02/02/2012

O Teorema de Stevin

Um pouco de história

Simon Stevin (1548 – 1620) nasceu em Burges, Flandres, atual Bélgica. Filho ilegítimo de ricos cidadãos flamengos iniciou sua carreira profissional como coletor de impostos. Depois dos vinte anos de idade viajou pela Noruega, Polônia e Prússia e, na volta, estabeleceu-se na atual Holanda

image Em 1581 passou a estudar em Leiden e dois anos depois entrou para a universidade local na qual, após formar-se, passou a ensinar matemática. Em 1585 publicou De thiende, de grande influência na engenharia, na prática comercial e na notação matemática e de grande popularidade na época.

Em 1593 foi nomeado para um importante posto no exército holandês, por ordem do príncipe De Nassau, o que contribuiu para se tornar um grande engenheiro militar e assumir outros postos importantes no governo até sua morte, em Haia.

Sua contribuição científica ao desenvolvimento da mecânica também foi notável. Na sua obra destacam-se três importantes publicações, todas editadas em Leiden e em holandês, em 1586: Princípios de estática, uma espécie de continuação dos trabalhos de Arquimedes (teoria da alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados), Aplicações de estática e Princípios de hidrostática, uma importante contribuição ao estudo da hidrostática, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de corpos mergulhados em água e a explicação do paradoxo da hidrostática - a pressão de um líquido independe da forma do recipiente, depende apenas da altura da coluna líquida. Muitos consideram que ele fundou a ciência da hidrostática com este trabalho, mostrando que a pressão exercida por um líquido sobre uma dada superfície depende da altura do líquido e da área da superfície. Influenciado pelas teorias de Da Vinci, pesquisou o comportamento hidrostático das pressões, divulgando o princípio do paralelogramo das forças.

Ele foi também o primeiro a constatar que dois corpos de pesos diferentes, ao serem soltos ao mesmo tempo, chegam ao solo simultaneamente. (Essa experiência costuma ser atribuída a Galileu que, no entanto, apenas a analisou melhor.)

Stevin dedicou-se ainda a diversas outras áreas do conhecimento: calculou a declinação magnética (diferença angular entre o pólo norte magnético e o pólo norte geográfico) em diversos locais; demonstrou geometricamente a impossibilidade de funcionamento de um moto-perpétuo (dispositivo mecânico que se acreditava poder trabalhar infinitamente sem requerer energia); traduziu obras gregas; além disso, projetou o primeiro veículo com tração dianteira: um carro movido a vela.

Sua genialidade abrangia os mais variados campos do conhecimento, pois também escreveu pequenos tratados estabelecendo aplicações práticas de alguns princípios mecânicos, sobre acampamentos e fortificações militares, eclusas e barragens, a força dos ventos e moinhos de vento, astronomia copernicana, direitos civis e escalas musicais.

Não se conhece a data exata da sua morte. Consta apenas que se casou consideravelmente tarde, com 64 anos de idade, e que deixou quatro filhos.

A Teoria

Os corpos imersos em um líquido ficam sujeitos à pressão exercida por este líquido em todas as direções. Para calcular esta pressão, usamos o Teorema de Stevin. Vamos ver neste post como determinar a fórmula para este cálculo.

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Primeiramente, vamos considerar a situação em que um líquido homogêneo encontra-se em equilíbrio num recipiente cilíndrico de altura h, com área da base igual a A e um volume V igual a:

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Levando em consideração que o líquido se encontra em equilíbrio, a força trocada com o fundo do recipiente tem a mesma intensidade que p peso do líquido, portanto:

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A pressão p exercida pelo líquido no fundo do recipiente será:

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No entanto, F = P, que é o peso do líquido, dado por:

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Assim, a relação (3) fica:

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A densidade do líquido é definida pelo quociente entre sua massa e o seu volume, medindo o grau de concentração de massa em determinado volume. Assim, a densidade d é dada por:

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Levando as relações (1) e (6) na relação (5), obtemos:

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Podemos perceber que a pressão de um líquido sobre um corpo não depende das características do corpo.

Se tivermos então um recipiente cilíndrico totalmente cheio, devemos considerar que a pressão atmosférica patm age sobre a superfície livre do líquido em equilíbrio. Portanto, neste caso, a pressão p exercida num ponto qualquer da base do recipiente é determinada pela soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de líquido. Assim:

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Se quisermos calcular a variação de pressão entre dois corpos M e N, situados no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio, tomamos a diferença de profundidade entre eles como Δh.

imageEntão, é possível deduzir que a diferença de pressão Δp entre esses corpos será determinada por:

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Se os corpos M e N pertencerem ao mesmo plano horizontal, teremos:

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Portanto, não há diferença de pressão entre dois corpos imersos em um líquido homogêneo e em equilíbrio que estejam no mesmo plano horizontal.

Vamos esboçar um gráfico onde temos a pressão p em função da profundidade h:

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Podemos ver que, se a profundidade é zero, ou seja, o corpo encontra-se na superfície do líquido, a pressão sobre ele exercida será somente a pressão atmosférica.

Referências:

[1] Física V2 Aula por Aula – Xavier & Benigno
[2] http://www.geocities.ws/saladefisica9/biografias/stevin.html

Veja mais:

Equação de Clapeyron
O Teorema de Hardy-Weinberg
As Leis de Newton
Galileu e a Queda dos Corpos

9 comentários:

  1. Grande Kleber! Pra variar, mais um belíssimo trabalho sobre as grandes descobertas da Física e da Matemática!

    Hoje eu falei para os jovens, em uma de minhas aulas inaugurais, que estes caras é que deveriam ser considerados os nossos verdadeiros heróis. Triste para uma nação que se diz pretender atingir melhores níveis de desenvolvimento humano, ter que escutar um Pedro Bial, em uma rede nacional de TV, classificando de heróis os componentes do BBB. Fala sério... No que é que estas pessoas contribuem para o engrandecimento do país? Só estão atrás de fama e dinheiro!

    Vou colocar as passagens que achei mais interessantes no post:

    (1)"Ele foi também o primeiro a constatar que dois corpos de pesos diferentes, ao serem soltos ao mesmo tempo, chegam ao solo simultaneamente. (Essa experiência costuma ser atribuída a Galileu que, no entanto, apenas a analisou melhor.)"

    Eu nem sabia disso. Galileu ficou tão famoso a respeito deste fato, que mesmo nos livros de Física, não me lembro de ter lido nem uma menção de rodapé sobre a participação de Stevin neste quesito. Sempre que ele é citado, está dentro da hidrostática. Aprendi mais uma. Antes tarde...
    Seria então um bom exemplo daquele bordão popular:
    "Papagaio come milho, periquito leva a fama".

    (2)"Não se conhece a data exata da sua morte. Consta apenas que se casou consideravelmente tarde, com 64 anos de idade, e que deixou quatro filhos."

    Supõe-se que os filhos vieram ANTES do casamento, né Kleber, senão, acho que Stevin deve ter inventado também o Viagra já naquela época e não divulgou pra ninguém. Brincs :)

    Só para o post ficar perfeito:

    (1) V - Ab . h > V = A . h

    Bom...Acho que já sou suspeito pra falar, mas só quem sabe o trabalho que dá pra pesquisar estas coisas e postar é que pode entender a frase que você coloca ai em cima:
    "Seu comentário é o meu Salário!"

    Parabéns. Estes seus trabalhos feitos aqui, sem visar lucro, apenas pela paixão, deviam ser muito mais reconhecidos e valorizados, e só posso dizer:
    Obrigado por ajudar a tornar a internet um lugar onde descubro e fico orgulhoso de saber que o Brasil pode contar com tantos blogueiros como você e os nossos companheiros e parceiros. De certa forma acho que também nós, divulgadores de ciências, pelo fato de encontrarmos tantas dificuldades, somos também uma espécie de heróis.

    PS. FORA DE PAUTA:
    Que dificuldade colocar fórmulas aqui no Blogger. Pelo que eu notei, quando clico nas fórmulas, reparei que você também vai puxando imagem por imagem. Depois se você pudesse fazer esta gentileza, podia me falar qual o esquema mais fácil pra fazer isso. Outro dia, no post da resolução da questão da UNICAMP que eu fiz, usei o "Paint", Achei que no fim ficou bom, mas deu um trabalho danado. Sem falar que eu "apanhei" pra caramba pra ajustar o tamanho das imagens para que uma fórmula não ficasse com letras muito diferentes umas das outras. Enfim...Tudo pela ciência.

    Abraço

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    Respostas
    1. A história das ciências é muito legal. Eu particularmente acho fundamental saber como as idéias foram evoluindo ou mesmo de uma forma mais compacta, saber um pouco mais sobre o autor da ideia. No de correr da história, muitos cientistas tiveram ideias incríveis, mas precisaram de terceiros para revolucionaram suas ideias, para que se tornassem teoremas, ou simplesmente fizessem parte da nossa história. Graças à dedicação de historiadores, hoje podemos saber como as coisas foram acontecendo de forma cronologica e com precisão. No caso de Stevin, Galileu levou a fama. Mas isso é somente um detalhe. Talvez Galileu chegasse às mesmas ideias.

      Veja este artigo sobre Galileu: http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/01/galileu-e-queda-dos-corpos.html

      Uma definição para heroi: "Herói é uma figura arquetípica que reúne em si os atributos necessários para superar de forma excepcional um determinado problema de dimensão épica." Wikipédia

      Talvez sejamos um pouco herois sim. É um caminho difícil de trilhar, mas com a ajuda de amigos fica mais fácil e prazerozo.

      Forte abraço!

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  2. Eu fico me perguntando Kleber, por que é que todos os livros de Física não expõem seus assuntos com esta beleza e simplicidade como o artigo deste post.
    Sobre o comentário do nosso amigo:
    ""Supõe-se que os filhos vieram ANTES do casamento, né Kleber, senão, acho que Stevin deve ter inventado também o Viagra já naquela época e não divulgou pra ninguém. Brincs :)""
    kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
    Este Jairo Grossi é um piadista!
    Sobre a questão das descobertas quem leva a fama é quem mais se dedica. Existe muitos teoremas como por exemplo, a fórmula de Bhaskara que já era conhecida pelos antigos egípcios há muito tempo, embora de forma geométrica; e até mesmo as leis da mecânica que foram tanto estudados por Galileu, foi consolidada de forma Cabal por Isaac Newton,daí as 3 leis de Newton. E o próprio Cálculo cujo inventor foi Fermat, quem levou a fama?

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    Respostas
    1. Agradeço seus comentário, engrandecendo tanto meu trabalho.

      Foi uma observação interessante essa do Jairo!

      Sobre as descobertas, como disse acima para o Jairo, às vezes a partir de um embrião deixado por uma mente brilhante, vem outro e completa a teoria.

      Mas em outros casos, há os aproveitadores. Assim como pitágoras se aproveitou das descobertas de seus alunos.

      Obrigado amigo e um abraço.

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  3. Na realidade, o teorema de Pitágoras data de muito antes dos gregos... A Plimpton 322 prova isso... A semente do cálculo diferencial e integral foi inventada por Arquimedes e por aí vai... Mas o importante é que são fatos, independentes de quem os descobre...

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  4. Verdade Rycunda. Mas havia a escola pitagórica e as descobertas que ocorriam ali, geralemnte levava o nome do dele.

    Hoje ainda acontece esse tipo de coisa: auxiliares de pesquisadores em universidades descobrem algo novo, mas quem leva a fama é o próprio pesquisador.

    Um abraço.

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  5. Excelente blog!Meus parabéns pelo trabalho!

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  6. Fantástico Blog! Continue demosntrando como funciona esses teoremas, para que o mundo seja um futuro lugar de pessoas pensantes e não controladas pela burrice e preguiça como é hoje em dia!

    Att. Paulo

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  7. Texto incrível! Merece ser compartilhado em sala de aula. Parabéns!

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