04/02/2013

Fórmula de Redução para Alguns Casos de Integrais

Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto na notação diferencial, temos:

clip_image002

ou ainda:

clip_image004

e por integração:

clip_image006

Esta é a fórmula da integração por partes que, com frequência, funciona quando os outros métodos falham.

Em alguns casos é necessário efetuar duas ou mais integrações por partes sucessivamente, como no caso da integral:

clip_image008

Pode ocorrer de a integral original aparecer uma segunda vez durante o processo de integração por partes e, neste caso, com frequência é possível isolar esta integral por álgebra elementar.

Exemplo 1: Seja a integral:

clip_image010

Vamos chamar esta integral de J. Então:

clip_image012

Assim, temos que:

clip_image014

e

clip_image016

Então, fazemos:

clip_image018

clip_image020

Apesar das integrais dadas em (2) e (4) serem de mesma complexidade, aplicamos novamente o método de integração por partes. Assim, temos:

clip_image022

e

clip_image024

Fazemos:

clip_image026

clip_image028

Vemos que a integral da direita da expressão (5) é a integral J dada em (3). Desta forma, temos:

clip_image030

Substituindo (6) em (4) obtemos:

clip_image032

Isolando J:

clip_image034

clip_image036

Assim:

clip_image038

Este método é muitas vezes utilizado para fazer uma integral depender de uma integral mais simples do mesmo tipo e assim obter uma fórmula de redução conveniente, cuja aplicação repetida leve ao cálculo da integral dada.

Exemplo 2: Vamos determinar agora uma fórmula de redução para a integral:

clip_image040

Integrando por partes e desmembrando o integrando, obtemos:

clip_image042

clip_image044

clip_image046

clip_image048

clip_image050

clip_image052

clip_image002[6]

Vejam que na expressão (8) temos a integral original dada em (7):

clip_image058

clip_image060

Assim, substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:

clip_image062

clip_image064

clip_image066

De modo que:

clip_image068

O que nos leva a:

clip_image070

Analisando a fórmula de redução dada em (11), observamos que podemos reduzir de 2 o expoente de sen(x). Aplicando repetidamente esta fórmula, podemos reduzir Jn para J0 ou J1, conforme n seja par ou ímpar, mas ambas integrais fáceis de calcular.

clip_image072

e

clip_image074

Por exemplo, se n = 4, temos:

clip_image076

Mas como para n = 2 temos:

clip_image078

clip_image080

Portanto, substituindo (13) em (12):

clip_image082

clip_image084

Exemplo 3: Vamos calcular agora, a integral definida:

clip_image086

Escrevemos:

clip_image088

Pela fórmula de redução dada em (11), fazemos:

clip_image090

clip_image092

clip_image094

Aplicando a fórmula para n = 8:

clip_image096

clip_image098

clip_image100

clip_image102

Assim,

clip_image104

Portanto:

clip_image106

clip_image108

clip_image110

clip_image112

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Editora McGraw Hill


Veja mais:

Integração por Partes
Integração por Substituição
Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis
Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais no blog Fatos Matemáticos

4 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Neste livro do Simonns o autor nos diz que a integração é quase uma arte porque depende muito da criatividade.

    Estes métodos de redução são muito úteis e gostei do seu estilo de exposição.

    Sugiro posts com equações diferenciais também.

    Parabéns pela boa didática!

    ResponderExcluir
  2. Olá Aloísio!

    Este livro realemnte é excelente! Preciso comprar o volume 2...

    Dependemos da criatividade, mas também da prática, para identificar qual o melhor método a aplicar nas integrais. Por isso a importância de resolver exercícios.

    Estou elaborando um novo estudo sobre integrais impróprias. Quero ver se no final valerá um post. Tomara que sim.

    Verei o que consigo sobre edos.

    Obrigado pelo comentário! Abraços!!

    ResponderExcluir
  3. Como o Aloísio disse, o post foi elaborado de forma bem didática. Parabéns e obrigado pelo link citado abaixo e pela propaganda da promoção.

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  4. Livro show, post show, blog show!
    Preciso do Volume 2 também... assim que achar me avise por favor; embora o Apostol seja soberano esse livro é certamente uma referência indispensável!

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