26/07/2012

Aspectos Geométricos para Multiplicação de Frações

Se desejarmos multiplicar duas frações, hoje fazemos automaticamente, multiplicando os numeradores e os denominadores:

clip_image002

Para ilustrar esse conceito de multiplicação, vamos usar círculos para podermos visualizar todo o procedimento.

Seja a multiplicação entre duas frações:

clip_image002[4]

Começamos tomando uma das frações; pode ser 1/2 ou 2/3. Vamos tomar a fração 1/2 como referência. Dividimos um círculo em partes iguais ao denominador desta fração, que no caso é dois, e hachuramos partes iguais ao seu numerador, no caso 1:

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[Figura 1]

Agora, subdividimos cada uma dessas partes em partes menores em quantidades iguais ao denominador da segunda fração, que neste caso é 3:

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[Figura 2]

Agora, para cada parte hachurada, tomamos a quantidade de subdivisões iguais ao numerador da segunda fração, que no caso é 2:

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[Figura 3]

Desta forma, o círculo original foi dividido em 2 partes e depois cada parte subdividida em três, totalizando 6 subdivisões, tomamos duas delas, ou seja: 2/6:

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[Figura 4]

Que vale o produto:

clip_image002[6]

Desta forma, se quisermos uma multiplicação entre duas frações, seguimos os passos:

a) Tomamos uma das frações;

b) Dividimos um círculo em partes iguais ao seu denominador;

c) Hachuramos partes iguais ao seu numerador;

d) Subdividimos cada uma dessas partes em “partes menores” iguais ao denominador da segunda fração;

e) Tomamos, para cada parte hachurada, a quantidade de subdivisões iguais ao numerador da segunda fração.

Em relação a frações, podemos ter frações próprias e frações impróprias.

Definição 1: Fração própria é aquela onde o numerador é menor que seu denominador:

clip_image002[8]

Exemplos:

clip_image002[10]

Definição 2: Fração imprópria é aquela onde o numerador é maior que seu denominador:

clip_image002[12]

Exemplos:

clip_image002[14]

Desta forma, no caso da multiplicação entre duas frações, podemos ter três casos distintos:

Caso 1: As duas frações são próprias:

clip_image002[16]

Caso 2: Uma fração é própria e a outra imprópria:

clip_image002[18]

Caso 3: As duas frações são impróprias:

clip_image002[20]

Vamos exemplificar agora, cada um dos três casos e ver as diferenças em cada procedimento.

Exemplo 1: Seja multiplicar as frações:

clip_image002[22]

As duas frações são próprias. Vamos tomar como referência a fração 2/3. Assim, dividimos um círculo em três partes e hachuramos duas delas:

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[Figura 5]

Subdividimos cada parte em cinco partes iguais:

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[Figura 6]

Tomamos a quantidade de 4 subdivisões para cada parte hachurada:

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[Figura 7]

O produto desejado é a quantidade de subdivisões selecionadas, dividida pela quantidade de subdivisões totais, ou seja, temos 8 subdivisões selecionadas de 15 totais. Assim:

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[Figura 8]

Que vale o produto:

clip_image002[24]

Exemplo 2: Seja multiplicar as frações:

clip_image002[26]

As duas frações são próprias. Utilizamos o mesmo procedimento. Primeiramente tomamos uma das frações como referência. Vamos tomar a fração 1/2. Assim, dividimos um círculo em duas partes e hachuramos uma delas:

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[Figura 9]

Subdividimos cada metade em partes iguais ao denominador da outra fração, que no caso é oito:

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[Figura 10]

Tomamos sete partes das oito subdivisões:

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[Figura 11]

Que vale o produto:

clip_image002[28]

Exemplo 3: Seja multiplicar as frações:

clip_image002[30]

Neste exemplo, temos a multiplicação entre uma fração própria e uma imprópria. Nestes casos, tomamos como referência a fração imprópria, pois fica mais fácil a visualização. Utilizamos, então, a fração 3/2. Dividimos um círculo em duas partes iguais e hachuramos três:

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[Figura 12]

Ops! Se temos duas partes e precisamos hachurar três, faltará uma; então, adicionamos mais um círculo dividido em duas partes:

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[Figura 13]

Subdividimos cada uma dessas três partes hachuradas em dois, que é o denominador da segunda fração:

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[Figura 14]

Agora, tomamos uma subdivisão de cada parte:

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[Figura 15]

Que vale o produto:

clip_image002[32]

Exemplo 4: Seja multiplicar as frações:

clip_image002[34]

Esta é uma multiplicação entre uma fração própria e uma imprópria. Tomamos a fração 5/2 como referência. Então, dividimos os círculo em duas partes iguais:

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[Figura 16]

Subdividimos cada parte em três, que é o denominador da segunda fração:

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[Figura 17]

Tomamos duas subdivisões de cada parte hachurada:

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[Figura 18]

Que vale o produto:

clip_image002[36]

Exemplo 5: Seja multiplicar as frações:

clip_image002[38]

Neste caso, temos a multiplicação entre duas frações impróprias. Vamos tomar a fração 5/4 como referência. Assim, dividimos cada círculo em quatro partes iguais:

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[Figura 19]

Devemos hachurar cinco partes, mas como o círculo só possui quatro partes adicionamos mais círculos, quantos forem necessários:

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[Figura 20]

Agora, devemos subdividir cada parte em duas, conforme indica o denominador da fração 3/2:

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[Figura 21]

Temos de tomar três subdivisões de cada parte, conforme indica o numerador da fração 3/2, mas cada parte só possui duas subdivisões. Então, adicionamos quantos círculos forem necessários:

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[Figura 22]

Temos então que cada círculo foi subdividido em 8 partes; e temos 15 subdivisões selecionadas. Logo, o produto desejado é:

Exercícios para casa: Efetue as multiplicações utilizando o conceito geométrico:

clip_image002[40]     clip_image002[42]     clip_image002[44]     clip_image002[46]     clip_image002[48]     clip_image002[50]


Veja mais:

Trabalhando com Frações
O Método da Gelosia para Multiplicações
Método da Multiplicação dos Camponeses Russos
Um Método para a Multiplicação Entre Dois Números

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