25/02/2012

O Problema Da Doação Dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

O Sr. Antônio tem um terreno com uma área de 1000m2 e decidiu doar uma parte do terreno. Pôs um anúncio nos jornais com endereço (rua, bairro, cidade e estado) com a seguinte redação:

Sou proprietário de um terreno com 1000m2 e decidi doar uma parte do terreno para aquele que conseguir separar dois terrenos em forma retangular, de tal forma que as medidas dos lados sejam expressas por números inteiros e, além disso, a diagonal de cada terreno tenha 50m. Pergunta-se: qual deve ser a área e o perímetro de cada terreno?

Resolução:

As figuras abaixo mostram as duas áreas retangulares:

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As fórmulas de Euclides são:

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Propriedades das fórmulas de Euclides:

1) Só geram ternos pitagóricos primitivos, ou seja, mdc(x, y) = 1;

2) x > y e de paridades opostas, ou seja, um par e outro ímpar;

3) A hipotenusa c é sempre ímpar

4) x2 + y2 é sempre da forma 4x + 1.

Como c é sempre ímpar, e 50 é par, vamos multiplicar as fórmulas de Euclides por um número k (par), a fim de que c seja par:

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Regra para achar o valor de k:

Etapa 1: Ache os divisores (D) de 50 no intervalo: 1 < D < 50. Assim, os divisores de 50, no intervalo, são: 2, 5, 10 e 25.

Etapa 2: Divida 50 pelos divisores encontrados e escolha o(s) quociente(s) da forma 4x + 1 e o divisor vamos designar por k.

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Portanto, existem dois ternos pitagóricos cuja hipotenusa assume valor c = 50, para k = 2 e para k = 10.

Para k = 2, temos: 25 = 42 + 32, x = 4 e y = 3, obtém-se:

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Assim:

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Para k = 10, temos: 5 = 12 + 22, x = 2 e y = 1, obtém-se:

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Assim:

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Desta forma, para o 1º terreno, temos:

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Para o 2º terreno, temos:

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Conclusão

Para que “ensinar”, nas escolas “chatas” da vida, como encontrar ternos pitagóricos e deduzir as fórmulas de Euclides, sem mostrar nenhuma aplicação prática? Parafraseando o professor A. P. Ricieri, talvez o caro leitor responda: se pensar nessa pergunta baseando-me naquilo que me “ensinaram” nas escolas, afirmaria: para nada! No entanto, pensando melhor sobre o assunto, responderia: para ser cobrada nas provas! Porém, meditando compenetradamente no tema, diria: taí algo que realmente não sei?

Não sei se você, caro leitor, que está frequentando ou já frequentou a escola do Ensino Médio, concorda com a resposta. Sinceramente, concordo. Concordo, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Médio (antigo científico), em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação dos ternos pitagóricos.

Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso e útil aquilo que estão aprendendo! Diante do exposto, pode-se afirmar que:

a) a aversão que o aluno tem à matemática decorre da distância que o Ensino Fundamental e Médio guarda da realidade em que vive;

b) já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidades do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a versão à matemática;

c) toda a matemática do Ensino Fundamental e Médio é importante para a vida do aluno, mas da forma como é “ensinada” não serve para muita coisa.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog.


Veja mais:

Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides – A Proposição I-47
Quantos Números Primos Existem?
Deserto Entre Números Primos

22/02/2012

Retificação da Circunferência (Parte 4)

Ficou provado que é impossível a construção de um quadrado com mesma área que um círculo utilizando instrumentos euclidianos. O que conseguimos são somente boas aproximações. Encontrar um segmento de reta que aproxime $\pi$ também mobiliza muitos matemáticos.

Este método que apresento aqui foi desenvolvido por mim e aproxima $\pi$ em duas casas decimais, levando ao valor de $3,14093$. Vamos ver como se constrói este segmento.

Construção

$1)$ Inicie a construção num eixo ortogonal $xOy$;

$2)$ Descreva a circunferência $C_1$ de centro $O$ e raio $1$ e marque os ponto $A$ e $B$ na intersecção com as retas $Ox$ e $Oy$, respectivamente;

$3)$ Descreva a circunferência $C_2$ de centro $O$ e raio $2OA = 2$ e marque o ponto $C$ na intersecção com a reta $Ox$;

$4)$ Trace a bissetriz do ângulo $AOB$. Assim o ângulo $\theta=45°$;

$5)$ Suba a perpendicular ao eixo $x$ por $C$ e marque o ponto $M$ na intersecção com a bissetriz;

$6)$ Descreva um arco de raio $OM$ centrado em $O$ e marque o ponto $D$ na intersecção com a reta $Ox$;

$7)$ Construindo sucessivas mediatrizes convenientes, encontramos o ponto $P$ em $Oy$ de modo que $OP$ seja $5/16$ do raio de $C_1$;

$8)$ Com raio $OP$ e centro em $D$, descreva um arco marcando o ponto $E$ na intersecção com $Ox$.

$9)$ O Segmento $OE$ aproxima $\pi$ em $3,14093$.

Demonstração


Como o ângulo $\theta=45°$ e $CM$ é ortogonal ao eixo $x$, temos que $OC = CM = 2$. Assim:
\begin{matrix}
OM^2=OC^2+CM^2\\
OM^2=4+4\\
OM=2\sqrt{2}
\end{matrix}
Vejam que $OM = OD$. O segmento $OE = OD + DE$. O segmento $OD$ já encontramos e o segmento $DE = OP = 5/16$. Assim:
\begin{matrix}
OE=OD+DE\\
OE=2\sqrt{2}+\frac{5}{16}\\
OE=3,14093 \cong \pi
\end{matrix}

Veja mais: 

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Retificação da Circunferência (Parte 3) - Método de Gelder

21/02/2012

Nome de Matemáticos nas Ruas de São Paulo

Motivado pelas belas ruas parisienses que foram nomeadas em homenagem a grandes matemáticos e físicos, abaixo segue algumas outras ruas localizadas na Zona Leste de São Paulo, no bairro de Artur Alvim, não tão belas, não tão limpas e organizadas, mas traz grandes nomes das Ciências, onde matemáticos e físicos se encontram e se cruzam. A dica da existência dessas ruas foi dada pelo leitor Tavano.

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Por exemplo, na esquina da Rua Max Planck com a Rua Pitágoras, encontramos um estabelecimento comercial com um nome interessante:

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Outro fato curioso é esta placa da Rua Leonhard Euler. Veja que os números dos limites da quadra são dois números primos: 29 e 107:

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Esta placa da Rua Newton também tem sua particularidade: veja o número 33 do prédio que aparece ao lado da placa. Coincidentemente, Sir Isaac Newton manteve por 33 anos seus cargos ilustres na ciência e na administração pública:

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Apesar de não encontrar uma residência sob número 345 na Rua Pitágoras, se digitarmos este endereço no Google Maps, o software diz que existe este lugar.

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Veja abaixo as ruas organizadas em ordem alfabética. Clicando na letra G, você será direcionado à página do Google Maps.

Ruas de São Paulo com nomes de Matemáticos e Físicos:

Rua Arquimedes G

Rua Auguste Laurent G

Rua Augustin Louis Cauchy G

Rua Blaise Pascal G

Rua Brook Taylor G

Rua Carlos Finlay G

Rua Cláudio Ptolomeu G

Rua Diofanto G

Rua Enrico Fermi G

Rua Evariste Galois G

Rua Gaspard Monge G

Rua Georg Riemann G

Rua Girolamo Cardano G

Rua Henri Poincaré G

Rua Isaac Newton G

Rua Jean Baptiste D'alembert G

Rua John Neper G

Rua Joseph Louis Lagrange G

Rua Karl Friedrich Gauss G

Rua Karl Gustav Jacobi G

Rua Leonardo De Pisa G

Rua Leonhard Euler G

Rua Marquês De Laplace G

Rua Max Planck G

Rua Nicolo Tartáglia G

Rua Pierre Fermat G

Rua Pierre Janssen G

Rua Pitágoras G

Rua René Descartes G

Rua Tales De Mileto G

 


Veja mais:

Nome de Matemáticos nas Ruas Parisienses
O Grande Metrô das Ciências
Períodos Matemáticos

19/02/2012

Nomes de Matemáticos nas Ruas Parisienses

Existem cerca de 100 ruas, praças, avenidas e parisienses com nomes de grandes matemáticos, claro que muitos deles são franceses.

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Por exemplo, há uma região, próximo à Avenue Marceau, a cerca de 300 metros do Arco do Triunfo, onde os grandes matemáticos Newton, Galileu e Euler se reúnem.

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[Rua Newton]

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[Rua Euler]

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[Rua Galileu]

Um fato interessante e até surpreendente é que não há uma rua em Paris com o nome do matemático Fourier. A rua em que ele nasceu em Auxerre, em sua homenagem, teve o nome alterado para após sua morte.

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Selecionei algumas ruas e gerei algumas imagens com as placas das ruas, onde podemos ver um pouco da bela arquitetura da cidade.

image [Cruzamento das Ruas Galileu e Kepler]

image [Hotel Kepler]

image [Rua Viéte]

image[Rua Fermat] 

image [Rua Foucault]

image [Rua Abel]

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[Rua Lagrange]

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[Rua Laplace]

O site Mairie de Paris conta a história de todos os nomes de ruas parisienses. Abaixo segue as ruas por ordem alfabética. Clicando na letra na letra M você poderá ver mais detalhes. Se quiser, utilize algum tradutor, como o Google tradutor para ler a página em português. Clicando na letra G você será direcionado para o Google Maps, mostrando a localidade de cada rua.

Ruas Parisienses com nomes de Matemáticos:

A
Rue Abel (12th Arrondissement) M G
Rue Ampère (17th Arrondissement) M G
Avenue Paul Appell (14th Arrondissement) M G
Boulevard Arago (13th Arrondissement) M G
Square Arago (13th Arrondissement) M G
Rue Antoine Arnauld (13th Arrondissement) M G
Square Antoine Arnauld (13th Arrondissement) M G

B
Rue Bernoulli (family!) ( 8th Arrondissement) M G
Rue Bezout (14th Arrondissement) M G
Rue Biot (17th Arrondissement) M G
Rue Borda ( 3rd Arrondissement) M G
Rue Émile Borel (17th Arrondissement) M G
Square Borel (17th Arrondissement)
Rue Charles Bossut (12th Arrondissement) M G
Rue de Broglie (13th Arrondissement) M G
Rue Buffon ( 5th Arrondissement) M G

C
Avenue Carnot (Lazare) (17th Arrondissement) M G
Boulevard Carnot (Lazare) (12th Arrondissement) M G
Villa Sadi Carnot (19th Arrondissement) M G
Rue Cassini (14th Arrondissement) M G
Rue Cauchy (15th Arrondissement) M G
Rue Michel Chasles (12th Arrondissement) M G
Rue Nicolas Chuquet (17th Arrondissement) M G
Rue Clairaut (17th Arrondissement) M G
Rue Clapeyron ( 8th Arrondissement) M G
Cité Condorcet ( 9th Arrondissement) M G
Rue Condorcet ( 9th Arrondissement) M G
Rue Coriolis ( 8th Arrondissement) M G
Rue Cournot (15th Arrondissement) M G

D
Rue d'Alembert (14th Arrondissement) M G
Rue Gaston Darboux (18th Arrondissement) M G
Rue Delambre (14th Arrondissement) M G
Square Delambre (14th Arrondissement) M G
Rue Deparcieux (14th Arrondissement) M G
Rue de Prony (17th Arrondissement) M G
Rue Desargues (11th Arrondissement) M G
Rue Descartes ( 5th Arrondissement) M G

E
Rue Esclangon (18th Arrondissement) M G
Rue Euler ( 8th Arrondissement) M G

F
Passage Fermat (14th Arrondissement) M G
Rue Fermat (14th Arrondissement) M G
Rue Foucault (16th Arrondissement)  M G
Rue Francoeur (18th Arrondissement) M G
Rue Fresnel (16th Arrondissement) M G

G
Rue Galilée (Galileo) (16th Arrondissement) M G
Rue Évariste Galois (20th Arrondissement) M G
Rue Gassendi (14th Arrondissement) M G
Rue Sophie Germain (14th Arrondissement) M G

H
Rue Charles Hermite (18th Arrondissement) M G
Rue Huygens (14th Arrondissement) M G

K
Rue Kepler (17th Arrondissement) M G

L
Rue La Condamine (17th Arrondissement) M G
Rue Lagrange ( 5th Arrondissement) M G
Rue Gabriel Lamé (12th Arrondissement) M G
Rue Laplace ( 5th Arrondissement) M G
Rue Le Verrier ( 6th Arrondissement) M G
Passage Legendre (17th Arrondissement) M G
Rue Legendre (17th Arrondissement) M G
Rue Leibniz (18th Arrondissement) M G
Square Leibniz (18th Arrondissement) M G
Rue Léonard de Vinci (16th Arrondissement) M G
Rue Joseph Liouville (15th Arrondissement) M G

M
Rue Malebranche (5th Arrondissement) M G
Rue Malus ( 5th Arrondissement) M G
Place Monge ( 5th Arrondissement) M G
Rue Monge ( 5th Arrondissement) M G

N
Rue Navier (17th Arrondissement) M G
Rue Newton (16th Arrondissement) M G

P
Place Paul Painlevé ( 5th Arrondissement) M G
Rue Papin ( 3rd Arrondissement) M G
Rue Pascal (5/13 Arrondissement) M G
Rue Henri Poincaré (20th Arrondissement) M G
Rue Poinsot (14th Arrondissement) M G
Rue Denis Poisson (17th Arrondissement) M G
Passage Poncelet (17th Arrondissement) M G
Rue Poncelet (17th Arrondissement) M G

R
Rue Roberval (17th Arrondissement) M G

S
Rue Serret (15th Arrondissement) M G

T
Rue Tisserand (15th Arrondissement) M G
Rue Torricelli (17th Arrondissement) M G

V
Rue Vernier (17th Arrondissement) M G
Rue Viète (17th Arrondissement) M G



Veja mais:

Períodos Matemáticos
O Grande Metrô das Ciências
Poema de Amor Matemático

12/02/2012

Como estimar a distância que um raio caiu?

Veremos nesta postagem, como calcular a distância que um raio caiu usando apenas conceitos muito simples de física envolvendo a fórmula da velocidade média.

Para que uma onda sonora se propague é necessário que haja um meio material. Em comparação com a velocidade da luz, aproximadamente $300.000\ km/s$, a velocidade do som é muito menor em qualquer meio considerado. Um exemplo dessa diferença entre a velocidade da luz e do som pode ser observado em uma tempestade, pois observamos primeiro a luz do relâmpago e um tempo depois ouvimos o ruído do trovão.

A velocidade de propagação do som é maior no meio sólido do que no líquido e maior no líquido do que no gasoso. A velocidade do ar a $20^\circ C$ é de aproximadamente $340\ m/s$; na água, $1.500\ m/s$ e no ferro é de $5.100\ m/s$.

A velocidade de propagação das ondas sonoras varia de acordo com as características do meio, que depende de outros fatores, mas principalmente da temperatura. Por exemplo os gases, por serem bastante compressíveis, a velocidade do som aumenta com a elevação da temperatura. A agitação molecular devido à elevação da temperatura facilita a propagação das ondas sonoras, causando um aumento na velocidade do som.

Durante um tempestade, partículas de gelo e gotículas de água atritam-se com as nuvens, produzindo duas camadas: uma com carga elétrica positiva e outra com carga elétrica negativa, onde uma ou outra pode ficar acima ou abaixo. Assim, as cargas elétricas acumulam-se nas nuvens até que condições para o escoamento entre duas camadas surjam.

Inicialmente, ocorre o escoamento entre duas camadas de uma mesma nuvem ou entre camadas de uma nuvem para a camada oposta de outra nuvem. Percebemos este escoamento como um clarão cortando o ar com trajetórias sinuosas e de ramificações irregulares. Esse fenômeno é chamado Relâmpago. Simultaneamente ocorre uma descarga elétrica que chamamos de Raio, em que a atmosfera se torna condutora de eletricidade.

A temperatura que um raio produz em sua trajetória é cerca de $5$ vezes a temperatura do Sol, que, em sua superfície, é de aproximadamente $5.500^\circ C$. Logo, os raios podem produzir temperaturas de $20.000^\circ C$ a $30.000^\circ C$, ocasionando um superaquecimento no ar seguido de uma expansão do ar e uma onda sonora que conhecemos como trovão. Desta forma, temos:

Raio:

É o nome dado à descarga elétrica que ocorre entre dois pontos adquirindo uma diferença de potencial;

Relâmpago:


É o nome dado à luz emitida pela ionização do ar durante a descarga elétrica;

Trovão:

É o nome dado às ondas sonoras produzidas.

Para estimarmos a distância que um raio caiu de nós, precisamos saber o tempo gasto até que percebemos o trovão. Temos que cronometrar esse tempo, iniciando quando observamos a descarga elétrica. Esse tempo será expresso por $t$, em segundos. O tempo gasto pela observação do raio é desprezado, levando em conta somente a velocidade do som. Assim, temos que a velocidade do som no ar a $20^\circ C$ é de aproximadamente $340\ m/s$.

Para estimarmos a distância que um raio caiu, utilizamos a fórmula que relaciona velocidade média em relação ao deslocamento em num tempo $t$. Assim:
\begin{equation*}
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\
\ \\
\Delta x = v \cdot \Delta t
\end{equation*}
onde $v$ é a velocidade média do som, cerca de $340\ m/s$ e $t$ é o tempo entre o relâmpago e o trovão, em segundos.

Exemplo:

Supondo que numa dessas tardes tempestuosas observamos um raio cortando o céu. Então, iniciamos uma contagem do tempo gasto até que percebemos o trovão, encontrando $6\ s$. Assim:
\begin{equation*}
\Delta x = 340 \cdot 6 = 2.040\ m
\end{equation*}
Desta forma, caso escutemos um trovão após $6\ s$ da visualização de um raio, a distância aproximada onde o raio caiu foi de $2.040\ m$ ou cerca de $2\ km$.

Observação: quando iniciamos a contagem, devemos iniciar do zero, ou seja, quando visualizamos o relâmpago, simultaneamente, iniciamos a contagem: $0$, $1$, $2$, $\cdots$ e paramos quando ouvimos o trovão.

Não é um cálculo preciso, pois temos que levar em conta nossa reação em iniciar a contagem, ou em pressionar o botão de um cronômetro (para iniciar e para pausar), precisão dos instrumentos utilizados (ou nossa mente, no caso de cálculo mental), o valor correto para a velocidade do som, ... mas é uma boa estimativa para uso doméstico.

Referências:

[1] Física V3 Aula por Aula – Xavier & Benigno

Veja mais:

Prismas Ópticos
Calor Específico dos Sólidos
A Matemática da Câmara Fotográfica
As Limitações da Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade





10/02/2012

O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer. Neste post, veremos como determinar a fórmula e provar o teorema.

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Um pouco de história

Matthew Stewart nasceu no ano de 1717 em Rothesay, na parte inferior do Firth of Clyde, na Escócia, numa pequena ilha chamada Ilha Bute.

Educado em Rothesay Grammar School, entrou na Universidade de Glasgow em 1734, onde estudou com o filósofo Francis Hutcheson e o matemático Robert Simson, com quem estudou a geometria antiga.

A amizade entre Stewart e Simson foi em parte pela admiração mútua de Pappus de Alexandria, resultando comunicações curiosas em relação ao De Locis Planis, de Apolônio de Perga e o Porisms de Euclides, por longos anos. Estas correspondências sugerem que Stewart passou várias semanas em Glasgow, iniciando em 1713 como auxiliar de Simson na produção de seu Apollonii Locorum Planorum Libri II, publicado em 1749.

Aproximadamente nesta mesma época, seu pai, o Reverendo Dugald Stewart, então Ministro de Rothesay, persuadiu Matthew Stewart a entrar para o ministério, sendo aceito pelo Presbitério de Dunoon em maio de 1744, tornando-se ministro em Roseneath, Dumbartonshire, um ano depois.

Porém, antes de iniciar sua carreira no ministério, Stewart participou de palestras de Colin Maclaurin na Universidade de Edimburgo, durante as sessões de 1742 e 1743.

Com a morte de Maclaurin em 1746, sua cadeira ficou vaga e pouco mais tarde, Stewart deixou o ministério para tornar-se professor de matemática. A publicação de sua obra mais famosa: Some General Theoremes of Considerable Use in the Higher Parts os Mathematics, pode ter ajudado a garantir o posto.

Esse livro, estende algumas idéias de Simson e trás a conhecida Proposição II, que hoje é conhecida como o Teorema de Stewart, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo e o comprimento de uma ceviana dada.

Stewart também forneceu uma solução para o problema de Kepler, em 1756, usando métodos geométricos. Em 1761 descreveu o movimento dos planetas e a perturbação causada por um outro planeta. Em 1763 forneceu um suplemento sobre a distância entre o Sol e a Terra. Em 1772 sua saúde começou a deteriorar-se e faleceu em 23 de janeiro de 1785. Suas atividades como professor em Edimburgo foram assumidas por seu filho Dugald Stewart, que em breve tornara-se um proeminente filósofo escocês.

O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer.

Recordando, ceviana é todo seguimento de reta que tem um das extremidades num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao vértice.

Teorema: Seja um triângulo ABC qualquer, cujos lados medem a, b e c. Seja d uma ceviana e D o ponto pertencente à reta suporte. O teorema de Stewart afirma que:

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Vamos fazer duas demonstrações deste teorema:

Demonstração 1: Considere o triângulo abaixo:

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Do triângulo BCD, temos que:

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E também:

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Substituindo (2) em (1), obtemos:

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Do triângulo ACD, temos que:

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E também:

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Substituindo (5) em (4), obtemos:

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Podemos montar um sistema de equações utilizando as relações (3) e (6):

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Agora, multiplicamos a primeira equação por m e a segunda equação por n, obtendo:

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Somando as duas equações termo a termos, resulta:

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No entanto, temos que:

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Desta forma, substituímos (8) em (7) obtendo a demonstração do teorema:

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Demonstração 2: Considere o triângulo abaixo:

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Seja θ o ângulo formado pelos segmentos m e d e θ' o seu suplemento. Desta forma, temos que cos(θ) = – cos(θ'). Pela lei dos cossenos, temos que:

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Multiplicamos a primeira equação por n e a segunda por m, podemos eliminar os termos que contém cos(θ):

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Somando as equações membro a membro, obtemos:

clip_image040[1]

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No entanto, c = m + n. Logo:

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Assim, conseguimos provar o Teorema de Stewart de duas maneiras elegantemente diferentes.

Exemplo: Vamos ver um exemplo clássico da aplicação do Teorema de Stewart: Sejam 3 circunferências tangentes duas a duas inscritas em uma quarta circunferências tangente às três primeiras. Calcular o raio x, conforme mostra a figura abaixo:

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Do triângulo ABC, podemos construir as seguintes relações:

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Aplicamos o Teorema de Stewart:

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Que é o raio procurado.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart%27s_theorem
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Matthew_Stewart_%28mathematician%29
[4] http://www.gap-system.org/~history/Extras/Gibson_history_10.html


Veja mais:

O Teorema de Stevin 
Teorema da Base Média de um Triângulo
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - Proposição I-47

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