e selecione a opção:
      Math Settings>>MAth Renderer>>SVG

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  13. Esqueci de dizer que tanto no firefox quanto no chrome ou OPERA as fórmulas do site são renderizadas normalmente. O único problema foi nas fórmulas em resposta visualizadas no OPERA e no Chrome. No firefox deu tudo certo.


    Alex. Chacon

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  14. Quantos db pode tocar em uma caixa de som o dia todo..?

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  15. Tá por fora pra caramba essa coisa de 5db pra passarinho. Tô sofrendo pra caramba com o imbecil do meu vizinho que fica criando aqueles canarinhos em gaiola. Agora são dois ou três cantando, mas só um já faz um barulho bem alto. Cheguei a encomendar um pacote com 30 pares de protetores auriculares pra ver se dá jeito nisso. Já fazem 4 noites que venho acordando por volta das 5h ou 6h por causa disso.

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$$a^2+b^2=c^2$$
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