27 de mar de 2012

A Descoberta de Outros Planetas e a Lei de Titius-Bode

O movimento de um planeta, além de se mover sob a ação da atração gravitacional do Sol, também é afetado pelas forças de atração exercidas pelos demais planetas, além de seus satélites, se os tiver, que perturbam as órbitas elípticas keplerianas.

Pelo fato da massa do Sol ser muitíssimo maior do que a massa de qualquer planeta, as perturbações causadas pelos planetas são muito pequenas. O planeta mais pesado, Júpiter, tem menos de um centésimo da massa do Sol. No entanto, tiveram que ser levadas em consideração conforme aumentava a necessidade de observações mais precisas.

Planetas

Uma solução exata do problema do movimento de mais de dois corpos em interação gravitacional uns com os outros é extremamente difícil. Mesmo no caso de apenas três planetas, o problema só pode ser resolvido em casos especiais extremamente restritivos. Mas soluções aproximadas são possíveis, devido ao fato de que as perturbações exercidas pelos demais planetas são muito menores do que a força atrativa do Sol, podendo ser desenvolvidas de forma sistemática constituindo o objeto do cálculo das perturbações. Este complicado problema de mecânica celeste foi tratado durante a segunda metade do século XVIII e a primeira metade do século XIX por Euler. Lagrange e Laplace. Os resultados foram um sucesso, particularmente a explicação de Laplace sobre as irregularidades observadas nos movimentos de Júpiter e Saturno.

Na noite de 13 de Março de 1781, William Herschel, músico de profissão e astrônomo amador, descobriu com seu telescópio um objeto que obviamente não era uma estrela, pois  seu diâmetro aparentemente aumentava incrementando o aumento do telescópio. Pensou a princípio que se tratasse de um cometa, mas cerca de um ano mais tarde se havia tornado claro que se tratava de um novo planeta, o primeiro descoberto desde a antiguidade. A descoberta teve grande impacto. O novo planeta, que foi chamado de Urano, tem uma órbita de raio médio igual a 19,2 U.A., aproximadamente o dobro do de Saturno. Verificou-se depois que já havia aparecido em observações bem anteriores (desde 1690), embora não reconhecido como planeta.

Entretanto, as novas observações que foram sendo feitas, juntamente com as anteriores, levavam a desvios da órbita predita pelas leis de Newton. Essas irregularidades e desvios sistemáticos, embora pequenos (da ordem de 20° de arco, em média), não podiam ser explicadas por perturbações devidas aos demais planetas conhecidos.

Tamanho era o grau de confiança nas leis de Newton, nessa época, que em 1820, Bessel já sugeriu que os desvios talvez fossem devidos a um novo planeta ainda não descoberto, mas distante que Urano.

Entretanto, para provar um tal resultado e determinar os elementos da órbita do novo planeta, era preciso resolver um problema matemático muito mais difícil do que o tratado por Lagrange e Laplace, o problema inverso de perturbações.

O primeiro a obter uma solução foi John Couch Adams, jovem matemático de Cambridge recém-formado, em Setembro de 1845. Comunicou seus resultados a John Challis, diretor do observatório de Cambridge, e ao astrônomo Real, George Airy, prevendo a posição do novo planeta em 1/101845 (com erro de < 2° nessa data). Entretanto, Airy não ficou convencido pelos resultados e houve uma série de quiproquós, em consequência da qual nenhuma tentativa de observação foi feita.

Enquanto isso, em Paris, Le Verrier, um astrônomo de reputação já estabelecida, começou a se interessar pelo problema e publicou, em Junho de 1846, um trabalho contendo conclusões semelhante às de Adams, no entanto, menos precisas. Airy recomendou então a Challis que procurasse o planeta hipotético no observatório de Cambridge. Challis fez observações nas noites de 29/7, 30/7, 4/8 e 12/8, mas só efetuou uma comparação parcial entre os resultados de 30/7 e 12/8, parando na estrela nº39. Se tivesse ido mais adiante, teria percebido que “uma estrela de 8ª grandeza”, observada em 12/8, não aparecia nos dados de 30/7 e teria descoberto o novo planeta. Mas não o fez.

Em 31/8, Le Verrier publicou outro trabalho e escreveu a Galle, astrônomo do observatório de Berlim, sugerindo que procurasse o planeta. Galle descobriu-o, a cerca de 1° da posição predita, na mesma noite em que recebeu a carta, a 23/9/1846. Verificou-se depois que o planeta já havia sido registrado em observações feitas por Lalandre no observatório em Paris 50 anos antes, mas sem que ele percebesse não se tratar de uma estrela.

A predição da existência de Netuno foi um dos grandes triunfos da história da ciência e foi aclamada como tal. Entretanto, além da “dedução pura”, interveio também um forte elemento de sorte. Com efeito, tanto Adams como Le Verrier usaram em seus cálculos uma hipótese que se revelou a posteriori injustificada, a lei de Bode, descoberta por Titius, mas publicada por Bode em 1772. Segundo essa lei, o raio médio da órbita do n-ésimo planeta (n = 1, 2, 3, …), em U.A., seria dado, para n > 2, por:

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Vejam abaixo uma comparação entre os resultados obtidos pela fórmula dada acima com os valores observados.

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Quando Bode publicou sua regra empírica, Urano ainda não havia sido descoberto, e sua descoberta 9 anos depois estava em muito bom acordo com a lei. Nenhum planeta havia sido observado na posição nº 5 da série, mas em 1801 Piazzi descobriu o planetóide Ceres, parte da faixa de cerca de 2.000 asteróides existentes entre Marte e Júpiter, supostamente resultantes da fragmentação de um planeta.

Assim, o valor de 38,8 U.A. usado por Adams e Le Verrier para o raio da órbita de Netuno estava de mais de 20% em relação ao valor real. Por coincidência, em 1846, Netuno estava na única parte de sua órbita para a qual esse erro não tinha grande importância, mas 75 anos antes ou depois ele teria invalidado totalmente os resultados.

Em 1930, C. Tombaugh descobriu Plutão, com base em irregularidades observadas na órbita de Netuno. O desvio em relação à lei de Titius-Bode é ainda maior. Até hoje não se sabe se o bom acordo com a lei de Bode até Urano tem alguma explicação ou se se trata de mera coincidência. Os raios das órbitas dos planetas, que Kepler também havia querido deduzir, dependem das condições de sua formação, e talvez estejam ligados ao problema matemático extremamente difícil e ainda não resolvido da estabilidade do Sistema Solar.

Referências:

[1] Física Básica V1 – Moysés H. Nussenzveig
Vejam um pouco mais sobre a Lei de Titius-Bode nas páginas abaixo:
[2] http://amatematicaandaporai.blogspot.com.br/2009/03/johann-elert-bode-lei-de-bode.html
[3] http://www.mat.uc.pt/~helios/Mestre/H34bode.htm


Veja mais:

Os Satélites de Júpiter a a Velocidade da Luz
A Gravitação Universal Além do Sistema Solar
A Ressonância de Laplace no blog Infravermelho
http://noveplanetas.astronomia.web.st/nineplanets.html

23 de mar de 2012

Os Satélites de Júpiter e a Velocidade da Luz

Galileu foi o primeiro a apontar o telescópio em direção às estrelas e em 1610 construiu um dos primeiros telescópios para observação de corpos celestes. A partir de suas observações, a Astronomia passou por uma revolução levando o geocentrismo à extinção.

Uma das grandes realizações de Galileu foi a descoberta de corpos orbitando o planeta Júpiter, como se fossem um modelo do sistema solar em miniatura, onde Júpiter faria o papel do nosso Sol.

imageHoje em dia, sabemos que Júpiter possui mais de 60 luas, com dimensões que variam de pequenos asteróides a pequenos planetas.

Io, Europa, Ganimedes e Callisto são as luas mais brilhantes descobertas por Galileu e em sua homenagem hoje são chamadas de Satélites Galileanos.

imageO mais interno dos 4 satélites descobertos por Galileu, Io, tem um período de aproximadamente 42,5h e é fácil determinar os instantes em que é eclipsado pelo planeta. Em 1675, o astrônomo dinamarquês Olaf Römer verificou que o intervalo entre dois eclipses consecutivos crescia quando a Terra estava se afastando de Júpiter e diminuía quando se aproximava.

image [Comparação entre a Lua da Terra e as Luas de Júpiter]

O grau de confiança nas leis de Newton, segundo as quais o período real deveria ser invariável, Römer atribuiu as variações aparentes do período a uma velocidade finita de propagação da luz, e determinou o seu valor, pela primeira vez, com o auxílio dessas observações.

image [Determinação da velocidade da luz]

O argumento de Römer está ilustrado na figura acima. Nas posições 1 e 3 em sua órbita, quando a Terra se move mantendo-se aproximadamente eqüidistante de Júpiter, o atraso na observação do eclipse, devido ao tempo que a luz leva para vir de Júpiter à Terra, é o mesmo para os dois eclipses consecutivos, de modo que medimos o período verdadeiro de Io. Na posição 2, porém, a Terra se terá afastado de Júpiter entre dois eclipses consecutivos e o intervalo aparente entre eles será maior, porque a luz tem de percorrer uma distância maior até atingir a Terra, assinalando o segundo eclipse. Analogamente, na posição 4, quando a Terra está se aproximando de Júpiter, o intervalo aparente diminui. A variação fracionária do período orbital de Io observada é igual à razão da velocidade da Terra em sua órbita à velocidade da luz, o que permitiu a Römer estimar essa velocidade, tendo obtido um valor cerca de 25% inferior ao atualmente aceito, que é de c 3 x 108 m / s.

Uma vez estabelecido o calor de c por métodos independentes, foi possível empregá-lo em sentido inverso, para estabelecer distâncias absolutas no sistema Solar, seja em termos de efeitos como os atrasos de eclipses de satélites de Júpiter, seja através dos modernos métodos de radar.

As imagens que seguem foram tiradas pelas sondas Voyager 1, Voyager 2 e Galileo e mostram o contraste das superfícies dos satélites de Júpiter que são afetadas por mudanças vulcânicas ou tectônicas.

As imagens abaixo tem resolução de 10km e cobrem uma área de aproximadamente 1.000 por 750km. Io apresenta regiões de caldeiras vulcânicas; na Europa podemos ver fendas com milhares de quilômetros; já em Ganamedes podemos observar faixas com pontos brilhantes; Caslisto apresenta enormes bacias de impactos.

imageAs imagens abaixo têm resolução de 180m e cobrem uma área de aproximadamente 100 por 75km. Em Io, orifícios de plumas vulcânicas; Europa com suas cordilheiras abundantes; Ganimedes possui terrenos fraturados e entalhados; e Calisto com erosão coberto de crateras.

imageHá muitos sites bons que tratam das Luas de Júpiter e trazem informações muito interessantes. Longe de querer fazer um estudo aprofundado, escolhi alguns somente para complementar este artigo. Caso esteja faltando alguma informação que você procure, que será perfeitamente compreensível, sugiro que façam um busca mais detalhada em outras páginas.

Referências:

[1] Física Básica V1 – Moysés H. Nussenzveig
[2] http://www.cosmobrain.com.br/res/satjup.html
[3] http://www.vssbr.com/Satelites2/Jup_Sat2.html
[4] http://www.apolo11.com/tema_astronomia_luas_jupiter.php
[5] http://www.skyandtelescope.com/observing/objects/javascript/jupiter



Veja mais:

A Gravitação Universal Além do Sistema Solar
A Astronomia e os Astrônomos da Grécia Antiga
Tamanho dos Astros e Estrelas no blog Infravermelho
A Ressonância de Laplace no blog Infravermelho

15 de mar de 2012

Panorama da História do Cálculo

Desde os tempos mais remotos o homem vem aprimorando seus métodos de analisar a natureza e expressá-la em forma de equações.

O cálculo é uma das criações supremas do pensamento humano. No cálculo combinam-se e interligam-se ideias geométricas com ideias analíticas, construindo-se instrumentos poderosos para a resolução e interpretação de problemas e fenômenos.

A resolução de determinados problemas, que só foi possível com a criação do cálculo, veio aumentar de uma forma significativa o poder da Matemática. 

[Palimpsesto Arquimedes]

Podemos dividir a evolução do Cálculo em quatro períodos principais, onde as ideias foram evoluindo e tomando forma. Abaixo segue os principais nomes que figuraram em cada período com uma pequena amostra de suas contribuições.

$1)$ Os Antigos

$\bullet$ Pitágoras $(580 – 500 a.C.)$: Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos; irracionalidade de $\sqrt{2}$.

$\bullet$ Euclides $(300 a.C.)$: Organizou a maior parte da Matemática conhecida em seu tempo; Teorema de Euclides sobre números perfeitos; infinidade de números primos. 

$\bullet$ Arquimedes $(287 – 212 a.C.)$: Determinou tangentes, áreas e volumes, essencialmente por cálculo; determinou o volume e a superfície de uma esfera; centros de gravidade; espiral de Arquimedes; calculou $\pi$.

$\bullet$ Pappus $($ século $IV)$: Centros de gravidade de sólidos e superfícies de revolução.

$2)$ Os Precursores

$\bullet$ Descartes (1596 – 1650): Considerado o descobridor da Geometria Analítica; introduziu algumas boas notações.

$\bullet$ Mersenne $(1588 – 1648)$: Agilizou o fluxo de ideias; cicloide; primos de Mersenne.

$\bullet$ Fermat $(1601 – 1665)$: Verdadeiro descobridor da Geometria Analítica; calculou e usou derivadas e integrais; fundou a Teoria dos Números; probabilidades.

$\bullet$ Pascal $(1623 – 1662)$: Indução matemática; coeficientes binomiais; cicloide; Teorema de Pascal em geometria; probabilidades; influenciou Leibniz.

$\bullet$ Huygens $(1629 – 1695)$: Catenária; cicloide; movimento circular; professor de Matemática de Leibniz (que aluno!, que professor!)

$3)$ Os Primeiros Modernos 

$\bullet$ Newton $(1642 – 1727)$: Inventou sua própria versão do Cálculo; descobriu o Teorema Fundamental; usou séries infinitas; virtualmente criou Astronomia e Física como ciências matemáticas.

$\bullet$ Leibniz $(1646 – 1716)$: Inventou uma maneira mais aprimorada do Cálculo; descobriu o Teorema Fundamental; inventou muitas notações boas; professor dos irmãos Bernoulli.

$\bullet$ Os Bernoulli $($James $1654 – 1705$, John $1667 – 1748)$: Aprenderam Cálculo com Leibniz, desenvolveram e aplicaram-no exaustivamente; séries infinitas; John foi professor de Euler.

$\bullet$ Euler $(1707 – 1783)$: Organizou e desenvolveu o Cálculo bastante extensivamente; codificou a Geometria Analítica e a Trigonometria; introduziu os símbolos $e$, $\pi$, $i$, $f (x)$, $\text{sen}(x)$, $\cos(x)$; séries e produtos infinitos; cálculo das variações; Teoria dos Números; topologia; Física-Matemática etc.

$\bullet$ Lagrange $(1736 – 1813)$: Cálculo das variações; mecânica analítica.

$\bullet$ Laplace $(1749 – 1827)$: Equação de Laplace; mecânica celeste; probabilidade analítica.

$\bullet$ Fourier $(1768 – 1830)$: Série de Fourier; equação do calor.

$4)$ Os Modernos 

$\bullet$ Gauss $(1777 – 1855)$: Iniciou o rigor na análise com provas de convergência para séries infinitas; teoria dos números; números complexos na álgebra, análise e teoria dos números; geometria diferencial; geometria não euclidiana etc.

$\bullet$ Cauchy $(1789 – 1857)$: Tratamento cuidadoso dos limites, continuidade, derivadas, integrais, séries; análise complexa.

$\bullet$ Abel $(1802 – 1829)$: Série binomial; equação do quinto grau; cálculo integral; funções elípticas.

$\bullet$ Dirichlet $(1805 – 1859)$: Convergência de série de Fourier; definição moderna de função; teoria analítica dos números.

$\bullet$ Liouville $(1809 – 1901)$: Integrais e funções elementares; números transcendentes.

$\bullet$ Hermite $(1822 – 1901)$: Transcendência de e; matrizes hermitianas; funções elípticas.

$\bullet$ Riemann $(1826 – 1866)$: Integral de Riemann; teorema do rearranjo de Riemann; geometria riemanniana; função zeta de Riemann; análise complexa.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons

Veja mais: 

Períodos matemáticos
Leibniz e as diferenciais
Ainda o Palimpsesto de Arquimedes no blog De Rerum Natura

14 de mar de 2012

O Bolo de Aniversário e o PI

Este foi o bolo de aniversário de $3$ anos de minha filha, a Sofia. Como se vê, foi feito em uma assadeira circular, cujo diâmetro mede $26cm$. Foi colocado sobre um prato circular de vidro, coberto por confeitos de chocolate circulares e envolvido por tubinhos cilíndricos de chocolate. Só por estes motivos já podemos ver $\pi$ em muitos lugares.


Uma curiosidade durante a sua confecção foi a aplicação de conceitos básicos de matemática. Depois que o bolo foi assado, recheado e passado a cobertura de chocolate, minha querida sogra Luiza quis enfeitá-lo ainda mais utilizando esses tubinhos de chocolate. Tínhamos uma caixa que vinham $10$ unidades. Claro que seria insuficiente, mas serviu como base para sabermos a quantidade exata que precisaríamos comprar, a fim de não haver desperdício de material (e dinheiro). Como procedemos? Simples:

Alguns dados iniciais nos propiciaram um final feliz e muito saboroso:

$1)$ O diâmetro da assadeira tinha $26cm$;
$2)$ O diâmetro de cada tubinho tinha cerca de $1cm$.

Pronto! Com estas informações pudemos calcular o comprimento da circunferência do bolo, aplicando a tão conhecida fórmula para o comprimento da circunferência:
\begin{matrix}
C=2\pi r\\
C=2\pi \cdot 13\\
C=81,679cm
\end{matrix}
ou
$$C=82cm$$
Vejam que aqui a precisão de $\pi$ não é muito relevante, pois há várias variáveis envolvidas, como por exemplo, a espessura da cobertura de chocolate, as irregularidades da superfície dos tubinhos, etc.

Como o diâmetro dos tubinhos era de cerca de $1cm$, logo precisaríamos de $82$ tubinhos de chocolate.

Cada caixa vinha $10$ unidades desses tubinhos. Logo, precisaríamos comprar apenas $9$ caixas ao todo e ainda sobrariam algumas unidades para repor eventuais perdas.

Além das aparições de $\pi$ neste problema, observem a velinha com o número $3$, que é o primeiro dígito de $\pi$ e talvez a primeira aproximação.


Veja mais:

Uma Breve Cronologia de PI
Aproximação de PI Pelos Egípcios
Dia do PI: Newton e a Série Infinita para PI

10 de mar de 2012

Critérios De Divisibilidade Por Qualquer Número Primo Maior Que Onze

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

imageJá que existem critérios de divisibilidade por 3, 5, 7, e 11, o presente trabalho tem como objetivo mostrar uma regra de divisibilidade (ou Regra de Sebá) por qualquer número primo maior que 11. Já que existem as calculadoras, o trabalho não traz nenhuma contribuição prática para os leitores (ou alunos). Se o trabalho tivesse sido escrito numa época em que não existiam as calculadoras, com certeza, seria uma grande contribuição ao ensino da matemática. Escrevi o trabalho apenas como curiosidade.

Seja N o número dado e verificar se N é divisível por um número primo p >11.

Passo 1: Se p terminar em 3, 7 ou 9, multiplique p, respectivamente, por 7, 3 e 9, subtraia 1 e divida a diferença por 10; Se p terminar em 1, subtraia 1 de p e divida a diferença por 10. Ambos os quocientes vamos designar por y.

Passo 2: Multiplique y pelo último algarismo de N e subtraia de N sem o último algarismo. Se a diferença for grande, de tal maneira que não seja possível reconhecer facilmente se é divisível por p, repete-se o processo até que seja possível reconhecer facilmente a divisão por p.

Observação: Se o último algarismo da diferença vezes y for maior que o número sem o último algarismo, encerra-se o processo, e verifica se a diferença é divisível por p.

Fórmulas Para Critérios de Divisibilidade

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Exemplo 1: Verificar se N = 28561 é divisível por p = 13.

Passo 1: Como p termina em 3, vamos utilizar a 2ª fórmula.clip_image010Passo 2: Vamos chamar de u o último algarismo do número N. Desta forma, para o N = 28561, teremos u = 1. Assim, multiplicamos y por u:clip_image012Agora, tomamos o número N sem o último algarismo e subtraímos deste, o resultado de y · u, obtendo:image Como 2847 ainda é um número grande, repetimos o processo:image Como 221 ainda é um número grande, repetimos o processo:image Como a diferença é divisível por 13, logo, 28561 é divisível por 13.

O curioso é que as diferenças 2847 e 221 são divisíveis por 13:clip_image002[4]

Exemplo 2: Verificar se N = 12167 é divisível por p = 23.

Passo 1: como p termina em 3, use a 2ª fórmula:clip_image004[4]Passo 2: Chamando de u o último algarismo do número N. Desta forma, para o N = 12167, teremos u = 7. Assim, multiplicamos y por u:clip_image006[4]Agora, tomamos o número N sem o último algarismo e subtraímos deste, o resultado de y · u, obtendo:image Como 1104 ainda é um número grande, repetimos o processo:image Como o último algarismo da diferença é 6 e y = 16, logo, 6y = 6 · 16 = 96 > 4 (número sem o último algarismo). Encerra-se o processo. Já que 46 é divisível por 23, logo, 12167 é divisível por 23. Caso repetíssemos o processo com a diferença 46, teríamos:image A diferença (– 92) também é divisível por 23, mas aumentamos o tempo computacional, acrescentando mais uma tabela.

Dispositivo Prático

Vamos refazer o exemplo 2 por meio do dispositivo prático:image Exemplo 3: Verificar se N = 923521 é divisível por p = 31.

Passo 1: Como p termina em 1, usaremos a 1ª fórmula:clip_image002[6]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença é divisível por 31, logo, 923521 é divisível por 31.

Exemplo 4: Verificar se N = 68921 é divisível por p = 41.

Passo 1: como p termina em 3, usaremos a 1ª fórmula:clip_image002[8]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença é divisível por 41, logo, 68921 é divisível por 41.

Exemplo 5: Verificar se N = 83521 é divisível por p = 17.

Passo 1: como p termina em 7, usaremos a 3ª fórmula:clip_image002[10]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo o último algarismo da diferença é 4 e y = 5, logo, 4 · 5 = 20 > 3. Encerra-se o processo. Já que 34 é divisível por 17, logo, 83521 é divisível por 17. Caso repetíssemos o processo, teríamos:imageA diferença (–17) também é divisível por 17, mas aumentamos o tempo computacional.

Exemplo 6: Verificar se N = 50653 é divisível por p = 37.

Passo 1: como p termina em 7, usaremos a 3ª fórmula:clip_image002[12]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença (37) é divisível por 37, logo, 50653 é divisível por 37.

Exemplo 7: Verificar se N = 130321 é divisível por p = 19.

Passo 1: Como p termina em 9, utilizaremos a 4ª fórmula:clip_image002[14]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença (19) é divisível por 19, logo, 130321 é divisível por 19.

Exemplo 8: Verificar se N = 707281 é divisível por p = 29.

Passo 1: como p termina em, use a 4ª fórmula:clip_image002[16]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença (– 29) é divisível por 29, logo, o número 707281 é divisível por 29. Note que o último algarismo da 3ª diferença é 3 e y = 26, logo:clip_image002[18]Deveríamos encerrar o processo. Se tivéssemos encerrado o processo na terceira diferença, teríamos que verificar se 29 divide 493. Sem calculadora gastaríamos mais tempo na divisão do que subtrair 78 de 49. Foi por isso que continuamos o processo.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog.


Veja mais:

O Problema da Doação dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos
Quantos Números Primos Existem?
Deserto Entre Números Primos

1 de mar de 2012

Área em Coordenadas Polares

Houve uma revolução na matemática depois de Descartes, onde foi possível escrever e resolver equações em coordenadas cartesianas; denotar um ponto por meio de um par ordenado $(x, y)$ e assim a construção de gráficos para ilustrar as curvas. Em algumas situações é mais conveniente usar um outro sistema de coordenadas, como as coordenadas polares.

[Figura 1]

Antes de continuar a leitura deste artigo, sugiro que leiam sobre O Sistema de Coordenadas Polares escrito pelo Professor Mestre Paulo Sérgio, explanando brilhantemente sobre o assunto.

Para estabelecermos um sistema de coordenadas polares no plano, primeiro denotemos um ponto fixo $O$ que será o pólo e um raio $r$, que é uma semirreta orientada com origem em $O$, que chamamos de eixo polar. Um ângulo na posição padrão tem vértice no pólo e o eixo polar como seu lado inicial.

Seja $P$ um ponto genérico no plano e seja $r$ a distância entre $P$ e o pólo. Assim:
\begin{equation*}
r = |\overline{OP}|
\end{equation*}
Se $P \neq 0$, então P pertence a uma única semi-reta com origem em $O$ constituindo o lado terminal do ângulo. Este ângulo é denotado por $\theta$ e poderá ser em graus ou em radianos. Assim, o par ordenado do ponto $P$ em coordenadas polares é indicado como:
\begin{equation*}
P = (r, \theta)
\end{equation*}
As coordenadas polares estabelecem a posição de um ponto $P$ em relação a uma grade, formada por círculos concêntricos com centro no pólo e semirretas partindo de $O$. O valor de $r$ localiza $P$ num círculo de raio $r$; o valor de $\theta$ localiza $P$ numa semirreta que é o lado terminal do ângulo $\theta$; e $P$ é determinado pela intersecção do círculo com a semirreta.

O gráfico de uma equação polar consiste em todos os pontos $P$ do plano que tem pelo menos um par de coordenadas polares $(r,\theta)$ satisfazendo a equação.

Da mesma forma que podemos determinar a área de uma região sob a curva num plano cartesiano aplicando o conceito de integral definida, podemos determinar a área de uma região plana em coordenadas polares compreendia entre as semirretas que determinam o ângulo $\theta$.

Considere a figura abaixo, cuja equação polar é $r = f (\theta)$, onde $f$ é uma função contínua. Quando $\theta$ cresce de $\theta = \alpha$ para $\theta = \beta$, o ponto $P = (f (\theta), \theta)$ se desloca ao longo da curva polar de $(f (\alpha), \alpha)$ para $(f (\beta), \beta)$ e o segmento de reta $OP$ percorre uma região plana. Esta é a região compreendida pela curva polar entre as semirretas que determinam o ângulo $\theta$, ou seja, entre $\theta = \alpha$ e $\theta = \beta$.

[Figura 2]

A região polar mais simples, talvez, seja o setor circular compreendido pelo círculo de raio $r$ entre $\theta=\alpha$ e $\theta = \beta$:

[Figura 3]

Sabemos que a área de um círculo de raio $r$ é dada por:
\begin{equation*}
A_C = \pi ~ r^2
\end{equation*}
Assim, a área do setor ocupa a fração $\cfrac{\beta - \alpha}{2\pi}$ de todo o círculo e a área do setor será:
\begin{equation}
A = \pi ~ r^2 \frac{(\beta - \alpha)}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 (\beta - \alpha)
\end{equation}
Geralmente, mesmo que a curva polar não seja um círculo, quando o ângulo cresce de $\theta$ para $\theta + d\theta$, ou seja, tem uma variação infinitesimal, o segmento $OP$ percorrerá uma região infinitesimal que podemos tomá-la como um setor infinitesimal de um círculo de raio $r = f (\theta)$:

[Figura 4]

Quando $\Delta \theta$ for infinitesimal, então a área infinitesimal do setor será dada por:
\begin{equation}
dA = \frac{1}{2}\left| r^2 \right| d\theta = \frac{1}{2}r^2 d\theta = \frac{1}{2} \left[f(\theta)\right]^2 d\theta
\end{equation}
Para que tenhamos a área total da região desejada, devemos somar estes infinitésimos, isto é, integramos as áreas de todos estes setores infinitesimais, desde $\theta = \alpha$ a $\theta = \beta$. Assim, teremos:
\begin{equation}
A = \int _{\alpha}^{\beta}dA = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \left[ f(\theta) \right]^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left[ f(\theta) \right]^2 d\theta
\end{equation}
Podemos representar esta fórmula sob a forma:
\begin{equation}
\frac{1}{2} \int _{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta
\end{equation}

Exemplo $1$:

Encontrar a área do hemisfério superior da região compreendida pela curva polar cardioide, cuja equação é $r = 3(1+\cos (\theta))$.

[Figura 5]

Quando $\theta$ varia de $0$ a $\pi$, o segmento $OP$ percorre o hemisfério superior da região interior à cardioide. Portanto, a área $A$  da região será dada por:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left[3\left(1+\cos(\theta)\right)\right]^2 d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} 9 \left(1+2 \cos(\theta) + \cos^2(\theta)\right) d\theta\\
\ \\
A = \frac{9}{2} \int_{\alpha}^{\beta}\left(1+2\cos(\theta) + \cos^2(\theta) \right) d\theta\\
\ \\
A = \frac{9}{2} \left[\left(\theta + 2~\text{sen}(\theta) + \frac{\theta}{2} + \frac{\text{sen}(2\theta)}{4}\right)\right]_0^{\pi}\\
\ \\
A = \frac{9}{2} \left(\pi + 0 + \frac{\pi}{2} + 0\right)\\
\ \\
A = \frac{27 \pi}{4}~\text{unidades de área}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontrar a área da região compreendida pela lemniscata de equação $r^2 = 4 \cos(2 \theta)$.

[Figura 6]

Vamos considerar somente $1/4$ da lemniscata, já que é simétrica em relação ao pólo devido ao grau $2$ de $r$. Assim, vamos considerar a porção da lemniscata para a qual:
\begin{equation*}
r = 2~\sqrt{\cos(2\theta)}
\end{equation*}
Quando $\theta = 0$ e $r = 2$, e como $\theta$ cresce, o ponto $P=(r,\theta)$ se desloca para a esquerda ao longo da parte superior da lemniscata até chegar ao pólo $O$, quando $\theta = \pi/4$. Assim, o segmento $OP$ percorre um quarto da área:
\begin{equation*}
A = 4 \left( A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta\right) = 2\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d \theta\\
\ \\
A = 2 \int_0^{\pi /4} \left(2 \sqrt{\cos(2\theta)}\right)^2 d\theta = 2\int_0^{\pi/4} 4\cos(2\theta) d\theta\\
\ \\
A= \left[ 4~\text{sen}(2\theta)\right]_0^{\pi/4} = 4~\text{unidades de área}
\end{equation*}
Este exemplo mostra que devemos saber o comportamento da curva para que possamos definir os limites de integração.

Quando utilizamos a fórmula $\displaystyle \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$ para encontrar a área de uma região compreendida por uma curva polar $r = f (\theta)$ num intervalo $\Delta \theta$, devemos estar certos que $\alpha \leq\beta$ e que o segmento de reta radial $OP$, percorre apenas uma vez cada ponto no interior da região. Por exemplo, se quisermos determinar a área total no interior do limaçon $r = 2 – 3~\text{sen}(\theta)$, seria incorreto integrar de $0$ a $2\pi$, pois quando $\theta$ vai de $0$ a $2\pi$, o segmento $OP$ percorre duas vezes todos os pontos pertencentes ao laço interior.

Exemplo $3$:

Encontrar a área do laço interior ao limaçon de equação $r=2-3~\text{sen}(\theta)$.

[Figura 7]

Quando $theta = 0$, $r = 2$, o ponto $P (r, \theta) = (2, 0)$ se encontra no eixo polar. Quando $\theta$ começa acrescer, $r = 2 – 3~\text{sen}(\theta)$ começa a decrescer, atingindo $0$ quando $\theta = \text{sen}^{–1}\left(\frac{2}{3}\right)$, que é aproximadamente $41,8°$. Neste ponto, o segmento $OP$ inicia o percurso da região desejada. Quando $\theta$ atinge o valor de $\pi /2$, então $r = –1$ e o segmento de reta $OP$, cujos pontos se movem para baixo, percorre exatamente metade a área desejada. Desta forma, a área da região será:
\begin{equation*}

A = 2 \left[\frac{1}{2} \int_{\displaystyle \text{sen}^{-1}\left(2/3 \right)}^{\displaystyle \pi/2} \left( 2-3~\text{sen}(\theta)\right)^2 d\theta \right]\\
\ \\
A = \int_{\displaystyle \text{sen}^{-1}\left(2/3 \right)}^{\displaystyle \pi/2} \left(4-12~\text{sen}(\theta)+9~\text{sen}^2(\theta) \right) d\theta\\
\ \\
 A = \left[4\theta + 12\cos (\theta)+\frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}\text{sen}(2\theta)  \right]_{\displaystyle \text{sen}^{-1}\left(2/3\right)}^{\displaystyle \pi/2}\\
\ \\
\small A = \frac{17 \pi}{4}-\left[ \frac{17}{2}\text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)+12\cos\left( \text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) -\frac{9}{4}\text{sen}\left(2~\text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) \right]\\

\end{equation*}
sendo:
\begin{equation*}
\cos\left(\text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
 \text{sen}\left( 2~\text{sen}^{-1}\left(2/3\right) \right) = 2~\text{sen}\left( \text{sen}^{-1}\left(2/3\right) \right)\cos\left( \text{sen}^{-1}\left(2/3\right) \right)=\frac{4\sqrt{5}}{9}
\end{equation*}
Também ocorre com frequência a necessidade de encontrarmos a área de uma região plana compreendida por duas curvas, como por exemplo $r=f(\theta)$ e $r=g(\theta)$ entre dois pontos sucessivos de intersecção $P_1$ e $P_2$, onde $P_1=(r_1,\alpha)$ e $P_2=(r_2,\beta)$:

[Figura 8]

Se a região compreendida pela curva $r=g(\theta)$ entre $P_1$ e $P_2$ está contida na região compreendida pela curva $r=f(\theta)$ entre $P_1$ e $P_2$, então a área desejada $A$ é apenas a diferença de áreas das duas regiões:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left[ f(\theta)\right]^2 d\theta - \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \left[g(\theta)\right]^2  d\theta\\
\ \\A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left[ \left[ f(\theta)\right]^2 - \left[ g(\theta)\right]^2 \right] d\theta
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Encontrar a área da região interior ao círculo $r=4\cos(\theta)$, que seja exterior ao círculo $r=2$.

[Figura 9]

Os dois círculos se interceptam em $P_1=(2, -\pi/3)$ e $P_2=(2,\pi/3)$. A área $A$ da região procurada é dada por:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left[ \left( 4\cos(\theta) \right)^2 \right] d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left[ 16\cos^2(\theta)-4 \right] d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left[ \frac{16}{2}\left( 1+\cos(2\theta)-4 \right) \right] d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left[ 4+8\cos(2\theta)  \right] d\theta\\
\ \\
A = \left[ 2\left( \theta + 2~\text{sen}(2\theta) \right) \right]_{-\pi/3}^{\pi/3}\\
\ \\
A = 2\left[ \left( \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]\\
\  \\
A = \frac{4\pi}{3}+2\sqrt{3}~\text{unidades de área}
\end{equation*}

Referências:

[1] Cálculo V1 - Munem-Foulis

Veja mais:

O cálculo integral
O sistema de coordenadas polares
Construção da espiral de Arquimedes com régua e compasso



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