16/03/2013

Os Primeiros Matemáticos

Admite-se universalmente que os gregos foram os primeiros matemáticos. Primeiros no sentido de que foram eles que iniciaram o desenvolvimento da matemática a partir de princípios básicos. Hípias $(425a.C.)$, ou algum outro por volta de sua época, mostrou que, em termos de números inteiros, não era possível nenhuma comparação numérica exata entre os lados e a diagonal de um quadrado de lado unitário, assim como no pentágono regular ou num cubo. Na verdade, para muitas figuras geométricas conhecidas.

Foi um choque para a comunidade matemática grega tomar conhecimento de que há coisas como segmentos de reta incomensuráveis e que a ocorrência dessa situação é espantosamente comum, isto é, que conceitos afins ao cálculo aparecem nas mais elementares situações. Os diálogos de Platão mostram que os matemáticos da época ficaram profundamente perturbados com essa descoberta.

A descoberta da incomensurabilidade confrontou os matemáticos diretamente com um processo infinito. Sempre que o algoritmo euclidiano para achar o máximo divisor comum de dois números inteiros é aplicado em aritmética, o processo acaba num número finito de passos, pois o conjunto dos inteiros positivos tem um mínimo, o número $1$. Se, por outro lado, o esquema análogo é aplicado com uma visão geométrica para achar a medida comum a dois segmentos de reta incomensuráveis, o processo prosseguirá indefinidamente. Não há algo como menor segmento de reta, pelo menos não segundo a visão grega ortodoxa, nem segundo os conceitos modernos convencionais.

A perspectiva de um processo infinito perturbou os matemáticosantigos, pois se viam diante de uma crise. Eram incapazes de replicar aos sutis paradoxos de Zenão de Etéia propostos por volta da mesma época em que se deu a devastadora descoberta dos incomensuráveis. Aristóteles e outros filósofos gregos procuraram responder a esses paradoxos, mas o fizeram de maneira tão pouco convincente, que os matemáticos da época concluíram que era melhor evitar totalmente os processos infinitos.

Essa visão poderia parecer um impedimento a qualquer equivalente grego do cálculo. Eudóxio sugeriu uma abordagem que aos matemáticos pareceu irrefutável e que servia essencialmente aos mesmos propósitos de um processo infinito. Ele começou com um axioma, muitas vezes conhecido como "Lema de Arquimedes", que parece como Definição 4 no Livro $V$ dos Elementos de Euclides.

"Diz-se que grandezas têm uma razão, uma para a outra, se,
por multiplicação, uma for capaz de exceder à outra."

Eudóxio com certeza utilizou essa "definição", que realmente é uma suposição, de maneira muito semelhante à empregada por Euclides no Livro $X$, 1 (e ainda posteriormente por Arquimedes) para provar o procedimento básico no "método da exaustão", o equivalente grego do cálculo:

"Consideradas duas grandezas desiguais, se da maior subtraírmos uma grandeza maior que a metade, e da que resta uma grandeza maior que sua metade, e ese este processo é repetido continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor das grandezas consideradas."

Essa afirmação pode ser generalizada substituindo "maior que sua metade" por "maior que ou igual à sua metade (ou seu terço ou qualquer outra fração própria)".

Aqui, numa forma geométrica desajeitada, está um dos mais antigos teoremas sobre limites, pois o fulcro da questão é que se $A$ é a maior das grandezas dadas (positivas) $A$ e $a$, e se $u_n = \dfrac{A}{2^n}$, então:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0 < a$$
Notamos que, enquanto a notação moderna recorreu ao símbolo de infinito, a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referência aberta a um processo infinito. As duas formulações, no entanto, não estão distantes quanto a seu significado. Para mostrar que:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0$$
deve-se demonstrar que, dado um número positivo $\varepsilon $, mesmo que pequeno (o equivalente da grandeza menor $a$ na proposição de Euclides), pode-se achar um inteiro $N$ (o equivalente da frase de Euclides "se este processo é repetido continuamente") tal que para $n>N$ vale a relação $u_n<\varepsilon $.

O cálculo de Euclides (derivado, presumivelmente, de Eudóxio) pode ter sido menos efetivo que o de Newton e Leibniz, dois milênios mais tarde, mas, em termos de ideias básicas, não estava muito longe do conceito de limite usado rudemente por Newton e aprimorado no século $XIX$. 

Referências:

[1] Tópicos de História da Matemática - Cálculo - Carl Boyer - Atual Editora


Veja mais:

A Astronomia e os Astrônomos na Grécia Antiga
O Corpus Arquimediano
Períodos Matemáticos

5 comentários:

  1. É uma bela história sobre os matemáticos gregos e o desenvolvimento da Matemática nos primórdios dos tempos. Talvez um empenho maior dos matemáticos gregos não dessem origem ao nosso Cálculo e promovesse o desenvolvimento da civilização muito anterior ao século XVII?

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  2. Acredito que eram muito geométricos e por isso trabalhavam nos limites que a Geometria oferecia. Mesmo Stevin (1548-1620) chegou perto do que Newton e Leibniz conseguiram, mas não ultrapassou a barreira geométrica. Arquimedes foi o ícone da matemática antiga e talvez, quem sabe, se não fosse morto como foi, conseguisse uma evolução ainda maior em suas ideias.

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  3. Kleber:
    Estes são assuntos que sempre me deixarão intrigado. Eu vejo muita semelhança entre o fato de nunca podermos chegar a uma definição, por exemplo, sobre qual seria o número exato da raíz quadrada de 2, e a tentativa de se descobrir qual seria a menor partícula da Natureza. Não há solução definitiva, se é que me faço entender. Logicamente, dentro do que definimos pela matemática como número irracional, temos que recorrer mesmo à filosofia, e pensarmos no que seria o infinito.

    Eu fico imaginando o que pensava o grego Demócrito, quando ele imaginava uma partícula indivisível, a qual chamou de átomo. É mesmo verdade que a matemática da Grécia Antiga era muito vinculada aos conceitos geométricos. Assim, fica fácil entender, como você cita neste artigo, a angústia deles, que também é a minha, de tentar entender o problema de um segmento de reta incomensurável.

    Aí está a beleza da Matemática, e também da Física, ambas originárias da Filosofia.

    Parabéns pelo artigo. Uma aula de primeira.

    Abraço

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  4. Jairo,

    um número irracional, como $\sqrt{2}$ por exemplo, apesar de sabermos quanto ele vale, não podemos escrevê-lo em sua expansão decimal, mas temos um símbolo para representá-lo, a raiz. Para um segmento de reta, fica impossível somente em termos geométricos definir um número irracional, sem saber o que ele significa, pois o quão preciso deve ser o traço do segmento?

    De tempos em tempos há grandes mudanças na forma de ver e entender a ciência. Acredito que a visão de Demócrito sobre o que é um átomo não é a mesma que se tem hoje, afinal, de 400aC as coisas mudaram muito. Muitos fatos que hoje não entendemos ou não podemos provar se deve por não termos ferramentas adequadas, precisamos de novas ferramentas, nova matemática e nova física.

    Gosto da história da matemática, da física e das ciências em geral. Gostaria de ler mais sobre filosofia e a filosofia matemática de Bertrand Russel.

    Obrigado por seu comentário.

    Um abraço.

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