04/12/2011

O Método da Gelosia para Multiplicações

As aritméticas dos séculos XV e XVI traziam descrições de algoritmos para as operações fundamentais. Dentre os muitos métodos criados para efetuar multiplicações, o da Gelosia, ou o método da grade, talvez tenham sido o mais popular.

imageHá indícios de ter surgido na Índia, pois aparece num comentário sobre o Lilävati e em outros trabalhos Hindus. Da Índia seguiu por trabalhos chineses, árabes e persas.

Este método foi um dos favoritos dos árabes, através dos quais passou para a Europa Ocidental. A simplicidade de sua aplicação poderia tê-lo mantido em uso até hoje, não fora a necessidade de desenhar uma rede de segmentos de reta. O modelo lembra uma grade de janela chamada gelosia (em francês jalousie, que significa rótula).

Como forma de ilustrar o método, vamos efetuar a multiplicação entre os números 123 e 456. Inicialmente, desenhamos uma grade 3 x 3, já que as parcelas em questão possuem 3 algarismos cada. Dividimos cada quadrado por uma diagonal crescente.

imageEscrevemos uma das parcelas logo acima da grade horizontalmente, dispondo cada algarismo sobre um quadrado. Em seguida, escrevemos os algarismos da segunda parcela ao lado direito verticalmente, de modo que cada algarismo fique ao lado de um quadrado.

Multiplicamos cada par de números, escrevendo o produto em cada célula aij, sendo cada um dos algarismos posicionados em um dos lados da diagonal.

imageAgora, somamos todos os números das diagonais começando direita para a esquerda e escrevemos o resultado na parte inferior e esquerda da grade.

imageEncontrando assim o produto:

clip_image008

Vamos ver um outro exemplo. Seja multiplicar 731042 por 652.

image

Encontramos o produto:

clip_image002

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves 


Veja mais:

Um Método para Multiplicação entre Dois Números
Método da Multiplicação dos Camponeses Russos
Um Método para Calcular o MMC e o MDC entre Dois Números

20 comentários:

  1. Bom dia Sr. Kleber, este sim é que é um método prático de multiplicação, foi muito instrutivo, obrigado.
    Miguel Nelson Choueri Júnior

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  2. Olá Miguel. Realmente é bem interessante. Os Antigos sabiam desenvolver métodos engenhosos para resolver problemas.
    Obrigado pela visita e comentário.
    Abraços.

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  3. Olá, Kleber!

    Diz aí! Eu estou pensando sobre uma informação que li em um livro, sobre os feitos matemáticos realizados, se a memória não me falha, pelos Maias, onde deixaram registros de números inteiros compostos por numerais Maias que exigem 15 algarismos algarismos indu arábicos para serem expressos e tudo levando a crer que seria o produto entre dois números. Como se sabe, ninguém atina como eles fizeram isso, uma vez que, esses conhecimentos se perderam no tempo.
    Na base das especulações fantásticas, alguns alguns autores de livros investigativos sobre feitos tecnológicos do ser humano no passado, defendem que, tal como agora, através do uso de supercomputadores é que tenha sido possível tais feitos. Mas, para conseguir obter-se um produto com aquela magnitude, não teria os matemáticos Maias, talvez usado um processo como esse aqui?

    Quero lhe dar os parabéns, por tão interessante artigo, o qual eu não conhecia e... posso dizer que... isso é a minha cara! KKKKKKKKKKKK!!!!

    Um abraço!!!!!

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  4. Olá Valdir,
    Quando estava preparando este material, não pude deixar de lembrar de você. Na hora me veio à cabeça: Isso aqui parece coisa do Valdir! É um método muito interessante, pois fica tudo muito bem organizado e o resultado sai facilmente.
    Quanto aos Maias, não me recordo deste tema que você descreveu aí em cima. Mas eles eram muito hábeis em diversos ramos das ciências, inclusive na Matemática, onde utilizavam base 20, e tinha dois tipos de zero em sua linguagem. Na astronomia, nem se fala, criou-se até o mito de que o mundo acaba em 2012, que me parece que é o eixo da Terra se alinhará ao centro da Via Láctea. Estou até pensando num negócio para ficar milionário: criar camisetas com o slogam: "2012: Eu Sobrevivi!". Claro que isso dependerá do desfecho do ano que vem!

    Abraços!

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  5. Olá, Kleber!

    Dobrando o seu salário, volto a comentar! Ah, muito obrigado, por fazer a ligação de coisas tão boas e criativas que você faz aqui no blog, com a minha pessoa! Quem não ficaria tocado com tamanha honraria? Lhe devo essa!
    Você desconfia que ficaria milionário se inventasse esse negócio das camisetas? Eu tenho certeza disso... kkkkkkkkkk... e, sugiro uma outra linha de produção ostentando... " e o mundo não se acabou! ", lembrando uma música antiga cantada pela Carmem Miranda!
    Como eu já te falei, eu sou e sempre fico desconfiado com o que poderá surgir a partir de: coisas simples, pequenas, desprezíveis, sem importância, enfim, inocentes demais. Nesse caso do 2012, muitos acreditavam que tal profecia Maia se desencadearia com o choque espacial da Terra com algum astro, mas, segundo a vigilância exercida pelos astrônomos e astrofísicos e através dos meios de que se dispõe, tal evento não acontecerá. Então, com uma leve suspeita da minha parte, para alimentar esse temor, lembro que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, existe um buraco negro super massivo ( não fui eu que afirmei isso) o qual deve influenciar através do seu tremendo poder do seu campo gravitacional, toda a matéria contida por nossa galáxia. As distâncias são astronômicas, as forças por causa disso... são débeis, mas, o que se diz sobre a oscilação harmônica entre corpos separados e o que acontece quando golpeamos um deles? Então, como tem essa história do alinhamento do eixo terrestre com o centro da galáxia, é que no meu entender "desconfiatório" eu fico com um pé atrás, para a certeza que nada ocorrerá! Bom, se tal evento já ocorreu, tempo atrás, aí é que não devemos !morrer" antes da hora!

    Um abraço!!!!!

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  6. Pois é Valdir, não sabemos o que poderá ocorrer com tal alinhamento. Mas sabe-se que a precessão do eixo da Terra tem ciclo de aproximadamente 26.000 anos e é bem provável que isso já tenha ocorrido e não tenha causado a destruição da Terra. Mas quem pode garantir?

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  7. Os computadores devem usar implementações similares a este método de múltiplicação. Transforma uma operação mais complexa (multiplicação) em uma mais simples (soma), o que é jutamente a natureza do multiplicar... Parece ser bem barato computacionalmente... vou tentar implementar alguma coisa em C relacionada...

    Muito bom o artigo!!!

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  8. Olá Rycunda,
    Pode ser que um algoritmo em C fique bom mesmo. Se obtiver sucesso e quiser compartilhar, me envie o código e o executável que publico aqui.
    Abraços!

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  9. Olá,Kleber.Parabéns pelo Blog!Muito bem organizado!Assuntos muito interessantes!Este semestre(2012.2) estou trabalhando com a História da Matemática, e esta publicação me ajudou e muito. Estou montando um minicurso com os meus alunos que retratará alguns métodos que podem ser usados para multiplicação de dois números.Já que as operações multiplicação e divisão são jogados de forma impactante para os nossos alunos da Educação Básica.

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  10. Olá Jeanne, obrigado pelos elogios. Acredito também que mostrar aos alunos como a Matemática e seus métodos foram evoluindo, seja mais interessante do que simplesmente expor a mecânica da coisa.

    Outros métodos interessantes de obter um produto entre dois números são:

    - O método dos camponeses russos (disponível aqui no blog);
    - O método de multiplicação dos egípcios.

    Um abraço!

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  11. Por que com 123 X 23 não dá certo usando este método!

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  12. Olá Everton. Fiz esta multiplicação e funcionou sim. Veja nesta imagem:

    http://i.share.pho.to/feeabf12_o.png

    Abraços.

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  13. agora entendi de novo on metodo de gelosia acho que ese metodo é muito fácil só tem que prestar muita atenção

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  14. Esse método é bem bacana mesmo. E funciona sempre.

    Abraços.

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  15. Boa noite - quanto ao exemplo 123 X 456
    Diagonal 1 = 0 ok
    Diagonal 2 = 0 + 4 + 0 = 4 ok
    Diagonal 3 = 1 + 8 + 1 + 5 + 0 = 15 = 6 ok
    Diagonal 4 = 2 + 1 + 0 + 1 + 6 = 10 porque "0" é não 1?
    Restante ok

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    1. Olá Luiz.

      Ocorre o mesmo nas somas que costumamos fazer hoje em dia: quando somamos a diagonal 4, temos: 2+1+0+1+6=10. Escrevemos o zero e "emprestamos" o ' ao "vizinho", ou seja, 10 unidades equivale a uma dezena. O mesmo ocorreu na diagonal 3: 1+8+1+5+0=15 e então somamos o 1 que veio da diagonal 4, somando então 16. Mantemos o 6 e o 1 é somado na diagonal 2: 0+4+0+1=5.

      Espero ter esclarecido sua dúvida.

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  16. Boa noite - porque no segundo exemplo, segunda diagonal, 1+2+3=7 ?

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    Respostas
    1. Olá Luiz,

      Esse é o mesmo caso acima. Começamos os elementos das diagonais da direita para a esquerda, então a primeira diagonal soma 4, a segunda soma 8,... Quando a soma for maior ou igual a 10, então, escrevemos o dígito da unidades e o dígito das dezenas é somado à diagonal seguinte. É o mesmo procedimento que fazemos nas nossas contas de adição atualmente.

      Um abraço.

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  17. muito bom meu grupo e eu vamos fazer esse método e vale bastante ponto para quem pesquisar

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  18. MARLENE
    achei muito interessante,nao conhecia.

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