13/05/2012

A Solução para o Desafio: Tecnologia Extraterrestre!


Por: Francisco Valdir
Blog: Matemágicas e Números

Foi em um dia do ano de 1992, eu, Francisco Valdir, e meus colegas de turma assistíamos a uma aula de cálculo. O professor, querendo mostrar a utilização da integral para obtenção de uma área, criou uma situação problema e para nos incentivar na procura de sua solução, fazia-nos perguntas sobre como deveríamos obter os dados numéricos para a seguinte questão: em um prédio com 100 m de comprimento, 30 m de altura quer-se pintar uma parte de fachada delimitada por duas retas verticais desde o seu cimo e até ao nível do solo, tendo à sua esquerda um afastamento lateral de 5,00 m e à direita 15,00m de afastamento. A pergunta era: qual a capacidade de litros de tinta que seriam gastos nessa pintura onde a camada ficaria com 0,8 mm de espessura? Ele perguntava, qual seria a maneira mais rápida que poderíamos utilizar para delimitar as linhas verticais e paralelas dessa parte da fachada. Depois de ouvir algumas sugestões nossas, ele mesmo apresentou a dele como a mais adequada e que seria dessa maneira: de cima do prédio, operários posicionados nos devidos lugares à esquerda e à direita das laterais do edifício, fariam descer prumos até o solo, quando as linhas desses, seriam fixadas para que o serviço da pintura dessa parte da fachada fosse iniciado.

Quando ele falou que: do cimo do prédio seriam descidos prumos até ao nível do solo e as linhas verticais e paralelas serviram como delimitadoras da parte da fachada a ser pintada, eu fui pego por um pensamento que me assaltou na hora, que me avisava do não paralelismo dessas retas verticais laterais tomadas dessa forma! Deixei que a aula seguisse o seu curso normal e o professor nos mostrou que a área daquele retângulo o qual seria a mesma, caso se calculasse isso, tanto pelo modo clássico (base X altura) ou pelo cálculo integral, este com a vantagem de se determinar áreas onde as linhas horizontais superiores e/ou inferiores do gráfico, não sejam funções lineares!

Quando ele chegou ao resultado da capacidade da quantidade de tinta que seria usada na pintura, eu então levantei a questão que aquele resultado não seria exato! Claro, que ele retrucou, dizendo que o uso do cálculo com integrais era para garantir a exatidão das medidas nos resultados e ele não sabia por que eu contradizia a verdade lógica disso. Falei então, que via que o erro era devido pela afirmação do paralelismo das linhas verticais obtidas através do uso de prumos. Desse modo, a área que tínhamos para calcular não era a de um retângulo e sim a de um trapézio isósceles! Ele demorou um pouco para entender a minha observação, e para ajudá-lo eu falei que se: as paredes são erguidas verticalmente com auxílios de prumos que se dirigem para o centro da Terra! E quanto maior a altura de um edifício e afastamento de suas paredes laterais, a área trapezoidal de sua fachada sempre será maior do que aquela que supomos ser perfeitamente retangular! Os prédios não são prismas retangulares retos e sim, troncos de pirâmides ou tronco de cones em se tratando de edifícios cilíndricos!

Depois disso, o professor entendeu e me deu razão sobre essa minha descoberta, Chamou a atenção dos meus colegas sobre essa curiosidade a qual, confessava ele, nunca ouvira ninguém falar nela, mas, por outro lado, dizia que esse erro para pequenas dimensões, isso era desprezível!

E o assunto foi por mim esquecido, até que em uma conversa que tive com o meu amigo e parceiro de blog, o professor Kleber Kilhian do blog: O Baricentro da Mente e por ocasião da postagem de numero 200, para comemoramos o feito, realizamos um artigo conjunto em parceria e o postamos em ambos os blogs, tendo o título: Desafio: Tecnologia Extraterrestre!

Pedimos que quem tivesse alguma solução para o mesmo, poderia nos contatar através dos nossos endereços de e-mail e/ou nas caixas de comentários dos nossos blogs e prometemos, caso ninguém atinasse com a solução, que postaríamos isso da nossa parte em uma data qualquer no futuro!

Estamos fazendo isso agora, novamente como o da 1ª vez, em um trabalho cooperativo, publicamos simultaneamente em ambos os nossos blogs, a resposta ou solução àquele desafio!

Por fim, digo que: com certeza você agora veja as paisagens dos prédios no mundo, como eu percebia, isto é: uma visão com outros olhos!!!!!

Algumas considerações sobre o problema

Como a base do silo é construída sobre a superfície terrestre, mesmo sendo uma superfície “plana” e “nivelada”, ocorre que para uma área extensa, temos que considerar a curvatura da Terra, analogamente, quando se quer fazer disparos de projéteis a longas distâncias, tem que considerar o movimento da Terra.

Se para cada par de pontos relativamente próximos, temos uma linha reta, quando tomarmos dois pontos extremos, teremos um arco, assemelhando-se com a curvatura da Terra.

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[Figura 1]

Desta forma, podemos esboçar um esquema representativo da situação:

image [Figura 2]

Vemos que o silo tem a forma de um tronco de cone, cuja base menor coincide com a curvatura da Terra. Então, não seria bem um tronco de cone, mas um tronco de cone no qual foi subtraída uma calota esférica!

Uma forma simplista para o cálculo do volume deste silo seria:

clip_image006

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Mas vejam que estamos considerando a plataforma da astronave, que é a base superior do cone, como ideal, ou seja, que fosse totalmente “plana”. No entanto, estamos no mundo das suposições e não sabemos em quais condições esta plataforma foi construída. Devido à sua extensão, com diâmetro igual a 10,1km, se sua construção for feita sobre a superfície do exoplaneta, cujo raio é aproximadamente igual ao da Terra, então o silo possivelmente se assemelhará a um tronco de cone, pois o volume das calotas esféricas se “anulariam”.

Este é um problema curioso e por ser fictício e fora de nossa realidade, deixa muitos pontos em aberto. Podemos nos perder em nossas elucubrações, gerando infinitas possibilidades e detalhes, o que nos levaria a cálculos imprecisos.

Assim, não precisamos resolver numericamente o problema para perceber que o erro está na sutilidade em considerar o silo como um cilindro e não como um tronco de cone.


Veja mais:

Desafio: Tecnologia Extraterrestre
Blog Matemágicas e Números

2 comentários:

  1. Ólá, amigo e parceiro Kleber!!!!

    Nem tudo quilo que parece, é!!! Ficou ótimo o post e os desenhos, amigo e parceiro... Kleber!!!!!
    Agora, muita gente (construtores) vai justificar o alto preço dos apartamento de coberturas em edifícios, alegando que os mesmos são mais extensos do que parece e devido a ese não paralelismo entre as paredes externas nas construções!!! KKKKKKKKKKKKKKK!!!!!!!!!

    Um grande abraço!!!!!

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  2. Oi, Valdir e Kleber!

    Taí uma estratégia de resolução que nunca passou pela minha cabeça, com tantas pistas falsas que deram em seus respectivos posts!!

    Realmente, é um fato curioso a questão dos fios de prumos que não ficam paralelos devido a curvatura da terra...

    Será que os engenheiros nunca perceberam isto??

    Este sutil detalhe levantado por Valdir numa aula serviu para, em parceria com nosso amigo Kleber, inspiração para excelentes postagens com plano de fundo fictício, mas com um embasamento lógico, embora nunca antes pensado!!

    Parabéns aos dois pela brilhante concepção do problema criado, sem falar dos desenhos, esquemas, diagramas e construções geométricas que abrilhantaram o post!

    Eu mesmo fiquei com a idéia de criar um Malba Tahan espacial..(rs)

    Abraços!

    ResponderExcluir

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