22/11/2011

Volume do Anel Esférico

O Cálculo infinitesimal tem diversas aplicações no campo da Geometria. Uma delas é a determinação do volume de sólidos de revolução. Neste post, vamos encontrar a fórmula para o volume do anel esférico.

Um Anel esférico é uma esfera com um furo. Mais precisamente, é uma esfera com um furo cilíndrico de modo que os centros da esfera e do cilindro se coincidem.

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Vejam que o anel esférico é uma esfera onde foi subtraído um cilindro e duas calotas esféricas.

Consideremos a figura abaixo onde tem-se um semicírculo de raio R e um retângulo inscrito de comprimento h e altura r.

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Se rotacionarmos o semicírculo em torno do eixo dos x, obteremos um sólido de revolução. Vejam que nosso problema se resume em determinar o volume gerado pela área sombreada.

Sabemos que a equação da circunferência centrada na origem é dada por:

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Desta equação, podemos obter uma outra em função de y:

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Se seccionarmos este sólido perpendicularmente ao eixo dos x obteremos cilindros de alturas infinitesimais. Assim, podemos subdividir estes cilindros em dois casos: o primeiro sendo pertencente à esfera; e o segundo pertencente ao furo (cilindro):

image Assim, temos que o volume do anel esférico é dado por:

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Vejam que através da fórmula dada em (6), conseguimos calcular o volume do anel esférico somente em função da altura h do cilindro (furo).


Veja mais:

Volume da Esfera
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico

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