30 de abr de 2011

O Retângulo Prateado

Definição 1: Um retângulo é chamado de Retângulo Prateado se a razão entre dois de seus lados adjacentes for igual ao número prateado.

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O número prateado δS, como já vimos, equivale a:

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Para a construção geométrica do retângulo prateado, iniciamos com um quadrado de lodo a; em seguida, construímos um novo quadrado de lado a adjacente ao primeiro. Com a ponta seca do compasso em D e raio DE, descrevemos um arco de circunferência até intersectar o prolongamento do segmento DF, marcando o ponto H. Por H, subimos um perpendicular intersectando o prolongamento de CE em G. O quadrilátero ABGH é o retângulo prateado.

imageDesta forma, a razão entre os lados do retângulo é igual ao número prateado:

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Demonstração:

Como a diagonal DE é igual à raiz quadrada de 2, temos que:

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De acordo com a definição 1, temos que:

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Provemos agora que o quadrilátero EGHF também é um retângulo prateado, de modo que a razão entre os lados GH e FH é igual ao número prateado. Temos os segmentos:

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Desta forma, e segundo a definição 1, temos:

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Assim, se posicionarmos a ponta seca do compasso no ponto J com raio JK e descrevermos um arco até interceptar o segmento EF¸ veremos que a intersecção se dará em F.

Continuemos com nossa prova considerando o quadrilátero FHKL. Temos os segmentos:

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e o segmento KL é igual a:

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A razão entre os lados do retângulo FHKL é:

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Percebemos que a razão prateada está em todos os retângulos derivados do primeiro. Ainda podemos observar que a razão entre as áreas dos retângulos é constante e é dada por:

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A proporção inversa é dada por:

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Veja mais:

O Número Prateado
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
O Número Prateado na Trigonometria
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos
A Razão Áurea no blog Fatos Matemáticos


24 de abr de 2011

O Corpus Arquimediano

Apresentamos aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós. A lista segue a ordem da edição crítica de Heiberg.



1) Sobre a Esfera e o Cilindro

Dirigida  a Dosite, matemático de Alexandria, contém dois livros: no primeiro, Arquimedes demonstra que a esfera é $2/3$ do cilindro circunscrito a ela e que a superfície esférica é igual a quatro círculos máximos; no segundo, trata de problemas solucionáveis mediante esses resultados: por exemplo, dividir uma esfera em dois segmentos que têm entre si determinada relação.

2) A Medida do Círculo

Contém apenas três proposições. Na primeira, demonstra-se que o círculo é igual ao triângulo retângulo tendo por catetos o raio e a circunferência retificada. Na terceira, demonstra-se que a relação entre a circunferência e o diâmetro está compreendida entre $3 + 10/71$ e $3 + 1/7$. 

3) Sobre Conoides e Esferoides

Dirigida a Dosite, estuda as figuras que hoje chamamos paraboloides, hiperboloides de rotação (conoides) e elipsoides (esferoides). Demonstra que o paraboloide de rotação é $3/2$ do cone com a mesma base e altura; resultados análogos (mas mais complexos) são obtidos para o hiperboloide e o elipsoide.

4) Sobre as Espirais

Dirigida a Dosite, define a "Espiral de Arquimedes" (a curva descrita por um ponto que se move de modo uniforme sobre uma reta que, por sua vez, se move de modo circular uniforme); essa curva é usada para obter uma retificação da circunferência.

5) Sobre o Equilíbrio dos Planos

Em dois livros, o primeiro deduz a lei da alavanca e determina o centro de gravidade de algumas figuras planas, como paralelogramo, triângulo e trapézio O segundo é inteiramente dedicado à determinação do centro de gravidade do segmento de parábola.

6) O Contador de Areia

Dedicado a Gelon de Siracusa, apresenta um sistema de numeração capaz de contar números muito grandes, como o número de grãos de areia contido em uma esfera do tamanho do Universo.

7) A Quadratura da Parábola

Dirigida a Dosite, demonstra que a parábola é $4/3$ do triângulo com a mesma base e altura. O texto é dividido em duas partes: a quadratura "mecânica" (na qual se recorre a conceitos de estática) e a "geométrica".

8) Sobre os Corpos Flutuantes

Em dois livros , o primeiro enuncia o "Princípio de Arquimedes": um corpo imerso em um fluído recebe um empuxo para o alto igual ao peso do volume do fluído deslocado. Baseado nisso, o final do primeiro livro determina as condições do equilíbrio de um segmento esférico flutuante; o segundo livro é dedicado ao estudo do comportamento de um paraboloide flutuante.

9) Stomachion

Obra curiosa, na qual é descrito uma espécie de tangram: trata-se de subdividir um quadrado ou um retângulo em quatorze partes comensuráveis entre si.

10) O Método Mecânico

Dedicada a Eratóstenes, Arquimedes revela o método heurístico que seguia para obter os resultados já descritos. Vários exemplos mostram como aplicar o método (quadratura da parábola, esfera, segmentos esféricos, conoides e esferoides). A obra visa principalmente o estudo da chamada "unha cilíndrica" e do sólido obtido mediante a intersecção de dois cilindros inscritos em um cubo.

11) Livro dos Lemas

Chegou até nós por meio de uma paráfase árabe. Trata de figuras como o "arbelon" ou o "salinon", obtidas pela intersecção de círculos.

12) O Problema dos Bois

Pequena obra em que Arquimedes desafia os matemáticos da época a resolver um problema aritmético: contar o número de bois - brancos, manchados, negros e castanhos - que o deus Sol conduzia na Trinácria, levando em conta certas relações entre o número de bois de cada cor. O problema leva a uma equação cuja solução implica números monstruosos, com mais de $200$ mil algarismos. Não se sabe como Arquimedes pôde ter encontrado a solução.

Veja mais:

O teorema da corda quebrada de Arquimedes
O Livro dos Lemas de Arquimedes
Sobre a Esfera e o Cilindro



20 de abr de 2011

A Computação e o Sonho de Babbage

O ato de contar com pedrinhas remonta às origens dos processos aritméticos. Daí para a invenção do ábaco foi uma evolução natural, embora, com certeza, bastante lenta. Esse primeiro instrumento mecânico de computação teve uma importância muito grande e duradoura: ainda no século XIV, não raro os textos de aritmética traziam instruções para calcular tanto com algarismos indo-arábicos como com o ábaco.

image O século XVII, na esteira da revolução científica que o caracterizou, deu contribuições notáveis também ao campo da computação. John Napier (1550 – 1617), o criador dos logaritmos, num trabalho de 1617 intitulado Rabdologia, descreveu o primeiro instrumento de cálculo a ser inventado após o ábaco: as chamadas Barras de Napier, um dispositivo mecânico que reduzia o trabalho de multiplicar à realização de adições. O sucesso dessas barras foi tanto que de início elas trouxeram mais notoriedade a seu inventor que os próprios logaritmos. Pouco depois, em 1622, surgiu a primeira versão das réguas de cálculo, uma invenção do matemático inglês William Oughtred (1579 – 1660), desenvolvendo uma idéia de seu conterrâneo Edmund Gunter (1581 – 1626).

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E mesmo o protótipo mais legítimo das atuais máquinas de calcular é fruto do século XVII. Trata-se da Pascaline, planejada pelo matemático e pensador francês Blaise Pascal (1623 – 1662), quando tinha 18 anos de idade, para aliviar seu pai, um coletor de impostos, dos exaustivos cálculos a que sua função o obrigava diariamente. Basicamente a Pascaline era um engenho mecânico capaz de somar e subtrair. Pascal chegou a construir cerca de 50 dessas máquinas, mas esse número não corresponde ao sucesso comercial esperado por ele.

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Na segunda metade do século XVII, o matemático e filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646 – 1716), preocupado com as horas de trabalho gastas por matemáticos e astrônomos em cálculos árduos e demorados, o que considerava indigno do saber desses homens, visto que qualquer pessoa poderia realizá-los caso se usassem máquinas, ideou uma máquina de calcular capaz de realizar as quatro operações básicas. Pronta em 1694, seu componente aditivo era essencialmente idêntico ao da máquina de Pascal, mas, mediante um carro móvel e uma manivela, conseguia acelerar as adições repetidas envolvidas nos processos de multiplicação e divisão. As calculadoras mecânicas de mesa, ainda em uso, cujos primeiros modelos remontam ao início do século passado, derivam da máquina de Leibniz.

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É interessante registrar que entre as realizações matemáticas de Leibniz figura a primeira descrição do sistema de numeração binário (1703). A inspiração para esse trabalho veio-lhe em parte da leitura de um antigo texto chinês que procurava explicar a complexidade do universo em termos de uma série de dualidades – por exemplo, luz e trevas, macho e fêmea, bem e mal. Será que Leibniz, não obstante seu pioneirismo na busca de uma linguagem universal para as ciências, podia imaginar que a idéia subjacente ao sistema binário seria uma das molas propulsoras da computação do século XX, pela facilidade relativamente bem maior de se representarem 2 símbolos nos circuitos do computador em vez de 10?

A primeira proposta de uma máquina de calcular automática só ocorreria no século XIX. Seu autor, o inglês Charles Babbage (1792 – 1871), ocupa uma posição singular na história da computação. Filho de um banqueiro, do qual posteriormente herdou fortuna considerável, Babbage foi educado por professores particulares, devido à sua saúde frágil, até iniciar seus estudos superiores no Trinity College, Cambridge, em 1810. Mas, acreditando que iria ser apenas o terceiro de sua turma, transferiu-se no terceiro ano para Peterhouse, onde, efetivamente, veio a se graduar em primeiro lugar. Não fosse a inquietação que o dominava, provocada especialmente pelas máquinas matemáticas com que sonhava, a vida de Babbage teria transcorrido provavelmente sem contratempos significativos. Mas ao fim de seus dias ele, que fora um otimista em sua juventude, tornou-se um homem amargo devido às frustrações decorrentes de sua luta contra tarefas muitas vezes acima das possibilidades de sua época.

Em 1822, num artigo científico, Babbage expôs pela primeira vez a idéia de sua “máquina diferencial”, um engenho que seria capaz de calcular e imprimir extensas tábuas matemáticas. Em 1839, tendo obtido uma subvenção do governo britânico de 17.000 libras, renunciou a uma cadeira de matemática que regia em Cambridge e pôs-se a trabalhar na construção de um modelo em tamanho grande. Em três anos esgotou todos seus recursos colocados à sua disposição e gastou ainda cerca de 6.000 libras de seu bolso, sem concretizar o projeto, por fim abandonado. Que este era viável prova-o o fato de que dois suecos, George e Edward Scheutz, inspirados num artigo de Babbage, conseguiram construir uma máquina diferencial de menor porte, mas muito eficiente, completada em 1853.

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Dentre os subprodutos desse período, o mais importante sem dúvida foi a idéia da “máquina analítica”, de concepção mais simples, porém mais potente e mais rápida. Obedecendo às instruções fornecidas pelo operador através de cartões perfurados, teria condições de executar um espectro amplo de tarefas de cálculo. Embora sem subvenções, apesar de sua pertinaz insistência junto aos órgãos públicos, Babbage trabalhou vários anos nessa nova idéia, mas também não conseguiu concretizá-la. Em 1906, seu filho H. P. Babbage, depois de completar parcialmente a máquina, obteve por meio dela a expressão do número π com 29 algarismos – um feito modesto, mas que revelava uma centelha a ser avivada.

image Somente no século passado, em 1944, ficaria pronto o primeiro computador programável – o Harvard Mark I Calculator – inspirado na máquina de Babbage. Com cerca de 15m de comprimento e 2,5m de altura, o Mark I continha nada menos que 750.000 componentes ligados por 80.400m de fio. Sua complexidade técnica justificavas palavras do Professor Howard H. Aiken, seu construtor, segundo as quais Babbage fracassara são devido ao seu projeto, mas “porque lhe faltavam máquinas operatrizes, circuitos elétricos e ligas metálicas” tão essenciais nos modernos computadores.

Se para alguns de seus contemporâneos a máquina analítica de Babbage pareceu uma loucura, hoje pode-se dizer que foi um grande sonho que se tornou a realidade tecnológica de maior alcance do mundo moderno.

Texto de Hygino H. Domingues


Veja mais:

A História do Computador e Alguns Matemáticos que Contribuíram para seu Desenvolvimento
Breve Cronologia de PI
Introdução à Estrutura e Funcionamento de um Sistema Informático (Computador)

15 de abr de 2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 5)

Esta talvez seja a construção mais conhecida da Razão Áurea e consiste em inscrever um quadrado numa semicircunferência. A razão entre os segmentos AC e AB é a Razão Áurea.

Como já temos o segmento AB, vamos escrever o segmento AC em função de AB. Como o quadrilátero ABDE é um quadrado por construção, temos que AB = BD. Pelo teorema pitagórico, temos que:

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Vejam que o segmento AC = OC + AO. Desta forma temos:

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13 de abr de 2011

O teorema de Pitágoras, segundo Euclides – A proposição $I-47$

A Proposição $47$ do Livro $I$ dos Elementos de Euclides trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, o conhecido como Teorema de Pitágoras. Veremos neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.



Proposição $I-47$

Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.



O cerne da demonstração consiste em estabelecer a igualdade entre o retângulo $BDLM$ e o quadrado $ABFG$.

Vejam que o triângulo $ABD$ e $BCF$ são iguais, pois os dois triângulos têm dois lados iguais com ângulos iguais e estes são a metade do retângulo $BDLM$. Esta igualdade entre triângulos já havia sido previamente estabelecida na proposição $I-4$ de seus Elementos:

Proposição $I-4$

Se dois triângulo tem dois lados iguais a dois, respectivamente, e se o ângulo contido por estes dois lados forem iguais, então eles também têm suas bases iguais. Consequentemente os triângulos serão iguais e os ângulos restantes também serão.



Numa perspectiva moderna, a igualdade dos triângulos se dá pelo fato de que eles se deduzem um do outro por uma rotação de $90^\circ$. Mas de que modo Euclides justifica que o retângulo $BDLM$ seja o duplo do triângulo $ABD$?

Euclides utilizou-se de outra proposição já estabelecida num teorema mais geral, onde combina triângulos e paralelogramos:

Proposição $I-41$

Se um paralelogramo tem a mesma base que um triângulo e estes estão na mesma paralela, então o paralelogramo é o dobro do triângulo.



Unindo $AL$, então os triângulo $ABC$ e $EBC$ tem mesma área, cujas bases $BC$ são iguais e estão nas mesmas paralelas $BC$ e $AE$. Logo $BCE$ é a metade de $ABCD$.

Para a prova deste teorema, Euclides une a diagonal $AC$, construindo o triângulo $ABC$, que também tem $BC$ como base, e enuncia duas asserções:

$1)$ Os triângulos $ABC$ e $EBC$, por terem mesma base e estarem nas mesmas paralelas são iguais.

$2)$ O triângulo $ABC$ é a metade do paralelogramo $ABCD$, porque $AC$ é a diagonal e porque a diagonal de um paralelogramo o divide em duas partes iguais.

Esta afirmação advém de outra proposição:

Proposição $I-34$

Em áreas paralelogrâmicas os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e a diagonal divide as áreas e, partes iguais.



Desta forma, temos que provar que a $I-41$ se aplica na $I-47$. Vamos tomar o quadrado $ABFG$ e o triângulo $BCF$. Por construção $ABFG$ é um quadrado, logo os segmentos $BF$ e $AG$ são paralelos, assim como no retângulo $BDLM$ os segmentos $BD$ e $LM$ também são.

Basta, então, mostrar que o vértice c está sobre o prolongamento de $GA$. Euclides observa:

“Uma vez que cada um dos ângulos sob $BAC$ e $BAG$ é reto, relativamente à reta $BA$, os dois segmentos $AC$ e $AG$, não posicionados do mesmo lado, formam ângulos adjacentes iguais a dois retos. Portanto, $CA$ também está alinhado a $AH$”.

Desta forma, concluímos que o quadrado $ABFG$ tem a mesma base do triângulo $BCF$ e estão na mesma paralela $GC$. Daqui vem que o quadrado $ABFG$ é o duplo do triângulo $BCF$. Mas os triângulos $BCF$ e $ABD$ são iguais, o que nos leva à igualdade entre o quadrado $ABFG$ e o retângulo $BDLM$.

De modo análogo provamos que o quadrado $ACKH$ é igual ao retângulo $CELM$.

Assim, a reunião dos retângulos $BDLM$ e $CELM$ constituem o grande quadrado $BDEC$ sobre a hipotenusa $BC$, e este haverá de ser igual aos dois quadrados $ABFG$ e $ACKH$.

Referências:

[1] Revista Scientific American – A Ciência na Antiguidade, Nº 3
[2] Os Elementos - Euclides - Tradução de Irineu Bicudo - Ed. Unesp
[3] ttp://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html

Veja mais:

Os Elementos de Euclides
O teorema de Pitágoras baseado nas relações métricas da circunferência
Uma demonstração do teorema pitagórico segundo Euclides no blog TICs na Matemática
Provas do Teorema de Pitágoras no Blog Fatos Matemáticos Parte 1, 2, 3, 4, 5



5 de abr de 2011

Poema de Amor Matemático

Do século IX ao fim do século XI, as ciências nas regiões do Islã eram expressas quase exclusivamente em língua árabe. A partir do século XII, foram forjadas terminologias científicas em persa e no hebreu. Entretanto, a prosa foi a expressão científica majoritária nas três línguas na terra do Islã.

A poesia gozava de prestígio nas diferentes camadas sociais do império e os cientistas não tardaram a se interessar por ela, como objeto de estudo e como meio de expressão ou instrumento pedagógico.

Esse bilhete amoroso sob forma de um enigma versificado está no fim de uma epístola extremamente séria do não menos sério matemático de Marrakech (Cidade do sudoeste de Marrocos), Ibn Al-Banna:

Três sétimos do coração para seu olhar.

Um sétimo é oferecido para a rosa de suas bochechas.

Um sétimo e a metade de um sétimo e o quarto,

Pela recusa de um desejo insatisfeito.

Um sétimo e um sexto de um quarto são a parte dos seios bem redondos

Que me recusaram ao pecado do meu abraço e me empurraram

O resto, que está em cinco partes, e pelas palavras dela,

Que estancariam minha sede se tivesse sido escutadas.

Se considerarmos x o coração inteiro, podemos equacionar este poema da seguinte forma:

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Resolvendo a equação em x, obtemos:

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Referências:

[1] Scientific American – Edição Especial Nº11 - Etnomatemática


3 de abr de 2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 4)

Esta é uma construção de com sobreposição de circunferências. Duas circunferências concêntricas de raios r e 2r sobrepõem-se a outras duas circunferências concêntricas idênticas, de tal modo que o centro das duas primeiras seja um ponto da circunferência menor da segunda. Unindo com um segmento de reta os pontos de intersecção entre as duas circunferências menores e prolongando-a até o ponto de intersecção das circunferências maiores, obtemos que a razão entre AC e AB é a razão áurea, obtendo PHI.

image [Figura 1]

O problema se resume em determinar as medidas dos segmentos AC e AB. Para isso, considere a figura abaixo:

image [Figura 2]

Vamos determinar primeiramente o comprimento do segmento DB = AD. Considere o triângulo retângulo O2BD. Pelo teorema pitagórico, temos que:

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Para determinarmos o comprimento do segmento DC, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo O2CD:

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O comprimento AC é dado por:

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A razão áurea é dada por:

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Esta construção foi desenvolvida por Kurt Hofstetter em 2002 e publicada no Forum Geometricorum, volume 2 em 2002.


Veja mais:

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3)

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