21/11/2012

Completando Quadrado

Quando estamos estudando equações, surgem em nossa frente as equações de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas. Matematicamente, essas equações são dadas por:

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clip_image002[6]

Essas equações levam esse nome por possuir uma incógnita com expoente de grau 2 e podem ser completas ou incompletas.

As equações quadráticas incompletas são mais práticas de serem resolvidas, pois não apresentam o termo da incógnita x ou o termo independente.

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A equação quadrática acima não possui o termo independente c, ou seja, c = 0. Para encontrarmos suas raízes, colocamos a incógnita x em evidência:

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Daqui segue que:

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Outra forma incompleta da equação quadrática:

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Neste caso basta isolar a incógnita:

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As duas raízes acima são reais se –c/a > 0. Para a equação completa (1), se a equação for um quadrado perfeito, conseguiremos fatorá-la de modo que se apresente como:

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O que nos leva a raiz dupla:

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Se a equação não for um quadrado perfeito, aplicamos a fórmula resolvente da equação de segundo grau, também conhecida como fórmula de Bháskara:

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Vale ressaltar que existe uma lógica por trás da expressão (2). Mas em geral, é um assunto desconhecido para muitos professores, que infelizmente, apenas ensinam os alunos a substituir as constantes a, b e c nesta expressão. Neste post, usaremos um processo chamado Completar Quadrado, transformando o membro da esquerda em um quadrado perfeito.

Vamos considerar a equação quadrática completa:

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Dividimos toda a equação pelo coeficiente a, pois a ≠ 0, para obter:

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Isolamos o termo independente no lado direito da equação:

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Queremos que o membro da esquerda seja um quadrado perfeito. Para isso, devemos completar o quadrado, que se dá somando uma quantidade Q ao membro da esquerda da equação. Consequentemente, também devemos somar o mesmo valor no membro da direita para que a igualdade continue verdadeira.

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Da Álgebra Elementar temos que:

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ou em forma de palavras podemos dizer que “o quadrado da soma é igual ao quadrado primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”.

Comparando as expressões (3) e (4), vemos que o primeiro termo m é igual a x e o segundo termo n é igual b / 2a. Assim, para completar quadrados na expressão (3), o valor assumido por Q deverá ser:

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Deste modo, obtemos:

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O que nos leva a:

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Notem que agora o membro da esquerda é um quadrado perfeito. Mas vejam que interessante: se extrairmos a raiz de ambos os lados da equação, obteremos:

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Que é a fórmula para a equação de segundo grau.

Exemplo 1: Complete o quadrado na equação clip_image056 e ache suas raízes.

Etapa 1: Devemos garantir que o coeficiente de x2 seja igual a 1, dividindo toda a equação por 2:

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Etapa 2: Isolamos o termo independente:

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Etapa 3: Devemos adicionar um valor Q em ambos os lados da equação para obtermos um quadrado perfeito no membro da esquerda. Esse número é obtido tomando o quadrado da metade do coeficiente de x.

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Etapa 4: Reescrevemos o membro da esquerda como quadrado perfeito:

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Podemos encontrar as raízes da equação extraindo a raiz de ambos os lados da equação:

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Exemplo 2: Complete quadrado da equação abaixo e ache suas raízes:

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Devemos garantir que o coeficiente de x2 seja igual a 1, multiplicando toda a equação por 4:

clip_image078

a qual pode ser reescrita na forma:

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Mas, a expressão clip_image082 é um quadrado perfeito, isto é:

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Assim,

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Logo, x = –2 é uma raiz dupla desta equação.

Comentário Final: A Matemática possui muitas regras, propriedades, fórmulas e teorias. Mesmo nos níveis elementares, os professores deveriam priorizar o ensino desta ciência apresentando o porquê de tais métodos funcionarem, ao invés de forçar os alunos a decorar fórmulas sem sentido. Buscamos neste post apresentar as equações quadráticas sem o uso discriminado da fórmula de Bháskara, usando apenas as técnicas de completar quadrados, mostrando desta forma a estreita ligação que existem entre vários assuntos, passando para os alunos a importância de conhecer em sua essência os vários tópicos da Matemática.


Veja mais:

Demonstração dos Pontos de Máximo e Mínimo de uma Equação Quadrática
Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes
Regra de Descartes e a Equação Quadrática no blog Fatos Matemáticos
Fatoração do Trinômio Quadrático em Z no blog Fatos Matemáticos

11 comentários:

  1. Muito bem elaborado este post Kleber. Espero que desta forma, muitos estudantes possam compreender o processo de resolução de um dos tipos de equações mais importantes em toda Matemática. Parabénse muito obrigado pelos links citados acima.

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  2. Gostei também de tê-lo elaborado. A Álgebra é a base de toda a Matemática e com pouca manipulação algébrica chegamos à fórmula da equação do segundo grau.

    Obrigado por seus comentários. Abraços!

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  3. Adorei, sempre quis saber como surgiu essa formula! Muito bem elaborado o post.

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  4. Obrigado Raquel. Coisas simples como esta deveriam ser apresentadas a todos os alunos. Quem sabe mudariam a visão sobre a Matemática e se interessariam um pouco mais...

    Um abraço.

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  5. Olá, Kleber!!!!

    Ado, ado, ado... cada um no seu quadrado!!!!
    Muito boa, essa postagem!!!! Muito bem escrita e didaticamente perfeita!!!!
    Quando li o título do post, procurei me lembrar como enfrentei isso Há 10 000 anos atrás, rsrsrsrsrs!!!!
    Confesso que só tive o domínio desse assunto (como o professor não era o Kleber), com a ajuda de figuras geométricas, tipo daquelas que usamos para graficamente mostrarmos os produtos notáveis do tipo... (a + b) ^ 2.

    É isso aí, meu prezado amigo e parceiro!!!! Postagens assim, conseguem a proeza de transformarem a MÁ temática em... BOA temática!!!! Parabéns!!!!

    Um abraço!!!!!

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  6. Vale salientar que a ideia de completar quadrado,
    buscando um trinômio quadrado perfeito, também é usada no ensino de Geometria Analítica-3º ano do Ensino Médio, no tópico referente a equação reduzida de uma circunferência, que facilita muito em encontrar as coordenadas do centro da circunferência e o raio da mesma.
    Parabéns, kleber.

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  7. Antes de escrever este artigo, dei uma pesquisada na internet e em muitos dos casos encontramos o completar quadrado por figuras geométricas ou ainda um pouco confusas.

    Obrigado pelos comentários amigo Valdir e Paulo Magalhães.

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  8. Qual o melhor método, Bháskara ou Completar Quadrado?

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    Respostas
    1. Bem, o método de completar quadrados permite resolver qualquer equação sem a necessidade de recorrer à fórmula da equação de segundo grau; no entanto, a equação de Bháskara é um fórmula fechada e funciona sempre e também muito prática. Não sei dizer qual é o melhor, acho que depende do seu costume. Mas as fórmulas surgem para facilitar os cálculos, talvez devamos levar isso em conta.

      Abraços.

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  9. Essa postagem ta top professor!

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