02/06/2012

Integral de $\cos^2(x)$

f(x) cos^2(x)

Considere a integral

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Da identidade trigonométrica:

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Fazemos:

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Utilizamos o método de integração por substituição. Seja:

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Substituindo:

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Voltando à integral inicial:

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Da função arco-duplo, temos que:

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Assim:

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Vamos determinar a área sob a curva no intervalo [π/2 , 3π/2]. Assim, a integral definida fica:

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Veja mais:

Método de Integração por Partes
Método de Integração por Substituição
Funções Trigonométricas do Arco-duplo
Equações Trigonométricas Elementares no blog Fatos Matemáticos

10 comentários:

  1. Muito bom o post Kleber, pois em várias situações temos que usar a integral de cosseno de x ao quadrado. Obrigado pela citação do link.

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  2. Obrigado Paulo. Esta integral surgiu durante os cálculos do volume do ovo modelo 2 que estávamos fazendo juntos. Achei que seria uma boa para outras pessoas.

    Obrigado pelo comentário. Um abraço!

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  3. Oi, Kleber!

    Excelente! E o interessante é que a área hachurada é a mesma área sob o gráfico de [;y=sen^2(x);] nos limites [;x=0;] e [;x=\pi;].

    Valeu!

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  4. Eu estou estudando cálculo e apesar de ainda não ter tido nenhuma aula sobre integral, eu resolvi ler um um pouco sobre o assunto. Percebi que a integração é complicada em vários casos e que alguns exigem artifícios de cálculo, já que a integral de uma função nem sempre é evidente.
    Esta postagem me mostrou uma forma de integrar que agora fará parte do meu "arsenal". Uma primeira impressão sobre esse poste é que ele sugere que usemos identidades trigonométricas para escrever funções em formas mais fáceis de integrar.
    Sendo a integração um processo evidentemente mais complicado, ter um bom "arsenal" é essencial.

    Valeu.

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  5. Eu descobri esse blog procurando uma demonstração da derivada da função produto.
    Como estamos falando de cálculo gostaria de sugerir um post sobre a demonstração da derivada da função $y=f(x)^{g(x)}$.

    Se puder, fica a sugestão.

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  6. Olá Francehelder,

    No caso de integrações, que não são triviais, existem algumas técnicas, como a integração por substituição, que foi o caso deste artigo, integração por partes, substituições trigonométricas, integração por frações parciais.

    As identidades ajudam a minimizar o trabalho, mas nem sempre usar uma identidade trigonométrica transforma integral original numa mais simples. É o caso de tentar e ver no que dá. Aos poucos vai-se pegando o jeito.

    O legal é pegar tabelas de integrais já prontas, isso ajuda nos exercícios diários. Se conseguir demonstrá-las... ótimo! Isso mostra que realemnte aprendeu.

    Tem bons livros de cálculo diferencial e integral com linguagens da mais didática à mais técnica. Dê uma pesquisada na biblioteca da faculdade e veja qual linguagem te agrada mais. Se possível, adquira o livro.

    Sobre sua sugestão, vou pesquisar.

    Obrigado pelo comentário e um abraço!

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  7. Eu falei dessa demonstração por que não encontrei muita coisa sobre ela e não tinha conseguido demonstrá-la. Eu já faço demonstrações a algum tempo, mesmo assim ao tentar demonstrá-la pela primeira vez eu tive um certo medo da fórmula. Me assustei com ela. Esqueci de olhar o problema como outro qualquer e isso atrapalhou. Depois de sugerir um post com a demonstração, eu tentei fazê-la novamente e vou coloca-la aqui:
    Considerando a função $y=f(x)^{g(x)}$, para encontrar sua derivada, usarei um artifício que vi minha professora usando na aula do cálculo: escrever a função na forma $y=e^{g(x)\ln{f(x)}}$.
    Com isso, podemos derivar a função usando a regra da cadeia:
    $y'=[e^{g(x)\ln{f(x)}}]'$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot[g(x)\ln{f(x)}]'$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)(\ln{f(x)})']$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\cdot\dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x)]$
    $y'=e^{g(x)\ln{f(x)}}\cdot\left[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\cdot\dfrac{f'(x)}{f(x)}\cdot\right]$
    $y'=f(x)^{g(x)}\cdot\left[g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\cdot\dfrac{f'(x)}{f(x)}\right]$

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    Respostas
    1. Esta que você acabou de fazer é a demonstração contida no livro de cálculo do Guidorizzi.

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  8. Também não tinha visto essa demonstração. Pelo pouco que vi, usam artifícios e a regra da cadeia para demonstrá-la. Encontrei uma demonstração, mas está meio obscura ainda. Vou tentar entender melhor e depois vejo se posto aqui.

    Obrigado pela contribuição e um abraço.

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  9. Obrigado por passar conhecimento.

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$$a^2+b^2=c^2$$
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