28 de dez de 2011

O Teorema de Hardy-Weinberg

Existem vários fatores evolutivos responsáveis por alterações nas frequências gênicas da população. Os principais fatores considerados pela teoria sintética da evolução são: mutação, permutação, migrações, seleção natural e deriva genética.

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[Hardy & Weinberg]

Vamos primeiramente aprender a calcular as frequências gênicas e genotípicas das populações e depois analisar uma das maneiras pelas quais ocorre o processo de especiação.

A composição genética de uma população pode ser conhecida calculando-se as frequências de genes e as frequências de genótipos nessa população.

Vamos determinar como exemplo, a frequência gênica e a genotípica de uma população que apresenta as seguintes características:

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A frequência dos alelos A ou a nessa população pode ser calculada assim:

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A frequência do alelo A é:

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O número total de alelos na população para esse lócus é de 24.000, pois são 12.000 indivíduos diplóides, cada um com dois alelos para o lócus em questão:

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Para calcular a frequência de a, podemos proceder da mesma forma ou utilizar a fórmula que estabelece a relação entre os alelos:

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Aplicando os valores na fórmula 1, obtemos:

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Nessa hipotética população, as frequências dos alelos A e a são, portanto, respectivamente iguais a:

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A frequência genotípica nesse caso pode ser calculada do seguinte modo:

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As frequências do genótipos AA, Aa e aa nessa população são, respectivamente:

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Neste exemplo, o número de indivíduos e a distribuição dos genótipos para determinado par de alelos são conhecidas. A partir dessa população, ou de qualquer outra, pode-se estimar a frequência gênica e a genotípica da geração seguinte com base no teorema de Hardy-Weinberg.

Levando em conta a genética das populações, considera-se que uma determinada população está em equilíbrio quando seu estoque gênico (pool) permanece inalterado ao longo das gerações. Por outro lado, uma das populações encontra-se em evolução quando seu pool gênico vai se modificando através das gerações.

A existência ou não de alterações no pool gênico de uma população pode ser constatada por meio de métodos matemáticos que permitem determinar as frequências gênicas que ocorrem nessa população.

Em 1908, Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947), matemático inglês, e Wilhelm Weinberg (1862 – 1937), físico alemão, descobriram, independentemente, O Princípio da Constância da Frequência Gênica e Genotípica para uma população em equilíbrio. O teorema formulado pode ser enunciado assim:

Teorema: Em uma população infinitamente grande, em que os cruzamentos ocorrem ao acaso e sobre a qual não há atuação de fatores evolutivos, as frequências gênicas e genotípicas permanecem constantes ao longo das gerações.

Esse teorema também é conhecido como Equilíbrio de Hardy-Weinberg, somente é válido para populações em equilíbrio quando estas:

1) Abrigarem um número de indivíduos infinitamente grandes. Isso quer dizer que o número de indivíduos da população seja grande o suficiente, onde os eventuais erros de amostragem no processo de levantamento das frequências gênicas ou genotípicas não tiverem significado estatístico;

2) Forem panmíticas (panmítica: pan=todos; mítica=misturar), isto é, seus integrantes se cruzam livremente, ao acaso, e sem preferências sexuais;

3) Estiverem isentas de fatores evolutivos, como mutação, seleção natural e migrações, livres de qualquer fator que promova alteração no pool gênico.

A importância do teorema de Hardy-Weinberg para as populações naturais está no fato de ele estabelecer um modelo para o comportamento dos genes. Assim, é possível estimar frequências gênicas e genotípicas ao longo das gerações e compará-las com as obtidas na prática.

Se os valores observados forem significativamente diferentes dos valores esperados, pode-se concluir que fatores evolutivos estão atuando sobre esta população e que ela está evoluindo. Se os valores não diferirem significativamente, pode-se concluir que a população está em equilíbrio e, portanto, não está evoluindo.

Vamos considerar um gene A, de frequência p; e seu alelo recessivo (a), de frequência q. Na população considerada:

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Vamos supor que esta população abrigue indivíduos AA (formadores de gametas A), aa (formadores de gametas a) e Aa (formadores de gametas A e a). Podemos concluir que, para surgir um indivíduo de genótipo AA, é preciso que o gameta masculino seja A e o gameta feminino seja A. Lembrando que a frequência do gene A( f(A)) = p, temos:

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Da mesma forma, o surgimento de indivíduos de genótipo aa implica a existência de um gameta masculino a e outro feminino a. Assim, lembrando que f(a) = q, temos:

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Para o surgimento de indivíduos Aa, entretanto, pode-se ter um gameta masculino A e outro feminino a vice-versa. Logo, existem duas possibilidades para a ocorrência de indivíduos Aa. Assim, temos:

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Note que:

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Então, podemos considerar que:

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Nessa representação, p é a frequência de um alelo e q é a frequência do outro alelo. Nesta fórmula, p2 e q2 representam as frequências dos homozigotos para um e outro alelo, 2pq representa a frequência dos heterozigotos.

Exemplo 1: Uma população tem as seguintes frequências gênicas:

  • p = frequência do alelo B = 0,9. Portanto, a frequência esperada de B e B (BB) é p2 = 0,81;
  • q = frequência do alelo b = 0,1. Portanto, a frequência esperada de b e b (bb) é q2 = 0,01;
  • Os heterozigotos correspondem a B e b ou b e B, sua frequência na população é dada por 2pq = 0,18.

Assim:

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Se a população estiver em equilíbrio, a frequência dos alelos e dos genótipos se manterá constante ao longo das gerações. Se, no entanto, verificarmos que os valores obtidos na prática para os genótipos são significativamente diferentes dos esperados, a população não se encontra em equilíbrio genético e, portanto, está evoluindo.

Exemplo 2: Numa dada população humana em equilíbrio, determinou-se que a frequência de indivíduos Rh era de 16%. A partir dessa informação, determine:

a) A frequência do gene r;

b) A frequência do gene R

c) A frequência dos indivíduos Rh + homozigotos (RR) e heterozigotos (Rr).

Resolução:

a) Sabendo que os indivíduos Rh exibem genótipo RR, temos que:

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Logo, a frequência do gene r (f(r)):

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b) Como q = f (r) = 0,4, temos que a frequência do gene R (f(R)) é dada por:

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c) Sabendo que q = 0,4 e p = 0,6, a frequência dos indivíduos RR será:

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Da mesma maneira, a frequência dos indivíduos Rr, será:

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Observe que:

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O Teorema de Hardy-Weinberg não se aplica com exatidão plena a populações naturais que estão sujeitas, por exemplo, a efeitos da seleção natural, de mutações e até mesmo de uniões sexuais até certo ponto preferenciais. Mas como modelo é importante, pois facilita a pesquisa da composição de uma população em termos de frequência gênica; a investigação dos efeitos da seleção natural sobre a composição genética de uma população; a determinação de genótipos, mesmo quando não são reconhecidos fenotipicamente.

As populações humanas estão evoluindo? Como exemplo, podemos analisar nos últimos anos a taxa do gene para a hemofilia. Estes têm aumentado muito nas populações humanas. Isso é fácil de entender: os hemofílicos, no passado, frequentemente não chegavam à idade de reprodução, já que para eles qualquer ferimento maior poderia ser fatal.

Hoje, porém, os hemofílicos recebem o fator VIII, retirado do sangue de pessoas normais, que favorece a coagulação. Assim, a probabilidade de sobrevivência dos hemofílicos aumentou muito; também se elevaram as chances de constituírem família, transmitindo seus genes para os descendentes.

Nesse caso, os avanços da medicina modificaram a atuação da seleção natural, fator que, no passado, mantinha o gene para a hemofilia em taxa baixa.

Referências:

[1] Biologia Volume Único – César e Sezar
[2] Biologia Volume Único – Sônia Lopes e Sergio Rosso
[3] Biologia Volume 3 – Genética, Evolução e Ecologia – Wilson Roberto Paulino


Veja mais:

No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes
EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação
A Equação de Siple e a Perda de Calorias

24 de dez de 2011

Meus Votos de Boas Festas

Desejo a todos os amigos e visitantes que tanto prestigiam este blog um Feliz Metal e um Heavy New Year!

Feliz Metal

Heavy new year


20 de dez de 2011

No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes

Cerca de $5$ milhões de brasileiros fizeram a prova do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) em outubro. O organizador da prova, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), mostrou o gabarito poucos dias depois. Suponha que um dos estudantes, hipoteticamente chamado de Isaac Newton, tenha resolvido as questões de matemática que ele sabia, e que, antes de entregar a prova, tenha chutado as respostas que não sabia. Afinal, entre cinco alternativas $(a, b, c, d$ ou $e)$, a chance de acertar uma delas no chute é de $1/5$, ou seja, $20\%$. Com o gabarito oficial em mãos, Isaac Newton descobre que acertou uma das questões no chute. Em janeiro de $2012$, quando usar seu CPF para saber a nota individual, aprenderá uma lição: é difícil enganar computadores. Para azar dele, os computadores a serviço do INEP vão soltar um relatório dizendo, mais ou menos, assim: "É muito alta a chance de que nosso amigo Isaac Newton tenha acertado essa questão no chute. Nós, computadores, recomendamos desconsiderar essa questão na nota final do Isaac Newton".

Para organizar o ENEM, técnicos do INEP usam um método estatístico conhecido como TRI (Teoria da Resposta ao Item). É um método usado por médicos, militares, propagandistas, administradores de empresas, esportistas. Quando uma empresa usa o TRI para organizar qualquer tipo de questionário, ela ganha uma pergunta importante: qual é a probabilidade de que uma pessoa tenha acertado a questão $x$ por seu próprio mérito ou por acaso? Se a probabilidade for alta, a empresa atribui o mérito da resposta ao respondente; se a probabilidade for baixa, ela ignora a questão, pois é mais provável que o respondente tenha chutado.

Ao usar o TRI, o governo ganha várias vantagens: ele consegue informação mais precisa de quem sabe exatamente o quê, consegue comparar escolas da zona rural de Manaus com escolas do centro de São Paulo. A TRI, contudo, é menos ótima para quem faz o teste: o estudante, seu professor, seus pais. Se Isaac Newton quisesse saber como a TRI funciona, e por que sua nota é aquela divulgada pelo governo, teria que de estudar estatística avançada. Especialistas no assunto dizem que o Ministério da Educação (MEC) deve continuar usando a TRI nas avaliações oficiais, pois, pressupondo que o MEC esteja fazendo tudo com boa vontade, isso é bom para o Brasil. Mas, a cada rodada do ENEM, falta divulgar informações de um jeito que o estudante, seu professor e seus pais possam compreender e usar.

O Mais Provável

Raquel Cunha Valle, estatística da Fundação Carlos Chagas, diz que podemos usar uma fita métrica para medir a altura de uma pessoa em centímetros, ou usar uma balança para medir seu peso em quilogramas, mas como medimos o que uma pessoa sabe ou ignora? "A resposta da teoria da resposta ao item", diz Raquel, "é criar uma unidade de medida para o conhecimento".

Uma tabela muito simples, mostrada abaixo, pode ajudar leitores como Isaac Newton a entender o que lhes aconteceu. No caso de uma prova como a do ENEM, $"C"$ significa "acertou" e $"E"$ significa "errou".
Neste nosso exemplo, Gauss acertou as cinco questões, provavelmente sabe $100\%$ do que deveria saber. Euler, acertou quatro questões e errou uma, provavelmente sabe $80\%$ do que deveria saber. Arquimedes acertou três questões e errou duas, provavelmente sabe $60\%$ do que deveria saber. E assim por diante. A ênfase na palavra provavelmente serve para destacar a natureza estatística da TRI. Da mesma forma, a questão $1$, que somente uma pessoa acertou, é difícil demais para $80\%$ dos candidatos. A questão $2$, que só duas pessoas responderam corretamente é difícil demais para $60\%$ dos candidatos. E assim por diante.

Agora, imagine o Isaac Newton como sendo a sexta pessoa da tabela acima:

Note que ele também acertou duas questões e errou três, e que, portanto, sua média é igual à média de Einstein. Isaac Newton parece saber $40\%$ do que deveria saber. Mas sua prova tem lógica? Até que ponto uma pessoa consegue acertar uma questão difícil (questão $1$) e errar três questões mais fáceis? Não é mais provável que Isaac Newton tenha chutado a resposta da questão $1$?

Ao realizar um teste comum, o MEC só consegue descobrir duas coisas: quantas questões a pessoa acertou e quantas errou. Mas, ao realizar um teste com todas as ferramentas estatísticas da TRI, o MEC consegue saber, com maior grau de precisão, o que uma pessoa sabe ou ignora.

Tufi Machado Soares, professor da Universidade Federal de Juiz de Fora (MG) e coordenador de pesquisas do Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação, explica as principais alavancas de ajuste num modelo estatístico feito com base na TRI: dá para ajustar o grau mínimo de conhecimento para responder a uma questão com $50\%$ de chance, dá para ajustar até que ponto a questão vai discriminar entre quem sabe e quem ignora, e dá para saber a probabilidade de que alguém acerte a questão por acaso (chutando). Essas três alavancas têm nomes técnicos complicados (traço latente do $j-\text{ésimo}$ indivíduo) e simbolizados por letras gregas e latinas $(\theta _j)$.

Para explicar a mágica da TRI, especialistas como Raquel e Tufi Machado sempre mostram uma curva famosa: curva característica do item:



Na imagem acima, $\theta$ representa o que a pessoa sabe, e se $\theta = 0$ significa que a pessoa tem conhecimentos suficientes para acertar uma questão com probabilidade de $50\%$ - ela tem conhecimentos suficientes para, nesta questão, decidir a resposta no cara e coroa. Se ela fizer isso, os computadores do INEP não conseguirão dedurá-la, pois ela acertou outras questões com o mesmo grau de dificuldade. Mas se $\theta = –5$, significa que a pessoa tem conhecimentos suficientes para acertar a questão com probabilidade de $2\%$. Em outras palavras, significa que, caso ela acerte a questão, é bem provável que tenha chutado, e os computadores do INEP vão dedurá-la.

Exame por Computador

Especialistas independentes e técnicos do INEP não se cansam de mencionar as vantagens do TRI. Se a prova for bem desenhada, o avaliador pode cancelar uma questão errada sem prejudicar ninguém, pois as probabilidades são calculadas para as questões válidas. Se uma questão estiver escrita de modo a confundir pessoas com conhecimentos avançados, isto ficará claro, pois os computadores vão mostrar um grande número de pessoas com conhecimentos avançados errando a mesma questão, o que é pouco provável. Se uma pessoa se submeter a duas provas diferentes, mas feitas segundo a TRI, é provável que sua nota seja quase a mesma nas duas provas. O MEC pode comparar pessoas de regiões diferentes em anos diferentes. Se alguém obtiver os gabaritos da prova e vendê-los por um bom dinheiro, os computadores do INEP serão capazes de detectar a discrepância estatística.

A TRI só existe porque existem computadores. Sem eles, seria impossível calcular à mão todas as variáveis do modelo estatístico. Na fórmula principal da TRI, cada pessoa é descrita por meio de sete variáveis e quatro constantes. No ENEM, com $5$ milhões de pessoas, são $35$ milhões de variáveis e $20$ milhões de constantes para calcular e comparar umas com as outras. Quando o INEP tiver um banco de dados de itens de tamanho adequado, os estudantes poderão realizar as provas por meio do computador: o estudante acerta uma questão e o computador puxa do banco de dados uma questão um pouco mais difícil; o estudante erra uma questão e o computador puxa uma questão um pouco mais fácil. Com esse método, o MEC conseguirá medir com precisão maior ainda o que o estudante sabe.

Bula Indecifrável

Críticos do ENEM vivem dizendo que o governo esconde os critérios pelos quais forma a nota de cada aluno. Afinal, os critérios são públicos ou são segredo de Estado? Tufi Machado diz que não há segredo algum: se a pessoa for ótima de estatística, se ela tiver conhecimentos profundos sobre a TRI, e se ela for persistente feito um mosquito da dengue, então ela conseguirá ter acesso aos critérios técnicos e talvez até aos dados brutos. "Os critérios até que são bem conhecidos pelos especialistas no assunto", fiz Tufi. Contudo, se a pessoa for um estudante, ou seu professor, ou um de seus pais, aí sim ela está numa enrascada. Até agora, o governo brasileiro não demonstrou interesse em divulgar critérios técnicos e dados brutos com frequência e clareza.

Explicar a TRI é difícil mesmo. Um exemplo: se o estudante tira a nota média do ENEM, ele tira $500$, pois o INEP atribui valor $500$ à nota média. Contudo, numa escala de $0$ a $10$, a nota média de uma ano pode ser $6$ e de outro ano pode ser $5,5$. Nos dois casos, o aluno que tirar a nota média vai tirar $500$. Se ele tirar mais de $500$, significa apenas que tirou mais que a nota média. Se tirar menos que $500$, significa que tirou menos que a nota média. "A TRI é como se fosse um tipo de mágica", diz Raquel Valle, "mas poucos têm acesso ao truque".

Especialistas em modelagem matemática sabem que, quanto mais fielmente o modelo matemático representa a realidade, mais complicado ele é, pois a realidade é bem complicada. A TRI é complicada simplesmente porque ela retrata a realidade de modo melhor. Porém, isso não é desculpa para explicar a TRI com linguagem supertécnica. É possível pensar na TRI como uma bula. Se você escrever a bula com linguagem médica muito técnica, o paciente não vai entender nem mesmo para que serve o remédio.

O Teorema de Bayes

Os criadores da teoria da resposta ao item usaram como ferramenta principal o teorema de Bayes, criado pelo matemático inglês Thomas Bayes $(1702 – 1761)$. O teorema trata de uma questão importante, cotidiana até, mas difícil de entender: qual é a probabilidade de que o evento $A$ tenha ocorrido, visto que o evento $B$ acabou de ocorrer? O símbolo para isso é $Pr(A \mid B)$.

Teorema: Os eventos $A_1, A_2, A_3, \cdots , A_k$ são eventos mutuamente exclusivos, cuja união é todo o espaço amostral de um experimento. O evento $B$ é um evento com probabilidade diferente de zero $(Pr(B) \neq 0)$. Sendo assim:
\begin{equation*}
Pr(A_i \mid B)=\frac{Pr(B \mid A_i)\cdot Pr(A_i)}{\sum _{x=1}^{k} Pr(B \mid A_x)\cdot Pr(A_x)}
\end{equation*}
Um exemplo para tornar a fórmula acima mais clara: $A_1$ representa o evento de jogar uma moeda com duas "caras" três vezes seguidas, e $A_2$ representa o evento de jogar uma moeda comum três vezes seguidas. Suponha que você escolhe uma das duas moedas ao acaso e, portanto, $Pr(A_1) = 1/2$ e $Pr(A_2) = 1/2$. Seja $B$ o evento de obter três caras seguidas (ou seja, você escolheu uma moeda ao acaso, jogou essa moeda ao ar três vezes e conseguiu três caras seguidas); portanto, $Pr(B \mid A_1) = 1$ e $Pr(B \mid A_2) = 1/8$. Qual é a probabilidade de que você tenha escolhido a moeda com duas caras $(A_1)$ visto que saíram três caras seguidas? Aplicando a fórmula:
\begin{matrix}
Pr(A_1 \mid B)=\frac{Pr(B \mid A_1)\cdot Pr(A_1)}{Pr(B \mid A_1)\cdot (A_1)+Pr(B \mid A_2) \cdot Pr(A_2)}\\
Pr(A_1 \mid B)=\frac{1\cdot \frac{1}{2}}{1\cdot \frac{1}{2} +\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{8}{9}=88,9\%
\end{matrix}
O teorema de Bayes dá a resposta: se você escolheu uma das moedas ao acaso, e obteve três caras seguidas, então a probabilidade de que tenha escolhido a moeda com duas caras é de $88,9\%$.

Na notação acima, temos que $Pr(A)$ é a probabilidade a priori (antes do experimento) e $Pr(A_i \mid B)$ é a probabilidade a posteriori (depois do evento).

Alguns exemplos do teorema de Bayes na vida diária:

$1)$ Se um homem bate na própria mulher, qual é a probabilidade de que venha a matá-la? É baixa, visto que a maioria desses homens não mata a mulher. Se uma mulher é encontrada morta a facadas, qual é a probabilidade de que tenha sido assassinada pelo próprio marido, dado que o marido batia nela? É altíssima.

$2)$ Escolha uma pessoa a esmo. Qual a chance de que ela tenha problemas psiquiátricos? É baixa. Qual a chance de que ela acredite que seu chefe lê seus pensamentos? É baixa. Mas se essa pessoa escolhida a esmo acredita que seu chefe lê seus pensamentos, qual é a chance de que tenha problemas psiquiátricos? É altíssima.

$3)$ Segundo dados do INEP, só $11\%$ dos brasileiros terminam o ensino médio sabendo a matemática que deveriam saber. Dada tal informação, o que é mais provável: que o MEC esconda os dados a respeito do método usado no ENEM para, escondendo, melhorar artificialmente os números da educação no Brasil, ou que ninguém no MEC tenha se animado a criar um programa nacional de explicações simples e claras sobre o ENEM?

Referências:

$[1]$ Revista Cálculo nº $10$, ed. Segmento, $2011$

Veja mais: 

Introdução à Ferramenta TRI
Análise Estatística e a TRI

16 de dez de 2011

Método de Sebá para Resolução Alguns Casos Particulares Nas Equações Diofantinas Lineares

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

O objetivo do presente trabalho é apresentar um método, de resolução de equações diofantinas lineares, encontrado nos livros de teoria dos números e, além disso, mostrar alguns casos particulares nas equações diofantinas lineares, que é possível resolver algumas delas por meio do método de Sebá, método esse desenvolvido pelo autor deste trabalho.

Inicialmente iremos apresentar dois teoremas referentes a condição de existência de solução inteira das equações diofantinas lineares, e em seguida apresentar alguns exemplos resolvidos por meio do método de Sebá.

1 – Generalidade

O tipo mais simples de equações diofantinas é a equação diofantina linear com duas incógnitas x e y. Onde ax + by = c sendo a, b e c inteiros.

Todo par de inteiros x0 e y0 tais que ax0 + by0 = c, diz-se que é uma solução inteira ou apenas uma solução da equação ax + by = c. Seja, por exemplo, a equação diofantina linear com duas incógnitas:

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Logo, os pares de inteiros: 4 e 1; -6 e 6; 10 e –2 são soluções da equação 3x + 6y = 18.

Existem equações diofantinas lineares com duas incógnitas que não tem solução. Assim, por exemplo, a equação diofantina linear: 2x + 4y = 7 não tem solução, quaisquer que sejam os valores inteiros de x e y.

De modo geral, a equação diofantina linear ax + by = c não tem solução em inteiros, sempre que d = mdc (a,b) não divide c.

2 – Condição De Existência De Solução

Teorema 1: A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se e somente se d divide c, sendo d = mdc (a,b).

3 – Solução Da Equação ax + by = c

Teorema 2: Se d divide c ou seja (d/c), sendo d = mdc(a,b) e se o par de inteiros x0 e y0 é uma solução particular da equação diofantina linear ax = by = c, então, todas as outras soluções dessa equação são dadas pelas fórmulas:

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Sendo t um inteiro arbitrário.

Corolário 1: Se o mdc(a,b) = 1 e se x0 e y0 é uma solução particular da equação diofantina linear ax + by = c, então, todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas:

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Sendo t um inteiro arbitrário.

Se você, caro leitor, estiver interessado em ver as demonstrações dos dois teoremas acima, veja em: http://jogoseducativos.tripod.com.br/diofantina.htm.

4 – Exemplos

O exemplo a seguir e a sua resolução foram extraídos de:

OLIVEIRA, Silvio Barbosa de. As equações diofantinas lineares e o livro didático de matemática para o ensino médio. Mestrado em Educação Matemática, PUC/SP, São Paulo, 2006.

Exemplo 1 – Um laboratório dispõe de 2 máquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Pergunta-se: quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2.000 amostras?

Resolução:

Designando, por x e y, o número de vezes que a primeira e a segunda máquinas, respectivamente, foram acionadas, basta resolver a seguinte equação diofantina linear para responder à pergunta proposta:

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Essa equação é equivalente a:

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Como o mdc(5, 3) = 1, logo, essa equação diofantina tem solução.

Tem-se agora que encontrar uma solução particular para 3x + 5y = 400.

Primeiramente, podemos encontrar a solução da equação 3x + 5y = 1, pelo algoritmo de Euclides:

image Esse algoritmo permite construir as seguintes expressões:

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A partir da expressão (3), obtém-se:

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A partir da expressão (4):

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Substituindo a (6) na (7), vem:

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Aplicando a propriedade distributiva, obtém-se:

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A expressão (8) indica que x = 2 e y = –1 é uma solução particular da equação 3x + 5y = 1. Multiplicando ambos os membros da expressão (8) por 400, obtemos:

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Logo, 800 e –400 é uma solução particular da equação (2) e também será da equação original (1): 15(800) + 25(–400) = 2000. Consequentemente, a solução geral da equação (1) que apresenta mdc(25, 15) = 5, se expressa por:

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Considerando o problema que levou a essa equação, vê-se que só interessam respostas não negativas para x e y. Assim, deve-se impor que:

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Sendo assim, temos que:

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Substituindo os valores de t em (9) e (10), obtém-se 27 soluções (que apresentam valores de x e y inteiros positivos) para o problema, desde a primeira máquina parada e a outra sendo acionada 80 vezes, até o caso em que a primeira trabalha 130 vezes e a outra só 2 vezes.

Soluções Usando O Método Que Consta Na Dissertação:

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5 – Resolução Pelo Método De Sebá

Além da condição de d = mdc(a, b) dividir c, o método de Sebá exige as duas seguintes condições:

a) que a seja diferente de b

b) que a ou b (ou ambos) divida c

Resolvendo o exemplo por meio do método de Sebá

Pelas duas condições, temos:

a) Já que a = 15 e b = 25, logo, ab

b) Como c = 2000 e b = 25, logo, b/c (b divide c)

Sempre que a > b ou b > a, dividem-se ambos os membros da equação diofantina linear por a ou b.

Como no exemplo b > a, dividindo ambos os membros da (1) por 25, obtém-se:

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Como a fração, do coeficiente de x, o denominador é 5, logo, para x = 5, temos:

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Logo, x = 5 e y = 77 é uma solução particular da equação (1), e conseqüentemente, a solução geral da equação (1) que apresenta mdc(25, 15) = 5, se expressa por:

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Considerando o problema que levou a essa equação, vê-se que só interessam respostas não negativas para x e y. Assim, deve-se impor que:

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Sendo assim, então:

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Substituindo os valores de t em (13) e (14), obtém-se 27 soluções (que apresentam valores de x e y inteiros positivos) para o problema, desde a primeira máquina parada e a outra sendo acionada 80 vezes, até o caso em que a primeira trabalha 130 vezes e a outra só 2.

Soluções Usando O Método De Sebá

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Comparando as duas tabelas, constata-se que as soluções obtidas usando o método que consta na dissertação, são as mesmas soluções obtidas usando o método de Sebá.

Exemplo 2 – Resolver a equação diofantina 3x + 5y = 100.

Resolução:

Como o mdc(5, 3) = 1 e 1/100, logo, a equação tem solução em inteiros. Pelas duas condições do método de Sebá, temos:

a) Já que a = 3 e b = 5, logo, ab

b) Como c = 100 e b = 5, logo, b/c

Como b > a, dividindo ambos os membros por 5, obtém-se:

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Como a fração, do coeficiente de x, o denominador é 5, logo, para x = 5, temos:

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Logo, x = 5 e y = 17 é uma solução particular da equação. Consequentemente, a solução geral da equação que apresenta mdc(5, 3) = 1, se expressa por:

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Considerando t pertencente aos Reais, existem infinitas soluções inteiras para x e y; sendo apenas 6 não negativas.

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Exemplo 3 – Resolver a equação diofantina 3x + 6y = 18

Resolução:

Como o mdc(6, 3) = 3 e 3/18, logo, a equação tem solução em inteiros. Pelas duas condições do método de Sebá, temos:

a) Já que a = 3 e b = 6, logo, ab

b) Como c = 18, a = 3 e b = 6, logo, ambos dividem c

Como b > a, dividindo ambos os membros por 6, obtém-se:

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Como a fração, do coeficiente de x, o denominador é 2, logo, para x = 2, temos:

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Logo, x = 2 e y = 2 é uma solução particular da equação. Consequentemente, a solução geral da equação que apresenta mdc(6, 3) = 3, se expressa por:

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Considerando t pertencente aos Reais, existem infinitas soluções inteiras para x e y; sendo apenas 3 não negativas.

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Exemplo 4 – Um comerciante comprou 30 pássaros: perdizes, pardais e pombos. Um perdiz custa 3 moedas de prata, um pombo 2, e um pardal 1/2. Ele pagou 30 moedas. Quantos pássaros de cada espécie o comerciante comprou? (OUTUBRO 2011 SUPER, pg. 69)

Resolução:

Sejam:

x = perdizes

y = pardais

z = pombo

Temos o seguinte sistema de duas equações lineares

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Multiplicando ambos os membros da (19) por –1/2 e somando com a (20), obtém-se:

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Multiplicando ambos os membros da (21) por 10, obtém-se:

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Como o mdc(25, 15) = 5 e 5/100, logo, a equação (22) tem solução em inteiros. Pelas duas condições do método de Sebá, temos:

a) Já que a = 25 e b = 15, logo, ab

b) Como c = 150, a = 25 e b = 15, logo, ambos dividem c

Como a > b, dividindo ambos os membros por 25, obtém-se:

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Como a fração, do coeficiente de y, o denominador é 5, logo, para y = 5, temos:

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Logo, x = 3 e y = 5 é uma solução particular da equação (22). Consequentemente, a solução geral da equação que apresenta mdc(25, 15) = 5, se expressa por:

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Considerando o problema que levou a essa equação, vê-se que só interessam respostas não negativas para x e y. Assim, deve-se impor que:

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Sendo assim, então:

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Considerando t pertencente aos Reais, existem infinitas soluções inteiras para x e y; sendo apenas duas não negativas:

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Resposta:

Primeira solução: o comerciante comprou: 3 perdizes, 5 pardais e 22 pombos, totalizando 30 pássaros. O comerciante gastou:

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Segunda solução: o comerciante comprou: 6 perdizes, 0 pardais e 24 pombos, totalizando 30 pássaros. O comerciante gastou:

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Exemplo 5 – Resolver a equação diofantina linear 39x + 26y = 105.

Resolução:

O mdc(39,26) = 13 e como 13 não divide 105, segue-se que a equação dada não tem solução.

Conclusão:

Quando os coeficientes (a, b) e o terno independente (c) de uma equação diofantina linear se enquadrar nas duas condições exigidas pelo método de Sebá, este, em termos de tempo computacional, é mais eficiente para encontrar as soluções em inteiros de uma equação diofantina linear do que o método utilizado em teoria dos números.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.


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