30/12/2012

Meus Votos Para 2013

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O ano novo é um meio de renovarmos a esperança de tempos melhores. Mas nada acontece se não mudarmos a forma de enfrentarmos nossos problemas.

Que neste ano que se inicia possamos repensar a forma de encarar os obstáculos que surgem em nossa vida.

Que tenhamos criatividade e inteligência para realizarmos ações e conquistarmos nossos objetivos.

Que sempre nos lembremos das pessoas importantes em nossa vida, que nos encorajam, inspiram e nos motivam para continuar em frente.

Deixo meus sinceros agradecimentos a todos que fizeram desse blog um meio de pesquisa, aprendizagem e amizade.

2013

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Dois Mil e Treze

MMXIII

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(07DD)16

(3735)8

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27/12/2012

A Quadratura do Triângulo

O problema da quadratura realmente é muito interessante, mobilizou a comunidade matemática por toda a história e até não-matemáticos dedicaram suas energias em encontrar um forma de quadrar o círculo. É claro que mesmo provado sua impossibilidade, problemas adjacentes foram criados, como a quadratura do retângulo e a do triângulo.

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Para a quadratura do triângulo, o transformamos em um retângulo, utilizando o fato que sua área é dada pelo semi-produto da base pela altura. A partir daí, basta empregarmos o procedimento para a quadratura do retângulo, que já vimos na postagem anterior. Vejamos como proceder.

Para construir um quadrado cuja área seja igual a um triângulo dado, conhecidos seus lados, procedemos como se segue:

1) Seja um triângulo ABC qualquer. Trace sua altura CJ e encontre seu ponto médio e marque-o como H.

2) Construa um retângulo com base AB que passe por H. Este retângulo ABDI possui a mesma área que o triângulo ABC.

3) Com centro em D descreva uma circunferência de raio BD.

4) Prolongue o segmento ID cortando o círculo em N.

5) Encontre o ponto médio do segmento IN e marque como M.

6) Com centro em M, descreva uma circunferência de raio MN.

7) Trace a perpendicular a IM por D e marque o ponto E na circunferência maior.

8) Construa um quadrado sobre o segmento DE. Este quadrado terá a mesma área do triângulo ABC.

 

Demonstração:

A área do triângulo é dada por:

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Onde AT é a área do triângulo e AR é a área do retângulo de mesma área.

De forma análoga ao que foi feito na demonstração para a quadratura do retângulo, provamos que a área do triângulo ABC é igual à área do quadrado DEFG.



Veja mais:

Quadratura do Retângulo
Pontos Notáveis de um Triângulo
A Quadratura do Círculo pelo Método de Hobson

22/12/2012

A Quadratura do Retângulo

Os gregos antigos, desde a época de Arquimedes, calculavam áreas de polígonos por meio de comparação com a área de um quadrado conhecido. Essas construções eram realizadas por compasso e régua não-graduada. Esses tipos de problemas eram conhecidos como quadratura.

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Para construir um quadrado cuja área seja igual a um retângulo dado, conhecidos seus lados, procedemos como se segue:

1) Seja o retângulo ABCD. Com centro em D descreva uma circunferência de raio CD.

2) Prolongue o segmento AD cortando o círculo em N.

3) Encontre o ponto médio do segmento AN e marque como M.

4) Com centro em M, descreva uma circunferência de raio AM.

5) Trace a perpendicular a AM por D e marque o ponto E na circunferência maior.

6) Construa um quadrado sobre o segmento DE. Este quadrado terá a mesma área do retângulo ABCD.

Demonstração:

A área do retângulo é dada por:

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Da figura, temos:

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e

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Assim:

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Do triângulo retângulo MDE, temos que:

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Mas ME = AM, logo:

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Como a área do quadrado DEFG é dada por DE2, fica demonstrado que sua área é igual a área do retângulo:

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Veja mais:

A Quadratura do Triângulo
A Quadratura do Círculo pelo Método de Ernest Hobson
Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Círculo
A Área do Retângulo no blog Fatos Matemáticos

20/12/2012

Determinando a Distância Entre a Terra e a Lua

A Lua (do latim Luna) é o único satélite natural da Terra, situando-se a uma distância de cerca de 384.405 km do nosso planeta. Seu perigeu máximo é de 356.577 km, e seu apogeu máximo é de 406.655 km.

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Segundo a última contagem, mais de 150 luas povoam o sistema solar: Netuno é cercado por 13 delas; Urano por 27; Saturno tem 60; Júpiter é o que tem mais até então e possui 64. A Lua terrestre não é a maior de todo o Sistema Solar – Ganimedes, uma das luas de Júpiter, é a maior – mas nossa Lua continua sendo a maior proporcionalmente em relação ao seu planeta. Com mais de 1/4 do tamanho da Terra e 1/6 de sua gravidade, é o único corpo celeste visitado por seres humanos e onde a NASA (sigla em inglês de National Aeronautics and Space Administration) pretende implantar bases permanentes.

Visto da Terra, o satélite apresenta fases e exibe sempre a mesma face (situação designada como acoplamento de maré), fato que gerou inúmeras especulações a respeito do teórico lado escuro da Lua, que na verdade fica iluminado quando estamos no período chamado de Lua nova. Seu período de rotação é igual ao período de translação. A Lua não tem atmosfera e apresenta, embora muito escassa, água no estado sólido (em forma de cristais de gelo). Não tendo atmosfera, não há erosão e a superfície da Lua mantém-se intacta durante milhões de anos. É apenas afetada pelas colisões com meteoritos.

É a principal responsável pelos efeitos de maré que ocorrem na Terra, em seguida vem o Sol, com uma participação menor. Pode-se dizer do efeito de maré aqui na Terra como sendo a tendência de os oceanos acompanharem o movimento orbital da Lua, sendo que esse efeito causa um atrito com o fundo dos oceanos, atrasando o movimento de rotação da Terra cerca de 0,002 s por século, e, como consequência, a Lua se afasta de nosso planeta em média 3 cm por ano.

A Lua é, proporcionalmente, o maior satélite natural do nosso Sistema Solar. Sua massa é tão significativa em relação à massa da Terra que o eixo de rotação do sistema Terra-Lua encontra-se muito longe do eixo central de rotação da Terra. Alguns astrônomos usam este argumento para afirmar que vivemos em um dos componentes de um planeta duplo, mas a maioria discorda, uma vez que para que um sistema planetário seja duplo é necessário que seu eixo de rotação esteja fora dos dois corpos.

Calculando a distância da Lua

Para calcularmos a distância média entre a Terra e a Lua, precisamos saber basicamente o período de órbita da Lua por observações astronômicas, um pouco de geometria euclidiana e aplicar a 3ª Lei de Kepler, validada pela Lei da Gravitação Universal de Newton.

A terceira Lei de Kepler nos diz que: “O quadrado do período de translação do planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita.”

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Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o tempo que ele leva para completar uma revolução em torno do Sol. Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.

A força centrípeta exercida pela Terra é igual e oposta à força centrífuga da Lua:

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onde v é a velocidade linear, r é o raio da trajetória e ML é a massa da Lua.

Pela Lei da Gravitação Universal de Newton, temos:

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Substituindo (2) em (1), obtemos:

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A velocidade média do corpo que orbita em torno de um corpo central é dada por:

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Substituindo (4) em (3), obtemos:

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Em função do raio:

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Vejam que para encontrarmos a distância entre a nossa até a Lua, não necessitamos saber sua massa, apenas a da Terra, que já determinamos em outro artigo (que pode ser conferido clicando aqui), o período de translação da Lua e o valor da constante gravitacional. Sendo assim, temos:

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Substituindo estes valores na equação (6), obtemos:

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Ou seja, a Lua encontra-se a cerca de 383 mil quilômetros de distância da Terra.

Mapeamento da gravidade da Lua

As sondas gêmeas da NASA orbitando a Lua geraram o mapa de gravidade de maior resolução de qualquer corpo celeste.

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Link da imagem em HD:

http://www.jpl.nasa.gov/images/grail/20121205/grail20121205-43.jpg

Os primeiros resultados científicos da missão Gravity Recovery and Interior Laboratory (GRAIL) saíram há poucos dias numa publicação da revista Science. Em órbita lunar desde o início do ano, as duas sondas gêmeas Ebb e Flow reuniram um conjunto de dados que disponibilizam uma visão sem precedentes da estrutura e composição interna da Lua, bem como o mais detalhado mapa gravitacional de qualquer objeto do Sistema Solar, incluindo a Terra.

Medidas em microondas precisas entre as sondas, chamado fluxo e refluxo, foram usados ​​para mapear a gravidade lunar com alta precisão e alta resolução espacial. Na imagem acima, o vermelho corresponde a excessos de massa (montanhas, por exemplo) e azuis para deficiências de massa (terras baixas). Nota-se que não há mais detalhes em pequena escala no lado mais distante da Lua (direita) em comparação com o lado mais próximo (esquerdo)onde tem consideravelmente mais pequenas crateras causadas por impactos de meteoros. Dados de Ebb e Flow vai ajudar a fornecer uma melhor compreensão de como a Terra e outros planetas no sistema solar se formou e evoluiu.

Para uma leitura mais detalhada, sugiro acessarem o site Astro PT que fez uma matéria incrível sobre o assunto.

Atlas Lunar

No site http://www.lunasociety.org, encontramos um completo mapa lunar interativo, com mais de 1.000 formações geográficas (incluindo crateras, montanhas, lagos, mares e vales) identificado simplesmente movendo o cursor do mouse sobre o recurso. É necessário ter o Javascript ativado para poder acessar esta função.

Para explorar a superfície lunar, acessem o Google Moon e acompanhe os passos dos astronautas.

Algumas Referências:

[1] Astro PT
[2] http://astro.if.ufrgs.br/dados.htm
[3] http://pt.wikipedia.org/wiki/Lua


Veja mais:

Determinando a Massa da Terra
Determinando a Massa do Sol
Cálculo do Centro de Massa do Binário Terra-Lua

12/12/2012

Determinando a Massa do Sol

A força centrípeta é a força resultante que atrai o corpo para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou circular. Corpos que se deslocam em movimento retilíneo uniforme possuem velocidade modular constante.

Sol2Entretanto, um corpo que se desloca em arco e com velocidade constante, possui uma variação na direção do movimento. Como a velocidade é um vetor de módulo, direção e sentido, uma alteração na direção implica uma mudança no vetor velocidade. A razão dessa mudança na velocidade se dá pela aceleração centrípeta.

A força centrípeta exercida pelo Sol, mantendo a Terra em sua órbita quase circular, é igual e oposta à força centrífuga da Terra. Sendo assim, temos que:

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Onde MT é a massa da Terra, v é a velocidade linear e r é o raio da trajetória descrita pelo planeta.

Pela Lei da Gravitação de Newton, temos que:

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Fazendo M1 = MT e M2 = MS, onde MT é a massa da Terra, MS é a massa do Sol e sendo d o raio da trajetória, comparamos as equações (1) e (2), obtendo:

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Já calculamos em outro artigo As Velocidades da Terra encontrando o valor para a velocidade de translação da Terra igual a:

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O raio médio orbital da Terra atualmente aceito é de:

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Que equivale a uma unidade astronômica (U.A.).

A constante G tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Henry Cavendish, em 1797, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor com uma precisão de 1%:

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Aplicando os valores de (4), (5) e (6) na fórmula (3), podemos estima a massa do Sol:

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Que é um valor muito próximo do atualmente aceito.

Se compararmos as massas da Terra e do Sol:

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Encontraremos que a massa do Sol é cerca de 335 mil vezes a massa da Terra.

O sol é a estrela responsável por permitir a vida na Terra e é considerado uma estrela de grandeza média; por outro lado, pela sequencia principal do diagrama de Hertzsprung-Russell, pode ser considerado uma estrela anã. Em torno dele gravitam oito planetas, três planetas anões, 1600 asteroides, 138 satélites e um grande número de cometas.

O Sol perde a cada dia, cerca de 360 milhões de toneladas transformadas em energia. A sua atração vai diminuindo e então a Terra vai se afastando do Sol cerca de 1 metro por ano.

Acredita-se que a energia solar tem sua origem em reações nucleares, nas quais 4 átomos de hidrogênio se unem para formar um átomo de hélio, reações estas que são acompanhadas de uma grande emissão de energia. Uma reação como esta, em que núcleos leves se unem originando um núcleo mais pesado, é denominada fusão nuclear.

A massa do hélio é de 6,646 x 10–27 kg e é inferior à soma das massas dos 4 núcleos de hidrogênio: 6,694 x 10–27 kg. Há, portanto, nesta fusão, uma redução de massa:

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A energia E irradiada nesta reação é equivalente à redução observada na massa e pode ser calculada da seguinte maneira:

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Esta é a quantidade de energia liberada por apenas uma reação de fusão. Avalia-se que o no Sol ocorrem cerca de 1038 reações desse tipo por segundo. Assim, a quantidade total da energia irradiada pelo Sol a cada 1 segundo, pode ser calculada como:

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A potência irradiada pelo Sol é cerca de 4,3 x 1026 W. Apesar desta fantástica potência e da enorme quantidade de átomos de hidrogênio que são transformadas em hélio por segundo, os cientistas calculam que, como a maior parte da massa do Sol é constituída de átomos de hidrogênio, o nosso astro central poderá manter esta emissão de energia por milhões de anos.

Um site muito interessante é o helioviewer.org que mostra imagens do Sol (veja o manual do usuário). Por este site são gerados vídeos periodicamente mostrando a atividade do astro-rei, veja dois deles:

 

 

Referências:

[1] http://www.astronomia.web.st/index.php?aid=50

[2] http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/09/as-limitacoes-da-mecanica-newtoniana-e.html


Veja mais:

Fórmula para Calcular a Densidade Média Solar no blog Fatos Matemáticos
Em Quanto Tempo a Luz do Sol Atinge a Terra
Determinando a Massa da Terra

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